高一數(shù)學(xué)上學(xué)期周清 第十周周清 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題及基本不等式

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第十周周清 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題及基本不等式 1.某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1000元，運(yùn)費(fèi)500元，可得產(chǎn)品90千克；若采用乙種原料，每噸成本為1500元，運(yùn)費(fèi)400元，可得產(chǎn)品100千克，如果每月原料的總成本不超過6000元，運(yùn)費(fèi)不超過2000元，那么此工廠每月最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品？ 分析：將已知數(shù)據(jù)列成下表 甲原料（噸） 乙原料（噸） 費(fèi)用限額 成本 1000 1500 6000 運(yùn)費(fèi) 500 400 2000 產(chǎn)品 90 100 解：設(shè)此工廠每月甲、乙兩種原料各x噸、y噸，生產(chǎn)z千克產(chǎn)品，則： z=90x+100y 作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域： 由 令90x+100y=t，作直線:90x+100y=0即9x+10y=0的平行線90x+100y=t，當(dāng)90x+100y=t過點(diǎn)M（）時(shí)，直線90x+100y=t中的截距最大，由此得出t的值也最大，最大值z(mì)max=90=440. 答：工廠每月生產(chǎn)440千克產(chǎn)品. 2.某工廠家具車間造A、B型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時(shí)和2小時(shí)，漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時(shí)和1小時(shí)；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時(shí)和9小時(shí)，而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤(rùn)2千元和3千元，試問工廠每天應(yīng)生產(chǎn)A、B型桌子各多少張，才能獲得利潤(rùn)最大？ 解：設(shè)每天生產(chǎn)A型桌子x張，B型桌子y張. 則 目標(biāo)函數(shù)為：z=2x+3y 作出可行域： 把直線l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M，且與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)z=2x+3y取最大值. 解方程 得M的坐標(biāo)為（2，3）. 答：每天應(yīng)生產(chǎn)A型桌子2張，B型桌子3張才能獲得最大利潤(rùn). 評(píng)述：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的： （1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)； （2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域； （3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解. 二、基本不等式 基本不等式 不等式成立的條件 等號(hào)成立的條件 ≤ a>0，b>0 a＝b 三、常用的幾個(gè)重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R) (2)ab≤()2(a，b∈R) (3)≥()2(a，b∈R) (4)＋≥2(a，b同號(hào)且不為零) 上述四個(gè)不等式等號(hào)成立的條件都是a＝b. 四、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 四個(gè)“平均數(shù)”的大小關(guān)系；a，b∈R+： 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào). 五、利用基本不等式求最值：設(shè)x，y都是正數(shù)． (1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)和x＋y有最小值2. (2)如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)積xy有最大值S2. 強(qiáng)調(diào)：1、在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個(gè)結(jié)論時(shí)，應(yīng)把握三點(diǎn)：“一正、二定、三相等、四最值”.當(dāng)條件不完全具備時(shí)，應(yīng)創(chuàng)造條件. 正：兩項(xiàng)必須都是正數(shù)； 定：求兩項(xiàng)和的最小值，它們的積應(yīng)為定值；求兩項(xiàng)積的最大值，它們的和應(yīng)為定值。 等：等號(hào)成立的條件必須存在. 2、當(dāng)利用基本不等式求最大(小)值等號(hào)取不到時(shí)，如何處理？ 3）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：＋≥4. 【證明】　(1)∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴＋＝＋＝2＋＋ ≥2＋2＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立)． ∴＋≥4.∴原不等式成立． 例4： (1)設(shè)00， ∴y＝＝ ≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x即x＝1時(shí)取等號(hào)， ∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝的最大值是. (2) x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；