2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.1.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算學(xué)案（含解析）新人教版必修1

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1、2.1.1　指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(第一課時(shí)) 學(xué)習(xí)目標(biāo) ①理解n次方根與根式的概念; ②正確運(yùn)用根式運(yùn)算性質(zhì)化簡、求值; ③了解分類討論思想在解題中的應(yīng)用. 合作學(xué)習(xí) 一、設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境 問題:當(dāng)生物死亡后,它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律,人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系,這個(gè)關(guān)系式應(yīng)該怎樣表示呢?我們可以先來考慮這樣的問題: 當(dāng)生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它體內(nèi)碳14的含量P分別為原來的多少? 當(dāng)生物體死亡了6000年,10000年,1

2、00000年后,它體內(nèi)碳14的含量P分別為原來的多少? 由以上的實(shí)例來推斷生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系式應(yīng)該是什么? 考古學(xué)家根據(jù)上式可以知道,生物死亡t年后,體內(nèi)碳14含量P的值.那么這些數(shù)(12)60005730,(12)100005730,(12)1000005730的意義究竟是什么呢?這正是我們將要學(xué)習(xí)的知識. 二、學(xué)生探索,嘗試解決 問題1:什么是一個(gè)數(shù)的平方根?什么是一個(gè)數(shù)的立方根?一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè),立方根呢? 問題2:如果x4=a,x5=a,又有什么樣的結(jié)論呢? 問題3:①如果x2=a,那么x叫做a的平方根;②如果x3

3、=a,那么x叫做a的立方根;③如果x4=a,那么x叫做a的4次方根.你能否據(jù)此得到一個(gè)一般性的結(jié)論? 問題4:上述結(jié)論中的n的取值有沒有什么限制呢? 方根的定義: 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. 三、信息交流,揭示規(guī)律 試根據(jù)n次方根的定義分別求出下列各數(shù)的n次方根. (多媒體顯示,學(xué)生完成) (1)25的平方根是　　　　;? (2)27的立方根是　　　　;? (3)-32的5次方根是　　　　;? (4)16的4次方根是　　　　;? (5)a6的立方根是　　　　;? (6)0的7次方根是　　　　.? 問題5:觀察并分析以

4、上各數(shù)的方根,你能發(fā)現(xiàn)什么? 問題6:請仔細(xì)分析上述各題,并結(jié)合問題5中同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,你能否得到一個(gè)一般性的結(jié)論? 問題7:是否任何一個(gè)數(shù)都有偶次方根?0的n次方根如何規(guī)定更合理? 問題8:同學(xué)們能否把所得到的結(jié)論再總結(jié)得具體一些呢? n次方根的性質(zhì)實(shí)際上是平方根和立方根性質(zhì)的推廣,因此跟立方根和平方根的情況一樣,方根也有如下性質(zhì): (1)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).這時(shí),a的n次方根用符號　　　　表示.? (2)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根有兩個(gè),這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).這時(shí),正數(shù)a的正的n次方根用符號　　　　表示,負(fù)

5、的n次方根用符號　　　　表示.正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫成　　　　(a>0).? 注:①負(fù)數(shù)沒有偶次方根; ②0的任何次方根都是0,記作n0=0; ③當(dāng)a≥0時(shí),na≥0,所以類似416=±2的寫法是錯(cuò)誤的. 另外,我們規(guī)定: 式子na叫做根式,其中n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù). 問題9:利用上面所學(xué)n次方根的知識,能否求出下列各式的值? (1)(5)2;(2)3(-2)3;(3)4(-2)4;(4)(3-a)2(a>0). 問題10:上面的計(jì)算涉及了哪幾類問題? 組織學(xué)生結(jié)合例題及其解答,進(jìn)行分析討論,歸納出以下結(jié)論: (1)(na)n=a.例如,(

6、327)3=27,(5-32)5=-32. (2)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),nan=a;當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),nan=|a|=a,a≥0,-a,a<0.例如,3(-2)3=-2,525=2;434=3,(-3)2=|-3|=3. 四、運(yùn)用規(guī)律,解決問題 【例1】求下列各式的值: (1)(3-8)3;(2)(-10)2; (3)4(3-π)4;(4)(a-b)2(a>b). 【例2】化簡下列各式: (1)681;(2)6(-2)2;(3)15-32;(4)4x8;(5)6a2b4. 五、變式演練,深化提高 1.若x∈R,y∈R,下列各式中正確的是(　　) 　　　　　　　　　　

7、　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4(x+y)4=x+y B.3x3-4y4=x-y C.(x+3)2+(x-3)2=2x D.x-3+3-x=0 2.x-2x-1=x-2x-1成立的條件是(　　) A.x-2x-1≥0 B.x≠1 C.x<1 D.x≥2 3.在①4(-4)2n;②4(-4)2n+1;③5a4;④4a5(各式中n∈N,a∈R)中,有意義的是(　　) A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④ 4.當(dāng)81,n∈N*),則x叫做a的n次方根.當(dāng)n是奇數(shù)

8、時(shí),實(shí)數(shù)a的n次方根用符號　　　　表示;當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),正數(shù)a的n次方根用符號　　　　表示,負(fù)數(shù)的偶次方根無意義.式子na叫做　　　　,其中n叫做　　　　,a叫做被　　　　.? 2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),正數(shù)的奇次方根是一個(gè)　　　　;負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)　　　　.正數(shù)的偶次方根是兩個(gè)絕對值相等且符號相反的數(shù);負(fù)數(shù)的偶次方根沒有意義;0的任何次方根都是0.? 3.(1)(na)n=　　　　.? (2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),nan=　　　　;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),nan=|a|=?　　　　,a≥0,　　　　,a<0. 七、作業(yè)精選,鞏固提高 1.復(fù)習(xí)課本P48~50內(nèi)容,熟悉鞏固有關(guān)概念和性質(zhì); 2.課本P59

9、習(xí)題2.1A組第1題. 參考答案 一、設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境 12,(12)2,(12)3,…. (12)60005730,(12)100005730,(12)1000005730. P=(12)t5730. 二、學(xué)生探索,嘗試解決 問題1:若x2=a,則x叫做a的平方根.同理,若x3=a,則x叫做a的立方根.根據(jù)平方根、立方根的定義,正實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù). 問題2:如果一個(gè)數(shù)的4次方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的4次方根;如果一個(gè)數(shù)的5次方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的5次方根. 問題3:一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根. 三、信息交流,揭示規(guī)律 (1)

10、±5;(2)3;(3)-2;(4)±2;(5)a2;(6)0. 問題5:1.以上各數(shù)的對應(yīng)方根都是整數(shù); 2.第(1)(4)題的答案有兩個(gè),第(2)(3)(5)(6)題的答案只有一個(gè); 3.第(1)(4)題的答案中的兩個(gè)根互為相反數(shù). 問題6:一個(gè)數(shù)的奇次方根只有一個(gè);一個(gè)數(shù)的偶次方根有兩個(gè),且互為相反數(shù). 問題7:因?yàn)槿魏我粋€(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù),所以負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的n次方等于0,所以0的n次方根等于0. 問題8:(1)na;(2)na,-na,±na. 問題9:(1)5;(2)-2;(3)2;(4)a-3. 問題10:主要涉及了(na)n與nan的問題. 四、運(yùn)用規(guī)

11、律,解決問題 【例1】解:(1)(3-8)3=-8; (2)(-10)2=|-10|=10; (3)4(3-π)4=|3-π|=π-3; (4)(a-b)2=|a-b|=a-b. 【例2】解:(1)681=634=332=39; (2)6(-2)2=622=32; (3)15-32=-1525=-32; (4)4x8=4(x2)4=x2; (5)6a2b4=6(|a|·b2)2=3|a|·b2. 五、變式演練,深化提高 1.D　2.D　3.B　4.2x-18 六、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉 1.na　±na　根式　根指數(shù)　被開方數(shù) 2.正數(shù)　負(fù)數(shù) 3.(1)a　(2)a　a　-a 5