思維特訓 相似與圓

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1、思維特訓（十三）相似與圓 思維特訓什三)相似與圓 方法點津- 對于圓與相似相結合的綜合問題，解題時要 注意觀察、分析圖形，把復雜的圖形分解成幾個 根本圖形，通過添加輔助線補全或構造根本圖 形? 典題精練- 類型一 的根本性質與相似的結合 1 如圖 13—Y—1, AABC 內接于QO9 AB 是。O的直徑,ZB=30°, CE平分ZACB交。 O于點E,交AB于點D,連接AE,那么SAE : S^CDB 等于() 圖 13—Y—1 A? 1 ：2 B. 1 ： 3 C? 1 ： 2 D? 2 ： 3 2?如圖13—Y—2,點E是△ABC的內心, AE的延長線與BC相

2、交于點F,與AABC的外 接圓相交于點D. 求證：(1)ABFD^AABD； (2)DE=DB. 圖 13—Y—2 3?如圖13—Y—3, AC是。O的直徑，點 B 在OO 上，ZACB=30° ⑴利用尺規(guī)作ZABC的平分線BD，交AC 于點E,交OO于點D,連接CD(保存作圖痕跡, 不寫作法)； ⑵在⑴所作的圖形中，求AABE與ACDE 的面積之比. 圖 13-Y-3 4.如圖13-Y-4, AB是半圓O的直徑, P是BA延長線上一點，PC是OO的切線，切點 為C,過點B作BD丄PC交PC的延長線于點D, 連接BC. 求證：(1)ZPBC=ZCBD； (2)BC2

3、=AB? BD. 圖 13—Y—4 5?如圖13—Y-5,以RtAABC的直角邊 AB為直徑作OO,交斜邊AC于點D, E為OB 的中點，連接CE并延長交OO于點F, F恰好 落在AB的中點處，連接AF并延長與CB的延長 線相交于點G,連接OF. ⑴求證：OF= 》G； ⑵假設AB=4,求DC的長. 圖 13—Y—5 類型二 的切線與相似的結合 6?如圖13—Y—6, AB是?0的弦，過點 B作BCYAB交?O于點C,過點C作?O的切 線交AB的延長線于點D,取AD的中點E,過 點E作EF^BC交DC的延長線于點F,連接 AF并延長交BC的延長線于點G. 求證：(1)F

4、C=FG； (2)AB2 =BC? BG. 圖 13—Y—6 7?如圖13—Y—7, AB是。O的直徑，OD 丄弦BC于點F,交?0于點E,連接CE, AE, CD,且ZAEC= ZODC. (1)求證：直線CD為?0的切線； ⑵假設AB=5, BC=4,求線段CD的長. 圖 13—Y—7 8.如圖 13—Y—8 在△ABC 中，AB=AG 以AC為直徑的?O交BC于點D,交AB于點 E?過點D作DF丄AB,垂足為F,連接DE. ⑴求證：直線DF與?0相切； ⑵假設AE=7, BC=6,求AC的長. 圖 13—Y—8 9?如圖13—Y—9, AD是△ABC的外角Z EA

5、C的平分線，交BC的延長線于點D,延長 DA交AABC的外接圓于點F，連接FB，F(xiàn)C. ⑴求證:ZFBC=ZFCB； 直徑，F(xiàn)A=2, 求 CD的長. 圖 13-Y-9 10. 如圖13-Y-10, D為OO上一點，點 C在直徑BA的延長線上，且ZCDA=ZCBD. (1) 求證：CD是OO的切線； (2) 過點B作的切線交CD的延長線于點 AD 2 E，BC=6, BD=3，求 BE 的長. 圖 13—Y-10 11. 如圖 13—Y-11，在 RtAABC 中，ZC =90°，點O在AB上，經(jīng)過點A的與BC 相切于點D,分別與AC，AB相交于點E，F(xiàn)， 連接AD, EF

6、, AD與EF相交于點G. ⑴求證:AD平分ZCAB. ⑵假設OH丄AD于點H, FH平分ZAFE, DG=1. ①試判斷DF與DH的數(shù)量關系，并說明理 由; ②求?0的半徑? 圖 13—Y—11 詳解詳析 1. D ［解析］如圖，連接0E,設。0的半 徑為r. yZAED=ZB,ZADE=ZCDB, :.△ADE^ACDB. 是OO的直徑， ???ZACB=90。? VZB=30°, ?? CB=、；3r. ?: CE 平分ZACB， :.ZACE=45°, :.ZAOE=90°, 應選D. 2.證明：⑴???點E是AABC的內心, :.ABAD=

7、ACAD. ^ZCAD=ZCBD, :.ZBAD=ZCBD. ^ZBDF=ZADB, :?△BFDsUBD. ⑵如圖，連接BE. ???點E是AABC的內心， :.ZABE=ZCBE. 又 ^ZCBD=Z^AD, :.ZBAD+ZABE=ZCBE+ZCBD. VZ BAD^A ABE=Z BED,Z CBE+Z CBD=ZDBE, :.ZDBE=ZBED, :.DE=DB. 3.解：(1)如下圖. (2)如圖，連接OD,設OO的半徑為r. 在AABE和ADCE中， [ZBAE=ZCDE, < ZAEB=ZDEC, V. :.AABE^ADCE. VAC是O

8、O的直徑， ?：ZABC=90°? 在 RtAABC 中， VZACB=30。, :.AB=2AC=r. VBD 平分 ZABC, :.ZABD=45°, :.ZAOD=ZDOC=90°. 在 RtAODC 中，CD=、OD2+OC2=、2尸、 1 2 4?證明：（1）如圖，連接OC. :PC與。O相切， ???OC 丄 PC, 即 ZOCP=90°. ?:BD 丄 PD, ?? ZBDP=90°, ? ZOCP=ZBDP9 ?OC〃BD, \ZBCO=ZCBD. ???OB=OC, :.ZPBC=ZBCO, ? ZPBC=ZCBD. ⑵如圖，連接A

9、C. ?AB為半圓O的直徑， :.ZACB=90°, :.ZACB=ZCDB=90°. ? ZABC=ZCBD, :?△ABCs^CBD, .BC=AB ^BD=BC9 即 BC2 =AB^BD. 5.解：⑴證明：???以RtAABC的直角邊 AB為直徑作。0,點F恰好落在AB的中點處， :.AF=BF, :.ZAOF=ZBOF=90°. ???ZABC=NABG=90°, :.ZAOF=ZABG, ：?OF//BG. ?AO=BO, ：OF是AA/G的中位線， :of=2bg. ⑵在△ FOE 和△ CBE 中, ^ZFOE=ZCBE, v EO=BE,

10、

11、:.ZDCB=ZG. ?:ZDCB=ZGCF, :?ZGCF=ZG, :.FC=FG. ⑵連接AC,如下圖. TAB 丄 BG, :AC是OO的直徑. T^ID是?O的切線，切點為C, :.ZACD=90°, :.ZACB+ZDCB=90°. TZACB+ZCAB=90°, :.ZDCB=ZCAB. TZDCB=ZG, :.ZCAB=ZG. TZCBA = ZABG=90°, :.△ABC^AGBA, .AB=BC :BG= AB9 :?AB2 =BC? BG. 7.解：⑴證明：如圖，連接OC. T圓周角ZAEC與ZABC所對的弧相同, :.ZABC=

12、ZAEC. 又???ZAEC=ZODC, :?ZABC=ZODC? ? OC=OB, OD 丄BC, ：.ZOCB=ZOBC, 且 ZOCB+ZCOD=90°, :.ZODC+ZCOD=90°, :.ZOCD=180。-ZODC-ZCOD=90°, 即 OCLCD. 又?OC為OO的半徑， :?直線CD為OO的切線. (2)在OO中，OD丄弦BC于點F, ?：BF=CF=；BC=2? 又T OB=2AB=2, 3 ：OF= OB2—BF2=2? 由(1)知 ZOBF=ZCDF, 又 TZOFB=ZCFD, :?△OFBs'CFD, :OF=OB :CF=CD

13、9 0B? CF_ 2X2_10 一 h r? 2 8解：⑴證明：如圖，連接OD? ^AB=AC, :?ZB^ZC? ?：OD=OC, ：.ZODC=ZC, :?ZODC=ZB, :?OD//AB? ???DF 丄 AB, ：.OD丄DF? ? OD為OO的半徑， :?直線DF與OO相切. ⑵? ?四邊形ACDE是OO的內接四邊形, :.ZAED+ZACD=180°. VZAED+ZBED=180°, :ZBED=ZACD? 又 VZB=ZB, :?△BEDs^bCA, :BD=BE :AB=BCT ^OD^AB, AO=CO, ???BD=CD=；

14、BC=3? 又???AE=7, ? 3 =BE ??7TBE=-69 解得BE=2(負值已舍去). ???AC=AB=AE+BE=7+2=9? 9?解：⑴證明：???四邊形AFBC內接于圓， :.ZFBC+ZFAC= 180°. VZC^+ZFAC=180°, ? ZFBC=ZCAD? ?AD是AABC的外角ZEAC的平分線, :.AEAD=ACAD. ? ZEAD=ZFAB9 :.ZFAB=ZCAD. 又?ZFAB=ZFCB, :.ZFBC=ZFCB. (2)由(1)得ZFBC=ZFCB. 又???ZFCB=ZFAB, :.ZFAB=ZFBC. ? ZBFA=ZBF

15、D, ??△AFBsMFD, ? bf=fa ?fd=bf ,zfba=zd, ??BF2 =FA FD=12, 圓 :ab為圓的直徑， ?? ZBFA=ZBCA=90°, ^tanZFBA=BF=^3=3, ??ZFBA=30°? 在 RtAACD 中， :ZD=ZFBA=3O°, ??? cd = AD?cos30。=4 X f=2 3? 10.解：（1）證明：如圖，連接od. ?：OB=OD, ? ZOBD=ZODB. ^zcda=zcbd, ? zcda=zodb. 又9：AB是。0的直徑， :.ZADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），

16、 :.ZAD0+Z0DB=90°, ???ZAD0+ZCDA=90。，即ZCD0=90°, ：.0D 丄 CD. ^0D是。0的半徑， ? CD是。O的切線（經(jīng)過半徑外端并且垂 直于這條半徑的直線是圓的切線）? (2)VZC=ZC,ZCDA = ZCBD, ? △CDAs'CBD, ? cd=ad ??bc=bd? ? ?AD=2 ?BD=3, BC=6, :?CD=4? ? CE, BE是OO的切線， ?BE=DE, BE丄BC, :.BE2+BC2 = CE2, 即 BE2+62=(4+BE)2, 解得BE=2 11.解：⑴證明：連接0D. ?:BC與00

17、相切,：.OD丄BC? 又?:ZC=9W,：?0D〃AC, :.ZCAD=Z0DA. V0A=0D,AZ0AD=Z0DA, :.ACAD=A0AD,：^ 平分ZCAB. ⑵①DF=DH?理由如下： ?: FH 平分 ZAFE, :?ZAFH=ZEFH. 又?:上 DFG=ZEAD=ZHAF, :.ZDFG+AEFH=ZHAF+ZAFH, 即 ZDFH=ZDHF, :.DF=DH. ②設HG=x,那么DH=DF=1+x? ?：0H 丄 AD, ?:AD=2DH=2(l+x)? VZDFG=ZDAF,ZFDG=ZADF, ???△DFGsADAF, :DF=DG :AD=DF9 .1+x = 1 ■ °2〔1+x〕 1+x‘ 解得x=1. :.DF=2, AD=4. ^AF為OO的直徑， ???ZADF=90°, ^^AF= DF2+AD2= 22豐42=2 5 ? OO的半徑為\,,5?" '