2022年高考數(shù)學一輪總復習 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關系教案 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學一輪總復習 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關系教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　直線與圓的位置關系的判斷 【例1】已知圓的方程x2＋y2＝2，直線y＝x＋b，當b為何值時， (1)直線與圓有兩個公共點； (2)直線與圓只有一個公共點. 【解析】方法一：(幾何法) 設圓心O(0,0)到直線y＝x＋b的距離為d，d＝＝，半徑r＝. 當d＜r時，直線與圓相交，＜，－2＜b＜2， 所以當－2＜b＜2時，直線與圓有兩個公共點. 當d＝r時，直線與圓相切， ＝，b＝±2， 所以當b＝±2時，直線與圓只有一個公共點. 方法二：(代數(shù)法) 聯(lián)立兩個方程得方

2、程組 消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2. 當Δ＞0，即－2＜b＜2時，有兩個公共點； 當Δ＝0，即b＝±2時，有一個公共點. 【點撥】解決直線與圓的位置關系的問題時，要注意運用數(shù)形結合思想，既要運用平面幾何中有關圓的性質，又要結合待定系數(shù)法運用直線方程中的基本關系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習慣. 【變式訓練1】圓2x2＋2y2＝1與直線xsin θ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋，k∈Z)的位置關系是(　　) A.相離 B.相切 C.相交 D.不能確定 【解析】選A.易知圓的半徑r＝，設圓心到直線的距離為d，則d＝. 因為θ≠＋kπ，k∈Z.所

3、以0≤sin2θ＜1， 所以＜d≤1，即d＞r，所以直線與圓相離. 題型二　圓與圓的位置關系的應用 【例2】如果圓C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上總存在兩個點到原點的距離為1，求實數(shù)a的取值范圍. 【解析】到原點的距離等于1的點在單位圓O：x2＋y2＝1上.當圓C與圓O有兩個公共點時，符合題意，故應滿足2－1＜|OC|＜2＋1， 所以1＜＜3，即＜|a|＜， 所以－＜a＜－或＜a＜為所求a的范圍. 【變式訓練2】兩圓(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q兩點，若點P的坐標為(1,2)，則點Q的坐標為　　　　　. 【解析】由兩圓的方程可

4、知它們的圓心坐標分別為(－1,1)，(2，－2)，則過它們圓心的直線方程為＝，即y＝－x. 根據(jù)圓的幾何性質可知兩圓的交點應關于過它們圓心的直線對稱. 故由P(1,2)可得它關于直線y＝－x的對稱點，即點Q的坐標為(－2，－1). 題型三　圓的弦長、中點弦的問題 【例3】已知點P(0,5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程； (2)求圓C內過點P的弦的中點的軌跡方程. 【解析】(1)如圖，AB＝4，D是AB的中點，則AD＝2，AC＝4， 在Rt△ADC中，可得CD＝2. 設所求直線的斜率為k，則直線的方程為

5、y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由點C到直線的距離公式＝2， 得k＝，此時直線l的方程為3x－4y＋20＝0. 又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時的方程為x＝0. 所以所求直線為x＝0或3x－4y＋20＝0. (也可以用弦長公式求解) (2)設圓C上過點P的弦的中點為D(x，y)， 因為CD⊥PD，所以＝0，即(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0， 化簡得軌跡方程x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 【點撥】在研究與弦的中點有關問題時，注意運用“平方差法”，即設弦AB兩端點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點為(x0，y0)， 由得k＝＝－＝－. 該

6、法常用來解決與弦的中點、直線的斜率有關的問題. 【變式訓練3】已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(　　) A.10 B.20 C.30 D.40 【解析】選B.圓的方程化成標準方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，過點(3,5)的最長弦為AC＝10，最短弦為BD＝2＝4，S＝AC·BD＝20. 總結提高 1.解決直線與圓、圓與圓的位置關系有代數(shù)法和幾何法兩種，用幾何法解題時要注意抓住圓的幾何特征，因此常常要比代數(shù)法簡捷.例如，求圓的弦長公式比較復雜，利用l＝2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)求弦長比代數(shù)法要簡便. 2.處理直線與圓，圓與圓的位置關系，要全面地考查各種位置關系，防止漏解，如設切線為點斜式，要考慮斜率不存在的情況是否合題意，兩圓相切應考慮外切和內切兩種情況. 3.處理直線與圓的位置關系時，特別是有關交點問題時，為避免計算量過大，常采用“設而不求”的方法.