2021版高考數學一輪復習 第七章 算法、復數、推理與證明 7.3 合情推理與演繹推理練習 理 北師大版

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1、 7.3 合情推理與演繹推理 核心考點·精準研析 考點一　類比推理? 1.運用祖暅原理計算球的體積時,構造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱,與半球(如圖一)放置在同一平面上,然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點,圓柱上底面為底面的圓錐(如圖二),用任何一個平行于底面的平面去截它們時,可證得所截得的兩個截面面積相等,由此證明該幾何體與半球體積相等.現將橢圓+=1繞y軸旋轉一周后得一橄欖狀的幾何體(如圖三),類比上述方法,運用祖暅原理可求得其體積等于 (　　) A.4π　B.8π　C.16π　D.32π 2.我們知道:在平面內,點(x0,y0)到直線Ax+By

2、+C=0的距離公式d=,通過類比的方法,可求得:在空間中,點(2,4,1)到直線x+2y+2z+3=0的距離為 (　　) A.3　　 B.5 C. D.3 【解析】1.選C.構造一個底面半徑為2,高為3的圓柱,在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點的圓錐, 那么當截面與底面距離為h(0≤h≤3)時,小圓錐的底面半徑為r,那么=,所以r=h,故截面面積為4π-, 把y=h代入橢圓+=1可得x=±, 所以橄欖球形幾何體的截面面積為πx2=4π-, 由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積V=2(V圓柱-V圓錐)= 2=16π. 2.選B.類比平面內點到直線的距離公式,可得空間中點(x0

3、,y0,z0)到直線Ax+By+Cz+D=0的距離公式為 d=,那么所求距離d==5. 　類比推理的分類 考點二　演繹推理? 【典例】數列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+). (1)求a2,a3,a4的值,猜想數列{an}的通項公式. (2)運用(1)中的猜想,證明數列是等差數列,并注明大前提、小前提和結論. 【解題導思】 序號 題目拆解 (1) 猜想數列的通項公式 根據a2,a3,a4的結構特征歸納猜想 (2) 證明數列是等差數列 證明-=常數 【解析】(1)因為數列{an}中,a1=1,an+1=, a2=,a3=,a4=,猜想:an=.

4、 (2)因為通項公式為an的數列{an},假設an+1-an=d,d是常數,那么{an}是等差數列,…大前提 又因為-=,為常數;…小前提 所以數列是等差數列.…結論 　演繹推理的推證規(guī)那么 　(1)演繹推理是從一般到特殊的推理,其一般形式是三段論,應用三段論解決問題時,應當首先明確什么是大前提和小前提,如果前提是顯然的,那么可以省略. (2)在推理論證過程中,一些稍復雜一點的證明題常常要由幾個三段論才能完成. 　設數列{an}的前n項和為Sn,且滿足an=2-Sn(n∈N*). (1)求a1,a2,a3,a4的值并寫出其通項公式. (2)用三段論證明數列{an}是等比數

5、列. 【解析】(1)由an=2-Sn, 當n=1時,a1=2-S1=2-a1,解得a1=1, 當n=2時,a2=2-S2=2-a1-a2,解得a2=, 當n=3時,a3=2-S3=2-a1-a2-a3,解得a3=, 當n=4時,a4=2-S4=2-a1-a2-a3-a4,解得a4=, …由此歸納推理得an=(n∈N*). (2)因為通項公式為an的數列{an}, 假設=p,p是非零常數,那么{an}是等比數列; 因為通項公式an=,又=; 所以通項公式an=的數列{an}是等比數列. 考點三　歸納推理? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)考查數學定義、等式

6、、不等式的證明. (2)考查邏輯推理的核心素養(yǎng). 2.怎么考:與數列、根本初等函數結合考查數學概念、數列相關的等式、不等式的證明. 3.新趨勢:與三角、統(tǒng)計等知識點的交匯問題. 學 霸 好 方 法 1.數字排列問題的解題方法:先從行的規(guī)律歸納開頭與末尾的數與所在行的關系式,再從列的規(guī)律歸納數與所在列的關系式,最后歸納表中各個數與行列的關系式 2.與式子有關的推理 (1)與不等式有關的歸納推理:觀察所給幾個不等式兩邊式子的特點,注意縱向看、找出隱含規(guī)律. (2)與數列有關的歸納推理:通常是先求出幾個特殊項,采用不完全歸納法,找出數列的項與項數的關系,列出式子即可. 3.

7、圖形問題的解法:與圖形變化有關的歸納推理,合理利用特殊圖形歸納推理得出結論,并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡? 與數字有關的歸納推理 【典例】(2021·宜昌模擬)大衍數列,源于?乾坤譜?中對易傳“大衍之數五十〞的推論,揭示了中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理(其衍生過程如下列圖).大衍數列的前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,那么此數列第25項與第26項之和為 (　　) A.600　　 B.650　　 C.700　　 D.750 【解析】選B.0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,72,84,98,112,128,144,162, 180,

8、200,220,242,264,288,312,338,故此數列第25項與第26項之和為312+338=650. 與式子有關的歸納推理 【典例】(2021·武漢模擬)古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數.如三角形數1,3,6,10,……,第n個三角形數為=n2+n,記第n個k邊形數為N(n,k)(k≥3),以以下出了局部k邊形數中第n個數的表達式: 三角形數N(n,3)=n2+n 正方形數N(n,4)=n2 五邊形數N(n,5)=n2-n 六邊形數N(n,6)=2n2-n 可以推測N(n,k)=________________,由此計算N(5,12)=_________

9、_______. 【解析】原式子可化為: N(n,3)=n2+n=n2+n; N(n,4)=n2=n2+n; N(n,5)=n2-n=n2+n; N(n,6)=2n2-n=n2+n; 可推測N(n,k)=n2+n, 故N(5,12)=5×52-4×5=105. 答案:n2+n　105 與圖形有關的歸納推理 【典例】(2021·衡水模擬)如圖,第(1)個多邊形是由正三角形“擴展“而來,第(2)個多邊形是由正方形“擴展〞而來,……,如此類推.設由正n邊形“擴展〞而來的多邊形的邊數為an,那么+++…+= (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.a3=12,a4

10、=20,a5=30,猜想an=n(n+1)(n≥3,n∈N*),所以==-, 所以+++…+=+++…+=-=. 1.(2021·山東省實驗中學模擬)觀察以下式子,ln 2>,ln 3>+,ln 4>++,……,根據上述規(guī)律,第n個不等式應該為________________.? 【解析】根據題意,對于第一個不等式,ln 2>,那么有l(wèi)n(1+1)>, 對于第二個不等式,ln 3>+,那么有l(wèi)n(2+1)>+, 對于第三個不等式,ln 4>++,那么有l(wèi)n(3+1)>++, 以此類推: 第n個不等式為:ln(n+1)>++…+. 答案:ln(n+1)>++…+ 2.(

11、2021·西北工業(yè)大學附中模擬)將全體正整數排成一個三角形數陣:按照以下排列的規(guī)律,第n行(n≥3)從左向右的第3個數為________________.? 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 …… 【解析】第n-1行最后一個數是1+2+3+…+(n-1)=,第n(n≥3)行從左至右的第3個數是 +3=. 答案: 如圖,將平面直角坐標系的格點(橫、縱坐標均為整數的點)按如下規(guī)那么標上數字標簽:原點處標0,點(1,0)處標1,點(1,-1)處標2,點(0,-1)處標3,點(-1,-1)處標4,點(-1,0)處標5,點(-1,1)處標6,點(0,1)處標7,…,以此類推,那么格點坐標(22,23)的標簽為 (　　) A.2 109 B.2 107 C.2 207 D.2 209 【解析】選C.觀察圖像得點(1,0)處標1,即12,點(2,1)處標9,即32,點(3,2)處標25,即52,歸納點(n+1,n)處標(2n+1)2,那么格點坐標(24,23)的標簽為(2×23+1)2=2 209,又點(22,23)在點(24,23)左邊兩格,即格點坐標(22,23)的標簽為2 207. 可修改 歡迎下載 精品 Word