2021高考數學一輪復習 第2章 函數 第3節(jié) 函數的奇偶性與周期性教學案 理 北師大版

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1、第三節(jié)　函數的奇偶性與周期性 [最新考綱]　1.結合具體函數，了解函數奇偶性的含義.2.會運用函數的圖像理解和研究函數的奇偶性.3.了解函數周期性、最小正周期的含義， 會判斷、應用簡單函數的周期性． 1．奇函數、偶函數的概念 圖像關于原點對稱的函數叫作奇函數； 圖像關于y軸對稱的函數叫作偶函數． 2．判斷函數的奇偶性 判斷函數的奇偶性，一般按照定義嚴格進行，一般步驟是 (1)考察定義域是否關于原點對稱； (2)考察表達式f(－x)是否與f(x)或－f(x)相等． ①若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數； ②若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數； ③若

2、f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數又是偶函數； ④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，則f(x)既不是奇函數也不是偶函數． 3．函數的周期性 (1)周期函數 對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期． (2)最小正周期 如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期． 1．函數奇偶性的三個重要結論 (1)如果一個奇函數f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)

3、＝0. (2)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調性． 2．周期性的幾個常用結論 對f(x)的定義域內任一自變量的值x，周期為T，則 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a＞0)； (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a＞0)； (3)f(x＋a)＝－，則T＝2a(a＞0)． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數．(　　) (2)偶函數圖像不一定過原點，奇函數的圖像一定過原點．(　　) (3

4、)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)的圖像關于直線x＝a對稱．(　　) (4)函數f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．下列函數中為偶函數的是(　　) A．y＝x2sin x　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x B　[A為奇函數，C，D為非奇非偶函數，B為偶函數，故選B.] 2．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)＝x(1＋x)，則f(－1)＝________. －2　[f(1

5、)＝1×2＝2，又f(x)為奇函數， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2.] 3．設f(x)是定義在R上的周期為2的函數，當x∈[－1,1)時，f(x)＝則f＝________. 1　[f ＝f ＝－4×2＋2＝1.] 4．設奇函數f(x)的定義域為[－5,5]，若當x∈[0,5]時，f(x)的圖像如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為________． (－2,0)∪(2,5]　[由圖像可知，當0＜x＜2時，f(x)＞0； 當2＜x≤5時，f(x)＜0， 又f(x)是奇函數， ∴當－2＜x＜0時，f(x)＜0，當－5≤x＜－2時，f(x)＞0. 綜上，f(x)＜0的解集為(

6、－2,0)∪(2,5]．] 考點1　判斷函數的奇偶性 　判斷函數奇偶性的方法 (1)定義法： (2)圖像法：函數是奇(偶)函數?函數圖像關于原點(y軸)對稱． 　(1)設函數f(x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函數 B．|f(x)|g(x)是奇函數 C．f(x)|g(x)|是奇函數 D．|f(x)g(x)|是奇函數 (2)判斷下列函數的奇偶性： ①f(x)＝＋； ②f(x)＝； ③f(x)＝ (1)C　[令F1(x)＝f(x)·g(x)， 則F1(－x)＝f(－x)·

7、g(－x)＝－f(x)·g(x) ＝－F1(x)， ∴f(x)g(x)為奇函數，故A錯誤． 令F2(x)＝|f(x)|g(x)，則F2(－x)＝|f(－x)|g(－x) ＝|f(x)|g(x)＝F2(x)，∴F2(x)為偶函數，故B錯誤． 令F3(x)＝f(x)|g(x)|，則F3(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－F3(x)，∴F3(x)為奇函數，故C正確． 令F4(x)＝|f(x)g(x)|，則F4(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|＝F4(x)，∴F4(x)為偶函數，故D錯誤．] (2)[解]?、儆傻脁2＝3，解得x＝±， 即

8、函數f(x)的定義域為{－，}， 從而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函數f(x)既是奇函數又是偶函數． ②由得定義域為(－1,0)∪(0,1)，關于原點對稱，∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴函數f(x)為奇函數． ③顯然函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱． ∵當x＜0時，－x＞0， 則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 當x＞0時，－x＜0， 則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)． 綜上可知：對于定義域內的

9、任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數f(x)為奇函數． 　判斷函數的奇偶性，其中包括2個必備條件 (1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域． (2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系．在判斷奇偶性的運算中，可以轉化為判斷奇偶性的等價關系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數)是否成立． 　1.(2019·福州模擬)下列函數為偶函數的是(　　) A．y＝tan　　　 B．y＝x2＋e|x| C．y＝xcos x D．y＝ln|x|－sin x B　[對于選項A，易知y＝tan為非奇非偶函數；對于

10、選項B，設f(x)＝x2＋e|x|，則f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|為偶函數；對于選項C，設f(x)＝xcos x，則f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x為奇函數；對于選項D，設f(x)＝ln|x|－sin x，則f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x為非奇非偶函數，故選B.] 2．設函數f(x)＝，則下列結論錯誤的是(　　) A．|f(x)|是偶函數 B．－f(x)是奇函數 C．f(x)|f(x

11、)|是奇函數 D．f(|x|)f(x)是偶函數 D　[∵f(x)＝， 則f(－x)＝＝－f(x)． ∴f(x)是奇函數． ∵f(|－x|)＝f(|x|)， ∴f(|x|)是偶函數，∴f(|x|)f(x)是奇函數．] 考點2　函數奇偶性的應用 　利用函數奇偶性可以解決以下問題 (1)求函數值：將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數值求解． (2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出． (3)求解析式中的參數：利用待定系數法求解，根據f(x)±f(－x)＝0得到關于參數的恒等式．由系數的對等性得方程(組)，進而得出參數的值． (4)畫函數圖像

12、：利用奇偶性可畫出函數在另一對稱區(qū)間上的圖像． (5)求特殊值：利用奇函數的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結構的函數值． 　利用奇偶性求參數的值 　[一題多解]若函數f(x)＝x3為偶函數，則a的值為________． 　[法一：(定義法)因為函數f(x)＝x3為偶函數，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3＝x3，所以2a＝－，所以2a＝1，解得a＝. 法二：(特值法)因為函數f(x)＝x3為偶函數，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×＝13×，解得a＝，經檢驗，當a＝時，函數f(x)為偶函數．] 　已知函數的奇偶性求參數，主要方法有兩個：一是利用f(－x)＝－f(x)

13、(奇函數)或f(－x)＝f(x)(偶函數)在定義域內恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函數一般利用f(0)＝0求解，偶函數一般利用f(－1)＝f(1)求解．用特殊值法求得參數后，一定要注意驗證． 　利用函數的奇偶性求值 　(1)設函數f(x)為偶函數，當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x，則f(－)＝(　　) A．－ B． C．2 D．－2 (2)已知函數f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m等于 (　　) A．0 B．2 C．4 D．8 (3)(2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數，且當x＜0時，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，則a＝_______

14、_. (1)B　(2)C　(3)－3　[(1)因為f(x)為偶函數，所以f(－)＝f()，又當x＞0時，f(x)＝log2x，所以f()＝log2＝， 即f(－)＝. (2)f(x)＝＝2＋，設g(x)＝，因為g(x)定義域為R，關于原點對稱，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)為奇函數，所以g(x)max＋g(x)min＝0.因為M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4. (3)法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函數可知f(－x)＝－f(x)， ∴x＞0時，f(x)＝－f(－x)

15、＝－[－ea(－x)]＝e－ax， 則f(ln 2)＝e－aln 2＝8， ∴－aln 2＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3. 法二：由f(x)是奇函數可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln 2)＝－f＝－(－e)＝8，∴aln ＝ln 8＝3ln 2，∴a＝－3.] 　利用奇偶性將所求值轉化為已知區(qū)間上的函數值． 　求函數解析式 　函數y＝f(x)是R上的奇函數，當x＜0時，f(x)＝2x，則函數f(x)的解析式為________． f(x)＝　[當x＞0時，－x＜0，∵x＜0時，f(x)＝2x，∴當x＞0時，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函數，∴當x＞0時，f(x)

16、＝－f(－x)＝－2－x. 又y＝f(x)的定義域為R且為奇函數， ∴f(0)＝0. ∴函數f(x)的解析式為f(x)＝] 　不要忽視x＝0時的解析式． 　1.若函數f(x)＝在定義域上為奇函數，則實數k＝________. ±1　[若函數f(x)＝在定義域上為奇函數，則f(－x)＝－f(x)， 即＝－， 化簡得(k2－1)(22x＋1)＝0， 即k2－1＝0，解得k＝±1.] 2．已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于________． 3　[f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2，①

17、 f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4，② 由①②得，2g(1)＝6， 即g(1)＝3.] 3．(2019·湖南永州質檢)已知函數f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)＝________. 0　[設F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，顯然F(x)為奇函數． 又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，從而f(－a)＝0.] 考點3　函數的周期性及其應用 　函數周期性的判定與應用 判定 判斷函數的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他

18、性質綜合命題 應用 根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉化到已知區(qū)間的功能．在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期 　(1)(2019·貴陽模擬)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＝－f(x＋2)，當x∈(0,2]時，f(x)＝2x＋log2x，則f(2 019)＝(　　) A．5 B． C．2 D．－2 (2)函數f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________． (1)D　(2)　[(1)

19、由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函數f(x)是周期為4的周期函數，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2. (2)由函數f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)， 可知函數f(x)的周期是4， 所以f(15)＝f(－1)＝＝， 所以f(f(15))＝f＝cos ＝.] 　利用周期性將所求值轉化到已知區(qū)間上的函數值． 　設f(x)是定義在R上的周期為3的函數，當x∈[－2,1) 時，f(x)＝ 則f＝________. 　[由題意可得f ＝f ＝f ＝4×2－2＝，f ＝.] 8