2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 綜合法與分析法、反證法教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第五節(jié)　綜合法與分析法、反證法 [考綱傳真]　1.了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法；了解綜合法和分析法的思考過程和特點(diǎn).2.了解反證法的思考過程和特點(diǎn)． 1．綜合法 從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明，這樣的思維方法稱為綜合法． 2．分析法 從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等，這樣的思維方法稱為分析法． 3．反證法 (1)定義：在證明數(shù)學(xué)命題時，先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個前提下，若推出的結(jié)果與定義、公

2、理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立．這種證明方法叫作反證法． (2)反證法的證明步驟是： ①作出否定結(jié)論的假設(shè)； ②進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾； ③否定假設(shè)，肯定結(jié)論． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)綜合法的思維過程是由因?qū)Ч鸩綄ふ乙阎谋匾獥l件． (　　) (2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件． (　　) (3)用反證法證明時，推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾． (　　) (4)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思

3、路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．要證a2＋b2－1－a2b2≤0 ，只要證明(　　) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a(chǎn)2＋b2－1－≤0 C．－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0 D　[a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.] 3．用反證法證明命題：“已知a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實(shí)根”時，要做的假設(shè)是(　　) A．方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個實(shí)根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個實(shí)根 D．

4、方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個實(shí)根 A　[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實(shí)根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根”，故選A．] 4．已知a，b，x均為正數(shù)，且a>b，則與的大小關(guān)系是________． >　[∵－＝>0，∴>.] 5．(教材改編)在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為__________三角形． 等邊　[由題意2B＝A＋C， 又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c

5、)2＝0，∴a＝c， ∴A＝C，∴A＝B＝C＝， ∴△ABC為等邊三角形．] 綜合法 1．已知m＞1，a＝－，b＝－，則以下結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)＞b　　　　 B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)，b大小不定 B　[∵a＝－＝， b＝－＝. 而＋＞＋＞0(m＞1)， ∴＜， 即a＜b.] 2．已知函數(shù)f(x)＝－(a＞0，且a≠1)． (1)證明：函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱； (2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值． [證明]　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

6、為(1－x，－1－y)． 由已知y＝－， 則－1－y＝－1＋＝－， f(1－x)＝－＝－ ＝－＝－， ∴－1－y＝f(1－x)， 即函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱． (2)由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)， 即f(x)＋f(1－x)＝－1. ∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1， f(0)＋f(1)＝－1. 則f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3. [規(guī)律方法]　綜合法證題的思路 分析法 1．若a，b∈(1，＋∞)，證明＜. [證明]　要證＜， 只需證()2＜()2， 只需證a＋b－1

7、－ab＜0， 即證(a－1)(1－b)＜0. 因?yàn)閍＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0， 即(a－1)(1－b)＜0成立， 所以原不等式成立． 2．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c. 求證：＋＝. [證明]　要證＋＝， 即證＋＝3，也就是＋＝1， 只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需證c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60°， 由余弦定理，得，b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即b2＝c2＋a2－ac， 故c2＋a2＝ac＋b2成立． 于是原等式成

8、立． [規(guī)律方法]　分析法的證題思路 (1)分析法的證題思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時命題得證． (2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證． 反證法 ?考法1　證明否定性命題 【例1】　設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列． (1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式； (2)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列． [解]　(1)設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn

9、. 則Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， 兩式相減得(1－q)Sn＝a1－a1qn＝a1(1－qn)， 當(dāng)q≠1時，Sn＝， 當(dāng)q＝1時，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1， 所以Sn＝ (2)證明：假設(shè)數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列， 則(a1＋1)(a3＋1)＝(a2＋1)2， 即a1a3＋a1＋a3＋1＝a＋2a2＋1， 因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，公比為q， 所以a1a3＝a，a2＝a1q，a3＝a1q2， 所以a1(1＋q2)＝2a1q. 即q2－2q＋1＝0，(q－1)2＝0，q＝1， 這與已

10、知q≠1矛盾， 所以假設(shè)不成立，故數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列． ?考法2　證明“至多”“至少”命題 【例2】　已知a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)，用反證法證明三個方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一個方程有兩個相異實(shí)根． [證明]　假設(shè)三個方程都沒有兩個相異實(shí)根． 則Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0， Δ3＝4a2－4bc≤0， 上述三個式子相加得： a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0. 所以a＝b＝c這與a，b，c是互不相等的實(shí)

11、數(shù)相矛盾． 因此假設(shè)不成立，故三個方程ax2＋2bx＋c＝0， bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一個方程有兩個相異實(shí)根． [規(guī)律方法]　用反證法證明數(shù)學(xué)命題需把握的三點(diǎn) (1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面； (2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證； (3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，但是推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的． 設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立． [證明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時，等號成立，即a＋b≥2. (2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時成立， 則由a2＋a<2及a>0，得0