高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的單調(diào)性與極值》課件2（50張PPT）（北師大版選修2-2）

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,歡迎進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂,函數(shù)的單調(diào)性和極值,一、函數(shù)單調(diào)性的判別方法二、函數(shù)極值的判別法三、函數(shù)的最大值、最小值的求法,一、函數(shù)單調(diào)性的判別方法,羅爾定理拉格郎日定理函數(shù)單調(diào)性的判別方法,定理1羅爾（Rolle）定理,滿足:,(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(3)f(a)=f(b),使,,注意:,1)定理?xiàng)l件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.,例如,,使,2)定理?xiàng)l件只是充分的.,,本定理可推廣為,在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且,在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),,定理2拉格朗日中值定理,,(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),滿足:,(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),至少存在一點(diǎn),使,,,,,思路:利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù),作輔助函數(shù),顯然,,在[a,b]上連續(xù),,在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),,且,,,證:,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證,,,,,由羅爾定理知至少存在一點(diǎn),即定理結(jié)論成立.,證畢,推論1:,若函數(shù),在區(qū)間I上滿足,則,在I上必為常數(shù).,推論2：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)于(a,b)中任意有則在(a,b)內(nèi)，，其中c為常數(shù)。,函數(shù)單調(diào)性的判定法,若,定理3.設(shè)函數(shù),則在I內(nèi)單調(diào)遞增,(遞減).,證:無(wú)妨設(shè),任取,由拉格朗日中值定理得,故,這說(shuō)明在I內(nèi)單調(diào)遞增.,在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo),,例2.確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,,,,,,,故,的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,,,,,,,,,說(shuō)明:,單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).,例如,,2)如果函數(shù)在某點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),則不改變函數(shù)的單調(diào)性.,例如,,確定函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：1、確定函數(shù)的定義域；2、求出使函數(shù)并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域分成若干個(gè)子區(qū)間；3、確定在各個(gè)子區(qū)間的符號(hào)，從而判斷出的單調(diào)性。,例4.證明方程,有且僅有一個(gè)小于1的,正實(shí)根.,證:1)存在性.,則,在[0,1]連續(xù),,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于1的正根,2)唯一性.,假設(shè)另有,為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件,,至少存在一點(diǎn),但,矛盾,,故假設(shè)不真!,設(shè),例5.證明等式,證:設(shè),由推論可知,(常數(shù)),令x=0,得,又,故所證等式在定義域上成立.,自證:,經(jīng)驗(yàn):,欲證,時(shí),只需證在I上,例6.證明不等式,證法1:設(shè),中值定理?xiàng)l件,,即,因?yàn)?故,因此應(yīng)有,二、函數(shù)的極值,定義:,在其中當(dāng),時(shí),,(1),則稱為的極大點(diǎn),,稱為函數(shù)的極大值;,(2),則稱為的極小點(diǎn),,稱為函數(shù)的極小值.,極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).,注意:,為極大點(diǎn),為極小點(diǎn),不是極值點(diǎn),2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn).,1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).,例如,為極大點(diǎn),,是極大值,是極小值,為極小點(diǎn),,定理5(極值第一判別法),且在空心鄰域,內(nèi)有導(dǎo)數(shù),,例7.求函數(shù),的極值.,解:,1)求導(dǎo)數(shù),2)求極值可疑點(diǎn),令,得,令,得,3)列表判別,,,是極大點(diǎn)，,其極大值為,是極小點(diǎn)，,其極小值為,,,,定理6(極值第二判別法),二階導(dǎo)數(shù),且,則在點(diǎn)取極大值;,則在點(diǎn)取極小值.,,,求函數(shù)極值的一般步驟：,確定定義域，并求出所給函數(shù)的全部駐點(diǎn)考察函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)處的符號(hào)，確定極值點(diǎn)求出極值點(diǎn)處的函數(shù)值，得到極值,求函數(shù)極值的一般步驟：,若函數(shù)定理6失效，應(yīng)運(yùn)用定理5，其步驟為：1、確定定義域并找出所給函數(shù)的駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；2、考察上述點(diǎn)兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)；3、求出極值點(diǎn)處函數(shù)值，得到極值。,例8.求函數(shù),的極值.,解:1)求導(dǎo)數(shù),2)求駐點(diǎn),令,得駐點(diǎn),3)判別,因,故為極小值;,又,故需用第一判別法判別.,,,定理7(判別法的推廣),則:,數(shù),且,1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,是極小點(diǎn);,是極大點(diǎn).,2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,為極值點(diǎn),且,不是極值點(diǎn).,,,例如,例2中,極值的判別法(定理5~定理7)都是充分的.,說(shuō)明:,當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí),不等于極值不存在.,例如:,為極大值,,但不滿足定理1,~定理3的條件.,,三、最大值與最小值問(wèn)題,則其最值只能,在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.,求函數(shù)最值的方法:,(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn),(2)最大值,最小值,特別:,當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),,當(dāng)在上單調(diào)時(shí),,最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.,若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.,(小),對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的,可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).,(小),,例11.求函數(shù),在閉區(qū)間,上的最大值和最小值.,解:顯然,且,故函數(shù)在,取最小值0;,,(k為某一常數(shù)),,,例13.鐵路上AB段的距離為100km,工廠C距A處20,AC⊥AB,,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修一條,已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,,為使貨,D點(diǎn)應(yīng)如何選取?,解:設(shè),則,令,得,又,所以為唯一的,極小點(diǎn),,故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.,總運(yùn)費(fèi),物從B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,,從而為最小點(diǎn),,問(wèn),Km,,公路,,例14.把一根直徑為d的圓木鋸成矩形梁,,問(wèn)矩形截面,的高h(yuǎn)和b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大?,解:由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為,,,,令,得,從而有,即,由實(shí)際意義可知,所求最值存在,,駐點(diǎn)只一個(gè),,故所求,結(jié)果就是最好的選擇.,用開(kāi)始移動(dòng),,,,例16.設(shè)有質(zhì)量為5kg的物體置于水平面上,受力作,,解:克服摩擦的水平分力,正壓力,即,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問(wèn)題.,?為多少時(shí)才可使力,設(shè)摩擦系數(shù),的大小最小?,令,解得,而,因而F取最小值.,解:,即,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求,的最大值問(wèn)題.,,清楚(視角?最大)?,觀察者的眼睛1.8m,,例17.一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于,解:設(shè)觀察者與墻的距離為xm,,則,令,得駐點(diǎn),根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,觀察者最佳站位存在,,唯一,,駐點(diǎn)又,因此觀察者站在距離墻2.4m處看圖最清楚.,問(wèn)觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最,內(nèi)容小結(jié),1.連續(xù)函數(shù)的極值,(1)極值可疑點(diǎn):,使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn),(2)第一充分條件,過(guò),由正變負(fù),,為極大值,過(guò),由負(fù)變正,,為極小值,(3)第二充分條件,,為極大值,,為極小值,,,(4)判別法的推廣,最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;,應(yīng)用題可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義判別.,思考與練習(xí),(L.P500題4),2.連續(xù)函數(shù)的最值,1.設(shè),則在點(diǎn)a處().,的導(dǎo)數(shù)存在,,取得極大值;,取得極小值;,的導(dǎo)數(shù)不存在.,B,提示:利用極限的保號(hào)性.,費(fèi)馬(1601–1665),法國(guó)數(shù)學(xué)家,,他是一位律師,,數(shù)學(xué),只是他的業(yè)余愛(ài)好.,他興趣廣泛,,博,覽群書(shū)并善于思考,,在數(shù)學(xué)上有許多,重大貢獻(xiàn).,他特別愛(ài)好數(shù)論,,他提出,的費(fèi)馬大定理:,至今尚未得到普遍的證明.,他還是微積分學(xué)的先驅(qū),,費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中,提煉出來(lái)的.,,拉格朗日(1736–1813),法國(guó)數(shù)學(xué)家.,他在方程論,解析函數(shù)論,,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),,近百,余年來(lái),數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間,接地溯源于他的工作,,他是對(duì)分析數(shù)學(xué),產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.,,柯西(1789–1857),,法國(guó)數(shù)學(xué)家,,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中,在微積分學(xué),,《柯,西全集》共有27卷.,其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué),校編寫(xiě)的《分析教程》,,《無(wú)窮小分析概論》,《微積,分在幾何上的應(yīng)用》等,,有思想有創(chuàng)建,,響廣泛而深遠(yuǎn).,對(duì)數(shù)學(xué)的影,他是經(jīng)典分析的奠人之一,,他為微積分,所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.,復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.,一生發(fā)表論文800余篇,著書(shū)7本,,2.設(shè),(A)不可導(dǎo);,(B)可導(dǎo),且,(C)取得極大值;,(D)取得極小值.,D,提示:利用極限的保號(hào)性.,3.設(shè),是方程,的一個(gè)解,,若,且,(A)取得極大值;,(B)取得極小值;,(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;,(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.,提示:,A,同學(xué)們,來(lái)學(xué)校和回家的路上要注意安全,同學(xué)們,來(lái)學(xué)校和回家的路上要注意安全,