高一數(shù)學上學期周清 第18周 空間向量的數(shù)量積、空間向量坐標運算 理

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理科第18周 空間向量的數(shù)量積、空間向量坐標運算 核心知識 1、空間向量的數(shù)量積及運算律 (1)數(shù)量積及相關概念 ①兩向量的夾角 已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b. ②兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個非零向量a，b則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數(shù)量積，即ab＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空間向量數(shù)量積的運算律 ①結合律：(λa)b＝λ(ab)；②交換律：ab＝ba；③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac. 2、基本定理 (1)共線向量定理：空間任意兩個向量a、b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb. (2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，p與向量a，b共面的充要條件是存在實數(shù)x，y使p＝xa＋yb. (3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc. 3、空間向量的坐標表示及運算 (1)數(shù)量積的坐標運算 設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 則①ab＝(a1b1，a2b2，a3b3)； ②λa＝(λa1，λa2，λa3)； ③ab＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)共線與垂直的坐標表示 設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)， a⊥b?ab＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)． (3)模、夾角和距離公式 設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 則|a|＝＝， cos〈a，b〉＝＝. 設A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 則dAB＝||＝. 自我測評 1．在空間四邊形ABCD中，＋＋＝________. 解析　如圖，設＝a，＝b，＝c， ＋＋ ＝a(c－b)＋b(a－c)＋c(b－a)＝0 2．兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，則l1與l2的位置關系是________. 解析　∵v2＝－2v1，∴v1∥v2. 3．已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，則下列結論正確的是(　　)． A．a(chǎn)∥c，b∥c B．a(chǎn)∥b，a⊥c C．a(chǎn)∥c，a⊥b D．以上都不對 解析　∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，∴a∥c， 又ab＝－22＋(－3)0＋14＝0，∴a⊥b. 答案　C