數(shù)學(xué)第6章 圓 第20講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系

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1、第六章第六章 圓圓第第 20 講講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系與圓有關(guān)的位置關(guān)系考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理點(diǎn)與圓的位置點(diǎn)與圓的位置關(guān)系關(guān)系圖形圖形圓心到點(diǎn)圓心到點(diǎn)A A的距離的距離d d與半徑與半徑r r的關(guān)系的關(guān)系點(diǎn)在圓外 dr點(diǎn)在圓上 dr點(diǎn)在圓內(nèi) dr直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系直線與直線與圓的位圓的位置關(guān)系置關(guān)系公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù) 公共點(diǎn)的名稱公共點(diǎn)的名稱圓心到直線的距離圓心到直線的距離d d與與半徑半徑r r的關(guān)系的關(guān)系直線名稱直線名稱相交2交點(diǎn) dr切線的性質(zhì)切線的性質(zhì) 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑切線的判定切線的判定(1)圓心到直線的距離d等于圓的半徑r時(shí)，這條直線是圓的切線；(2)經(jīng)

2、過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角提示 與圓的切線有關(guān)的三種輔助線：見切線，連半徑，得垂直；無(wú)公共點(diǎn)，作垂線段，證dr，得切線；有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直，得切線名稱確定方法圖形性質(zhì)三角形外心：外接圓的圓心三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn) (1)OAOBOC；(2)外心不一定在三角形的內(nèi)部三角形內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心三角形三條角平分線的交點(diǎn) (1)到三邊的距離相等；(2)AO，BO，CO分別平分BAC，ABC，ACB提示 (1)直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊的差的一半；(2)直

3、角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半概念從假設(shè)命題的結(jié)論不成立出發(fā)，由此推理出矛盾的結(jié)果，從而判斷原假設(shè)不成立，得到原命題成立的方法叫做反證法證明步驟(1)假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)從這個(gè)命題出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理證明得出與已知或基本事實(shí)或定理等矛盾；(3)由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論正確 典型例題運(yùn)用典型例題運(yùn)用 類型類型1 三角形的外心與內(nèi)心三角形的外心與內(nèi)心 【例1 1】 2017石家莊模擬如圖，點(diǎn)F是ABC的內(nèi)心，A50，則BFC的度數(shù)為(B) A100 B115 C130 D135B BA50，ABCACB130.點(diǎn)F是ABC的內(nèi)心，F(xiàn)B，F(xiàn)C分別是ABC、AC

4、B的平分線，F(xiàn)BC ABC，F(xiàn)CB ACB，BFC180(FBCFCB)180 (ABCACB)115.212121變式運(yùn)用 如圖，點(diǎn)E是ABC的內(nèi)心，線段AE的延長(zhǎng)線交ABC的外接圓于點(diǎn)D.(1)求證：EDBD；(2)若BAC90，ABC的外接圓的直徑為6，求BD的長(zhǎng)解：(1)證明：點(diǎn)E是ABC的內(nèi)心，BADCAD，ABECBE.CBDCAD，BADCBD.ABEBADCBECBD.又BEDABEBAD，EBDCBECBD，BEDEBD.EDBD.(2)如圖，連接CD.BAC90，BC是O的直徑BDC90.O的直徑為6，BC6.E為ABC的內(nèi)切圓的圓心，BADCAD.BDDC.BDDC BC

5、3 .222類型類型2 2 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系 【例2 2】 已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)所有可能的情況是(C)A0，1，2，3 B0，1，2，4C0，1，2，3，4 D0，1，2，4，5C C32422552，三角形為直角三角形設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則(345)r2(1)34，解得r1.分為五種情況：(1)當(dāng)一條邊與圓相離時(shí)，有0個(gè)交點(diǎn)；(2)當(dāng)一條邊與圓相切時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)；(3)當(dāng)一條邊與圓相交時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)；(4)當(dāng)圓為三角形內(nèi)切圓時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)；(5)當(dāng)兩條邊與圓同時(shí)相交時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)故公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0，1，2，3，4個(gè)

6、21變式運(yùn)用 2018原創(chuàng)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一段圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A，B，C.(網(wǎng)格小正方形邊長(zhǎng)為1)(1)請(qǐng)寫出該圓弧所在圓的圓心P的坐標(biāo)(2，1)；P的半徑為2 ；(結(jié)果保留根號(hào))(2)判斷點(diǎn)M(1，1)與P的位置關(guān)系：點(diǎn)M在圓內(nèi)5類型類型3 3 圓的切線的性質(zhì)與判定圓的切線的性質(zhì)與判定 【例3 3】 2017咸寧中考如圖，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O與邊BC，AC分別交于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DFAC，垂足為點(diǎn)F.(1)求證：DF是O的切線；(2)若AE4，cosA ，求DF的長(zhǎng)52解：(1)證明：如圖，連接OD，作OGAC于點(diǎn)G，OBOD，ODBB.又ABAC，CB.ODBC

7、.ODAC.DFAC，DFC90.ODFDFC90.DF是O的切線變式運(yùn)用 如圖，AB是O的直徑，AD，BC，CD是O的切線，切點(diǎn)分別是A，B，E，DO，AE相交于點(diǎn)F，CO，BE相交于點(diǎn)G.求證：(1)CODO；(2)四邊形EFOG是矩形證明：(1)AB是O的直徑，AD，BC是O的切線，ADAB，BCAB.ADBC.ADCBCD180.由切線長(zhǎng)定理，得ODC ADC，OCD BCD.ODCOCD90，DOC180ODCOCD90.CODO.(2)DA，DE與O相切于點(diǎn)A，E，DADE.AEDO.EFO90.同理，EGO90.又DOC90，四邊形EFOG是矩形2121六年真題全練六年真題全練命

8、題點(diǎn)命題點(diǎn)1 1 三角形的外接圓與內(nèi)切圓三角形的外接圓與內(nèi)切圓 1 12016德州九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著書中有下列問(wèn)題“今有勾八步，股十五步，問(wèn)勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角邊)長(zhǎng)為8步，股(長(zhǎng)直角邊)長(zhǎng)為15步，問(wèn)該直角三角形能容納的圓形(內(nèi)切圓)直徑是多少？”(C)A3步 B5步 C6步 D8步2 22016德州如圖，O是ABC的外接圓，AE平分BAC交O于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作直線lBC.(1)判斷直線l與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F，求證：BEEF；(3)在(2)的條件下，若DE4，DF3，求AF的長(zhǎng)

9、解：(1)直線l與O相切理由如下：如圖，連接OE，OB，OC.AE平分BAC，BAECAE. .BOECOE.OBOC，OEBC.又lBC，OEl.直線l與O相切(2)證明：BF平分ABC，ABFCBF.又CBECAEBAE，CBECBFBAEABF.EBFEFB.BEEF.(3)由(2)知，BEEFDEDF7.在BED和AEB中，DBEBAE，DEBBEA，BEDAEB. .AE .AFAEEF 7 .449449421命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2切線的性質(zhì)與判定切線的性質(zhì)與判定3 32017德州如圖，已知RtABC，C90，D為BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的O交AB于點(diǎn)E.(1)求證：DE是O的切線；(

10、2)若AEEB12，BC6，求AE的長(zhǎng)解：(1)證明：連接OE，EC.AC是O的直徑，AECBEC90.D為BC的中點(diǎn)，EDDCBD BC.12.OEOC，34.1324，即OEDACB.ACB90，OED90.又E是O上一點(diǎn)，DE是O的切線21(2)由(1)知，BEC90.在RtBEC與RtBCA中，BB，BECBCA，BECBCA. .BC2BEBA.AEEB12，設(shè)AEx，則BE2x，BA3x，BC6，622x3x.解得x ，即AE .AE的長(zhǎng)為 .BABCBCBE6664 42014德州如圖，O的直徑AB為10cm，弦BC為6cm，D，E分別是ACB的平分線與O，AB的交點(diǎn)，P為AB延

11、長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PCPE.(1)求AC，AD的長(zhǎng)；(2)試判斷直線PC與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由解：(1)如圖，連接BD.AB是直徑，ACBADB90.在RtABC中，AC CD平分ACB，ACDBCD.ADBD.ABD是等腰直角三角形AD AB 105 (cm)22222(2)直線PC與O相切理由如下：如圖，連接OC.OCOA，CAOOCA.PCPE，PCEPEC.PECCAEACE，PCBECBCAEACE.CD平分ACB，ACEECB.PCBACO.ACB90，OCPOCBPCBOCBACOACB90.OCPC.直線PC與O相切5 52013德州如圖，已知O的半徑為1，DE是O的直徑，過(guò)點(diǎn)

12、D作O的切線AD，C是AD的中點(diǎn)，AE交O于點(diǎn)B.若四邊形BCOE是平行四邊形(1)求AD的長(zhǎng)；(2)BC是O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說(shuō)明理由解：(1)如圖，連接BD，則DBE90.四邊形BCOE為平行四邊形，BCOE，BCOE1.在RtABD中，C為AD的中點(diǎn)，BC AD1.AD2.21(2)BC是O的切線證明：如圖，連接OB.四邊形BCOE為平行四邊形，DE是O的直徑，BCOD，BCOD.四邊形BCDO為平行四邊形AD為O的切線，ODAD.四邊形BCDO為矩形OBBC.點(diǎn)B為O上一點(diǎn)，BC是O的切線猜押預(yù)測(cè) AB為O直徑，BC為O的切線，切點(diǎn)為B，CO平行于弦AD，作直線DC.(1)求證：DC為O的切線；(2)若ADOC8，求O半徑r.解：(1)證明：如圖，連接OD.OAOD，AADO.ADOC，ABOC，ADOCOD.BOCCOD.在OBC與ODC中， OBCODC(SAS)OBCODC.又BC是O的切線，OBC90.ODC90.DC是O的切線(2)如圖，連接BD.在ADB與ODC中，ADBODC.ADODABOC.ADOCODABr2r2r2，即2r28，故r2.