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1、矩矩 陣陣 論論 電電 子子 教教 程程哈爾濱工程大學理學院應用數(shù)學系哈爾濱工程大學理學院應用數(shù)學系1優(yōu)講課堂Department of Mathematics 矩陣的分解矩陣的分解2Department of Mathematics 4.4 單純矩陣的譜分解單純矩陣的譜分解定理定理1:設設 是一個是一個 階可對角化的矩陣，相異階可對角化的矩陣，相異特征特征 值為值為 ，則，則 使得使得:,21An),2,1(iCEnni 1iiiEA此式稱為此式稱為A的譜分解的譜分解稱為稱為A的譜族的譜族 EEE,21且滿足且滿足:niiiijjiIEEEE 1 )2(,)1(iiiiEAEAE )3(ii
2、mrankE )4(的譜族是唯一的的譜族是唯一的即即是唯一的是唯一的AEi,)5(3Department of Mathematics分析分析:設設 是是 的代數(shù)重復度的代數(shù)重復度imi),2,1(i則則:12211),(PPdiagA 1m2m mnmimniiiCPCPPPPPPPPP ,:,),(21121其中其中設設 ,2,1 i 1212121 000000),(21iiiimmmPPPPPIIIPPPAiiiPPE 1iiiEA4Department of Mathematics證明證明(1)因為因為11212 (,),imnijPIijPP PP PPIPPOijP 所以所以:i
3、ijjjiijjiijiEPPPPPPPPEE )(證明證明(2)niiIPPPPPPPPE 121211 ),(iijjiEEE 5Department of Mathematics(3)由由 得得同理可得同理可得 1iiiiiEEAE 1iiiEAiiiEAE 證明證明:而而:,所以所以:nmrankEErankrankIniiiiiin 111)4(因為因為 11iiiimErankiimrankE iimrankE 證明證明:證明證明:(5)假設假設A有譜分解有譜分解 和和 1iiiGA 1iiiEA6Department of Mathematics則由則由(3)知知:iiiEAE
4、)(jiGAGjjj jiijiGEGAE )(jiGEGAEjijji jiijiiGEGE 由于由于 ,所以所以:ji OGEji 同理可得同理可得:OGEij iiiiiiniGEGEGIG )(1 iiiiiniiGEGEIEE )(1 OGEji 因為因為OGEij 因為因為所以所以,唯一性得證唯一性得證iiGE 7Department of Mathematics 可對角化矩陣的譜分解步驟：可對角化矩陣的譜分解步驟：（1）首先求出矩陣）首先求出矩陣 的全部互異特征值的全部互異特征值 及每個特征值及每個特征值 所決定的線性無關特征向量所決定的線性無關特征向量Ai ,21),(,212
5、1iiimiiimiipppPppp（3）令）令:iiimTimiTiiTiipppE 2211（2）寫出）寫出),()(211iimiiTP （4）最后寫出）最后寫出 12211iiiEEEEA8Department of Mathematics460350360A 例例1：已知矩陣已知矩陣為一個可對角化矩陣，求其譜分解表達式。為一個可對角化矩陣，求其譜分解表達式。解解:首先求出矩陣首先求出矩陣 的特征值與特征向量。的特征值與特征向量。容易計算容易計算A2(1)(2)IA從而從而 的特征值為的特征值為A1231,2 可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無可以求出分別屬于這三個特征值的三個線
6、性無關的特征向量關的特征向量:9Department of Mathematics1122332,1,00,0,11,1,1TTT123,201101011P 于是于是111231,110121120111()122010TPP 10Department of Mathematics1231,1,01,2,11,2,0TTT 取取11122220110121TTG 令令233120120120TG 那么其譜分解表達式為那么其譜分解表達式為122AGG11Department of Mathematics正規(guī)陣的譜分解正規(guī)陣的譜分解:設設 為正規(guī)矩陣，那么存在為正規(guī)矩陣，那么存在An nUU使得
7、使得:112212111222,HHnHnnHHHnnnA 其中其中 是矩陣是矩陣 的特征值的特征值 所對應的單位特征向所對應的單位特征向量。我們稱上式為正規(guī)矩陣量。我們稱上式為正規(guī)矩陣 的的譜分解表達式。譜分解表達式。iAiA12Department of Mathematics111inrrHiijijiiijiAG 設正規(guī)矩陣設正規(guī)矩陣 有有 個互異的特征值個互異的特征值 ，特征值特征值 的代數(shù)重數(shù)為的代數(shù)重數(shù)為 ，所對應的個兩兩正交的所對應的個兩兩正交的單位特征向量為單位特征向量為 ,則則 的譜分解表的譜分解表達式又可以寫成達式又可以寫成Ar12,r iini12,iiiinA1inH
8、iijijiG 其中其中 ，并且顯然有，并且顯然有:2,0()HiiiikGGGGGik13Department of Mathematics211(1);(2)(3)0();(4)(5)()rHiiiiiirikiiiiAGGGGGGikGIrank Gn（6）滿足上述性質的矩陣）滿足上述性質的矩陣 是唯一的。我們稱是唯一的。我們稱 為為正交投影矩陣。正交投影矩陣。iGiG即對于正規(guī)陣即對于正規(guī)陣,滿足如下滿足如下6條條:推論推論1 設設 是一個是一個 階可對角化的矩陣，階可對角化的矩陣，譜分解為譜分解為:,若若:則有則有An 1iiiEA,)(0 mkkkaf 1)()(iiiEfAf14
9、Department of Mathematics解：解：首先求出矩陣首先求出矩陣 的特征值與特征向量。容的特征值與特征向量。容易計算易計算A3(1)(3)IA0111101111011110A例例 2：求正規(guī)矩陣求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。的譜分解表達式。12341,3 從而從而 的特征值為的特征值為A15Department of Mathematics當當 時，求得三個線性無關的特征向量為時，求得三個線性無關的特征向量為11231,1,0,01,0,1,01,0,0,1TTT 當當 時，求得一個線性無關的特征向量為時，求得一個線性無關的特征向量為將將 正交化與單位化可得正交化與單位化可得3
10、 41,1,1,1T 123,16Department of Mathematics12311,0,022112,06663111,12121212TTT將將 單位化可得：單位化可得：441111,2222T17Department of Mathematics11 1223331114444311144443111444431114444HHHG 于是有于是有18Department of Mathematics24411114444111144441111444411114444HG 這樣可得其譜分解表達式為這樣可得其譜分解表達式為123AGG19Department of Mathema
11、tics解：解：首先求出矩陣首先求出矩陣 的特征值與特征向量。的特征值與特征向量。A2(2)IA 0110000iAi求正規(guī)矩陣求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。的譜分解表達式。練習練習從而從而 的特征值為的特征值為A1232,2,0ii 可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關的特征向量無關的特征向量:20Department of Mathematics1122332,12,10,1TTTiii 再將其單位化可得三個再將其單位化可得三個標準正交的特征向量標準正交的特征向量12311,22211,22210,22TTTiii21Department of Mathematics11 12212442144421444HGiiii于是有于是有:22Department of Mathematics2222212442144421444HGiiii 23Department of Mathematics33300010221022HGii 這樣可得其譜分解表達式為這樣可得其譜分解表達式為123220AiGiGG 24Department of Mathematics25
4-4 單純矩陣的譜分解【沐風教學】
