《原子物理學(xué)》答案

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1、 原子物理學(xué)習(xí)題解答 劉富義 編 臨沂師范學(xué)院物理系 理論物理教研室 第一章 原子的基本狀況 若盧瑟福散射用的a粒子是放射性物質(zhì)鐳C ' 放射的，其動(dòng)能為 8 ′106 電子伏 特。散射物質(zhì)是原子序數(shù) Z = 79 的金箔。試問(wèn)散射角q = 150o 所對(duì)應(yīng)的瞄準(zhǔn)距離b多大？ 解：根據(jù)盧瑟福散射公式： 得到： c o

2、 t q 2  = 4 p e 0 M v 2 b = 2 Z e 2  4 p e 0  K a b Z e 2 Z e2ctg q  7 9 ′ (1 .6 0 ′ 1 01 9 ) 2 ctg 1 5 0o 2 2 - 1 5 b = 4pe K = = 3 .9 7 ′ 1 0 米 ( 4p ′ 8 .8 5 ′ 1 0 - 1 2 ) ′ (7 .6 8 ′ 1 06 ′ 1 0- 1 9 ) 0 a 式中 Ka = 1 Mv 2 是a 粒子的功能。

3、 已知散射角為q 的a粒子與散射核的最短距離為 1 2 Z e 2 1 r m = ( 4 p e ) M v 2 ( 1 + ) s i n q ，試問(wèn)上題a粒子與散射的金原子核 0 2 之間的最短距離rm 多大？ 解：將 題中各量代入rm 的表達(dá)式，得： 1 2 Z e2 1 rm i n = ( 4p e ) Mv2 (1 + ) s i n q 0 2 = 9 ′ 1 0 9 ′ 4 ′ 7 9 ′ (1 .6 0 ′ 1 0 - 1 9 ) 2 7 .6

4、 8 ′ 1 0 6 ′ 1 .6 0 ′ 1 0 - 1 9  ′ (1 + 1 ) sin 7 5o = 3 .0 2 ′ 1 0 - 1 4 米 若用動(dòng)能為 1 兆電子伏特的質(zhì)子射向金箔。問(wèn)質(zhì)子與金箔。問(wèn)質(zhì)子與金箔原子核可 能達(dá)到的最小距離多大？又問(wèn)如果用同樣能量的氘核（氘核帶一個(gè) +e電荷而質(zhì)量是質(zhì)子的 兩倍，是氫的一種同位素的原子核）代替質(zhì)子，其與金箔原子核的最小距離多大？ 解：當(dāng)入射粒子與靶核對(duì)心碰撞時(shí)，散射角為180o 。當(dāng)入射粒子的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為兩 粒子間的勢(shì)能時(shí)，兩粒子間的作用距離最小。 根據(jù)上面的分析可得： 1 M

5、v 2  = K p =  Ze 2  ，故有： rm i n =  Z e 2 2 4 pe 0 r m i n 4 p e 0 K p 7 9 ′ (1 . 6 0 ′ 1 0 - 1 9 ) 2 = 9 ′ 1 0 9 ′ = 1 . 1 4 ′ 1 0 - 1 3 米 1 0 6 ′ 1 . 6 0 ′ 1 0 - 1 9 由上式看出：rmin 與入射粒子的質(zhì)量無(wú)關(guān)，所以當(dāng)用相同能量質(zhì)量和相同電量得到核代 替質(zhì)子時(shí)，其與靶核的作用的最小距離仍為4 ′10-13

6、 米。 釙放射的一種a粒子的速度為7 ′107 米/秒，正面垂直入射于厚度為10-7 米 、 密度為2 ′104 公斤/ 米3 的金箔。試求所有散射在q > 90o 的a粒子占全部入射粒子數(shù) 的百分比。已知金的原子量為197 。 解：散射角在q : q + dq 之間的a粒子數(shù)dn與入射到箔上的總粒子數(shù) n 的比是： d n = n  N td s 其中單位體積中的金原子數(shù)： N = r / mAu = r N0 / AAu 而散射角大于 900 的粒子數(shù)為： d n ' dn ' = ò dn

7、 = nNtòp ds 2 所以有： n = N t p d s 2 r N 1 2 Ze 2 c o s q o = 0 × t × ( ) 2 p ( ) 2 ò 1 8 0  2 dq AA u 4 pe 0 M u 2 9 0 o s i n 3 q 2 cos q I = ò180 2 d sin q dq = 2 ò180 2 = 1 等式右邊的積分： 90o sin 3 q= 90o sin 3 q

8、2 2 故 ' 2 d n = rN0 × t × ( 1 ) 2 p ( 2 Z e ) 2 n A Au 4p e0 - 6 Mu2 - 4 0 ? 8 . 5 ′ 1 0 = 8 . 5 ′ 1 0 0 即速度為 ′107 米 / 秒 的a粒子在金箔上散射，散射角大于 90o 以上的粒子數(shù)大約是 ′10 -4 0 0 a粒子散射實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)在散射角很?。╭ ￡ 15o）時(shí)與理論值差得較遠(yuǎn)，時(shí)什么原 因？ 答：a粒子散射的理論值是在“一次散射“的假定下得出的。

9、而a 粒子通過(guò)金屬箔，經(jīng)過(guò) 好多原子核的附近，實(shí)際上經(jīng)過(guò)多次散射。至于實(shí)際觀察到較小的q 角，那是多次小角散射 合成的結(jié)果。既然都是小角散射，哪一個(gè)也不能忽略，一次散射的理論就不適用。所以，a 粒 子散射的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在散射角很小時(shí)與理論值差得較遠(yuǎn)。 已知a 粒子質(zhì)量比電子質(zhì)量大 7300 倍。試?yán)弥行粤Ｗ优鲎瞾?lái)證明：a粒子散射“受 電子的影響是微不足道的”。 r r r' 證明：設(shè)碰撞前、后a粒子與電子的速度分別為：v , v', 0, ve 。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，得： r r v a v a r + ve 由此得： r

10、 ' a a m r ' ve = M 1 r ' ve 7300  …… (1) 又根據(jù)能量守恒定律，得： 1  2 1 ' 2 1 ' 2 Mv a = 2 2 ' 2 Mv a + 2 m ' 2 mv e 2 ……（2） va = va 將（1）式代入（2）式，得： + ve M 2 = v' 2 + 7300 v v v a v a ) 整理，得：v2 (7300 - 1) + v' 2 (7300

11、 + 1) - 2 ′ 7300 v v' cos q = 0 a a a a Q 7300 3 1 v v \ 上式可寫(xiě)為： 7300（ v a - v ' ) 2 = 0 v v v a v a = 0 即a粒子散射“受電子的影響是微不足道的”。 能量為 兆電子伏特的細(xì)a粒子束射到單位面積上質(zhì)量為 ′10 -2 公斤 / 米2 的銀箔上，a粒子與銀箔表面成 60o 角。在離 L= 米處放一窗口面積為 ′10 -5 米2 的計(jì)數(shù)器。測(cè)得散射進(jìn)此窗口的a 粒子是全部入射a粒子的百萬(wàn)分之 29。若已知

12、銀的原子 量為 107.9。試求銀的核電荷數(shù) Z。 解：設(shè)靶厚度為t' 。非垂直入射時(shí)引起a粒子在靶物質(zhì)中通過(guò)的距離不再是靶物質(zhì)的厚 20o 度t' ，而是t = t' / sin 60o ，如圖 1-1 所示。 因?yàn)樯⑸涞絨 與q + dq 之間dW 立體 角內(nèi)的粒子數(shù) dn 與總?cè)肷淞Ｗ訑?shù) n 的比為：  60° d n = n 而ds 為：  N td s 2  (1)  60o  t, t 圖 d s = ( 1 4pe 0 ) 2 ( ze ) 2

13、Mv 2 d W sin 4 q 2 （2） 把（2）式代入（1）式，得： dn = Nt ( n 1 4pe0 ) 2 ( ze ) 2 Mv2 dW sin 4 q 2  ……（3） 式中立體角元dW = ds/ L2 ,t = t' / sin 600 = 2t' / 3,q = 200 N 為原子密度。 Nt' 為單位面上的原子數(shù)， Nt' = h/ m = h (AAg / N ) -1 ，其中h是單位 面積式上的質(zhì)量；m Ag 是銀原子的質(zhì)量；

14、 AAg 是銀原子的原子量； N0 是阿佛加德羅常數(shù)。 將各量代入（3）式，得： dn = = 2  hN 0 ( 1  ) 2 (  ze 2 dW ) 2 n 由此，得：Z=47 3 AAg 4 pe 0 Mv 2 sin 4 q 2 設(shè)想鉛（Z=82）原子的正電荷不是集中在很小的核上，而是均勻分布在半徑約為 10-10 米的球形原子內(nèi)，如果有能量為106 電子伏特的a粒子射向這樣一個(gè)“原子”，試通過(guò) 計(jì)算論證這樣的a粒子不可能被具有上述設(shè)想結(jié)構(gòu)的原子產(chǎn)生散射角大于 900 的散

15、射。這個(gè) 結(jié)論與盧瑟福實(shí)驗(yàn)結(jié)果差的很遠(yuǎn)，這說(shuō)明原子的湯姆遜模型是不能成立的（原子中電子的影 響可以忽略）。 解：設(shè)a 粒子和鉛原子對(duì)心碰撞，則a 粒子到達(dá)原子邊界而不進(jìn)入原子內(nèi)部時(shí)的能量有 下式?jīng)Q定： 1 Mv2 = 2Ze 2 / 4pe R = ′10 -16 焦耳 ? ′103電子伏特 2 0 由此可見(jiàn)，具有106 電子伏特能量的a粒子能夠很容易的穿過(guò)鉛原子球。a粒子在到達(dá)原子 表面和原子內(nèi)部時(shí)，所受原子中正電荷的排斥力不同，它們分別為： F = 2Ze 2 / 4pe R2 和F = 2Ze 2 r/ 4pe R 3 ?？梢?jiàn)，原子表面處a 粒子所受

16、的斥力最大，越 0 0 靠近原子的中心a粒子所受的斥力越小，而且瞄準(zhǔn)距離越小，使a粒子發(fā)生散射最強(qiáng)的垂 直入射方向的分力越小。我們考慮粒子散射最強(qiáng)的情形。設(shè)a粒子擦原子表面而過(guò)。此時(shí)受 力為 F = 2Ze 2 / 4pe R2 ?？梢哉J(rèn)為a 粒子只在原子大小的范圍內(nèi)受到原子中正電荷的作 用，即作用距離為原子的直徑 D。并且在作用范圍 D 之內(nèi)，力的方向始終與入射方向垂直， 大小不變。這是一種受力最大的情形。 根據(jù)上述分析，力的作用時(shí)間為 t=D/v, a粒子的動(dòng)能為 1 Mv 2 = K ，因此， 2 v = 2K / M ，所以，t = D/ v

17、 = D M / 2K 根據(jù)動(dòng)量定理： t Fdt = p  - p 0 = Mv - 0 ò0 ^ ^ ^ 而 t 2 2 t 2 2 ò0 Fdt = 2Ze / 4pe0 R ò0 dt = 2Ze t/ 4pe0 R 2 2 所以有： 2Ze t/ 4pe0 R = Mv ^ 由此可得：v ^ = 2Ze 2t/ 4pe R2 M a 粒子所受的平行于入射方向的合力近似為 0，入射方向上速度不變。據(jù)此，有： tgq = v ^ 

18、= 2Ze 2t/ 4pe R2 Mv = 2Ze 2 D/ 4pe R2 Mv2 v 0 0 = ′10 -3 這時(shí)q很小，因此tgq ? q = ′10 -3 弧度，大約是8.2‘。 這就是說(shuō)，按題中假設(shè)，能量為 1 兆電子伏特的a 粒子被鉛原子散射，不可能產(chǎn)生散射 角q > 900 的散射。但是在盧瑟福的原子有核模型的情況下，當(dāng)a粒子無(wú)限靠近原子核時(shí)， 會(huì)受到原子核的無(wú)限大的排斥力，所以可以產(chǎn)生q > 900 的散射，甚至?xí)a(chǎn)生q ? 1800 的散 射，這與實(shí)驗(yàn)相符合。因此，原子的湯姆遜模型是不成立的。 第二章 原子

19、的能級(jí)和輻射 試計(jì)算氫原子的第一玻爾軌道上電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率、線(xiàn)速度和加速度。 解：電子在第一玻爾軌道上即年 n=1。根據(jù)量子化條件， p = mvr  = n h f 2 p v nh h 可得：頻率 n = = 2 2 2pa1 2pma1 2pma1 = 6.58 ′1015 赫茲 速度： v = 2pa1n = h/ ma1 = 2.188 ′10  米/秒 加速度： w = v / r = v 2 / a1 = ′10 22 米 / 秒2 試由氫原子的里德

20、伯常數(shù)計(jì)算基態(tài)氫原子的電離電勢(shì)和第一激發(fā)電勢(shì)。 解：電離能為 E = E - E ，把氫原子的能級(jí)公式 E = -Rhc/ n2 代入，得： E = R hc ( 1 i H 12 - 1 ) = Rhc= 電子伏特。 ￥ 電離電勢(shì)：V = Ei = 伏特 i e 第一激發(fā)能： E = R  hc ( 1 -  1 ) = 3 Rhc = 3 ′13.60 = 10.20 電子伏特 i H 12 22 4 4 第一激發(fā)電勢(shì)：V1 = E1 e  = 伏特

21、 用能量為 電子伏特的電子去激發(fā)基態(tài)氫原子，問(wèn)受激發(fā)的氫原子向低能基躍遷 時(shí)，會(huì)出現(xiàn)那些波長(zhǎng)的光譜線(xiàn)？ 解：把氫原子有基態(tài)激發(fā)到你 n=2,3,4……等能級(jí)上去所需要的能量是： E = hcR ( 1 - 1 )  其中hcR  = 電子伏特 H 12 n2 H E1 = ′ (1 - E 2 = ′ (1 - E 3 = ′ (1 - 1 ) = 電子伏特 2 2 1 ) = 電子伏特 32 1 ) = 電子伏特 4 2 其中 E1和E 2 小于 電子伏特，E 3 大于 電子伏特。

22、可見(jiàn)，具有 電子伏特能量的 電子不足以把基態(tài)氫原子激發(fā)到n 3 4 的能級(jí)上去，所以只能出現(xiàn)n ￡ 3 的能級(jí)間的躍遷。 躍遷時(shí)可能發(fā)出的光譜線(xiàn)的波長(zhǎng)為： 1 1 = RH ( 2 1 2 o  1 - 2 ) = 5RH / 36 3 l1 = 6565 A 1 1 = RH ( - 1 ) = 3 R l 12 2 2 4 o l 2 = 1215 A 1 1 = RH ( - 1 ) = 8 R l 12 32 9 o l 3 = 1025 A

23、 試估算一次電離的氦離子 H+ 、二次電離的鋰離子 L+ 的第一玻爾軌道半徑、電離電 e i 勢(shì)、第一激發(fā)電勢(shì)和賴(lài)曼系第一條譜線(xiàn)波長(zhǎng)分別與氫原子的上述物理量之比值。 解：在估算時(shí)，不考慮原子核的運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的影響，即把原子核視為不動(dòng)，這樣簡(jiǎn)單些 。 a) 氫原子和類(lèi)氫離子的軌道半徑： 4pe h 2 n 2 n2 0 r = = a1 , n = 1,2,3?? 4p mZe Z 2 其中a1 = 4pe0 h 4p2 me 2 = ′10 -10 米，是氫原子的玻爾第一軌道半徑； Z是核電荷數(shù)，對(duì)于H, Z = 1；

24、對(duì)于H, Z = 2；對(duì)于Li+ +，Z = 3； r + Z 因此，玻爾第一軌道半徑之比是 He = H  1 r + + Z 1 = , Li = H = r Z + 2 r Z + + 3 b) 氫和類(lèi)氫離子的能量公式： H He H Li 2 4 2 2 E = - 2p me Z = E × Z  , n = 1,2,3?? (4pe ) 2 n 2 h 2 1 n2 2 4 其中 E1 = - 2p me (4pe ) 2 h

25、2 ? -13.6電子伏特，是氫原子的基態(tài)能量。 電離能之比： 0 -  EHe  2 = He  = 4 , 0 - EH H + + 2 0 - ELi Z + + = Li = 9 0 - EH H c) 第一激發(fā)能之比： 22 2 1 E1 2 2 - E1 E He - E He = 22 12 = 4 2 - E 1 E 1 - E 1 2 1 E1 1 2 2 32 -

26、E1 1 12 32 E Li - E Li = 2 2 12 = 9 2 - E 1 E 1 - E 1 1 2 2 1 12 d) 氫原子和類(lèi)氫離子的廣義巴耳末公式： v~ = Z R ( - ) ， {n  =(n +1),(n + 2)?? 2 1 1 n1=1, 2 , 3?? 2 2 2 1 1 n 1 n 2 其中 R = 2p2 me 4 (4pe ) 2 h 3  是里德伯常數(shù)。 氫原子賴(lài)曼系第一條譜線(xiàn)的波數(shù)為： H ( 1 1

27、) 1 v%1 = R - = 12 22 l H 相應(yīng)地，對(duì)類(lèi)氫離子有： 因此， + = 22 R ( 1 1 12 ++ = 32 R ( 1 1 12 - 1 ) = 1 22 + 1 - 1 ) = 1 22 ++ 1 He + 1 H 1  Li + + 1 H 1 試問(wèn)二次電離的鋰離子 L+ + 從其第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時(shí)發(fā)出的光子，是否有可能 使處于基態(tài)的一次電離的氦粒子 H+ 的電子電離掉？ 解： L+ + 由第一激

28、發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時(shí)發(fā)出的光子的能量為： H+ 的電離能量為： + v He 1 = 4hcRHe ( 2 1 1 - ￥ ) = 4hcRHe hvLi+ + = 27RLi = 27 × 1 + m/ MHe hvHe+ 16RHe 16 1 + m/ MLi 由于 MHe < MLi , 所以1 + m/ MHe > 1 + m/ MLi ， 從而有 hv Li+ + > hv He + ，所以能將 He 的電子電離掉。 氫與其同位素氘（質(zhì)量數(shù)為 2）混在同一

29、放電管中，攝下兩種原子的光譜線(xiàn)。試問(wèn) 其巴耳末系的第一條（ H a ）光譜線(xiàn)之間的波長(zhǎng)差 Dl 有多大？已知?dú)涞睦锏虏?shù) R = ′107 米-1 ，氘的里德伯常數(shù) R = 1.0970742 ′107 米-1 。 解： 1 = R ( 1 - 1 ) ，l  = 36 / 5R H 2 2 H H H 1 = R ( 1 - 1 ) ，l  = 36 / 5R D 2 2 D D D Dl = l H - l D = o = 1.79 A 36 ( 1 5 RH -

30、 1 ) RD 已知一對(duì)正負(fù)電子繞其共同的質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)暫時(shí)形成類(lèi)似于氫原子結(jié)構(gòu)的“正電子 o 素”。試計(jì)算“正電子素”由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷發(fā)射光譜的波長(zhǎng)l為多少 A？ 1 解： = R ( 1 - 1 ) = R 1 · 3 = 3 R l e+e- 12 2 2 ￥ =m 4 8 1 + m l = 8 3R￥ = 1 3 ′10973731 o 米 = 2430 A 試證明氫原子中的電子從 n+1 軌道躍遷到 n 軌道，發(fā)射光子的頻率nn 。當(dāng) n>>1 時(shí) 光子頻率即為電子繞第

31、 n 玻爾軌道轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率。 證明：在氫原子中電子從 n+1 軌道躍遷到 n 軌道所發(fā)光子的波數(shù)為： v~ = 1 = R[ 1 - 1 ] n 2 (n+ 1) 2 頻率為：v = c = Rc[ 1 - 1 ] = 2n+ 1 Rc n l n 2 (n+ 1) 2 n2 (n+ 1) 2 當(dāng) n>>1 時(shí)，有 (2n+ 1) / n 2 (n+ 1) 2 ? 2n/ n 4 = 2 / n 3 ，所以在 n>>1 時(shí)，氫原子中 電子從 n+1 軌道躍遷到 n 軌

32、道所發(fā)光子的頻率為： v n = 2Rc/ n 。 設(shè)電子在第 n 軌道上的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為 f n ，則 f = v mvr = P = 2Rc n 2pr 2pmr2 2pmr2 n 3 因此，在 n>>1 時(shí)，有 vn = f n 由上可見(jiàn)，當(dāng) n>>1 時(shí)，請(qǐng)?jiān)又须娮榆S遷所發(fā)出的光子的頻率即等于電子繞第 n 玻爾軌道 轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率。這說(shuō)明，在 n 很大時(shí)，玻爾理論過(guò)渡到經(jīng)典理論，這就是對(duì)應(yīng)原理。 Li 原子序數(shù) Z=3，其光譜的主線(xiàn)系可用下式表示： v~ =  R (1 + 1) 2  - R

33、(n- 1) 2  。已知鋰原子電離成 Li+++ 離子需要 電子伏特的 功。問(wèn)如把 Li+ 離子電離成 Li++ 離子，需要多少電子伏特的功？ 解：與氫光譜類(lèi)似，堿金屬光譜亦是單電子原子光譜。鋰光譜的主線(xiàn)系是鋰原子的價(jià)電 子由高的 p 能級(jí)向基態(tài)躍遷而產(chǎn)生的。一次電離能對(duì)應(yīng)于主線(xiàn)系的系限能量，所以 Li+ 離子 電離成 Li++ 離子時(shí)，有 E1 = Rhc (1 + 0.5951) 2 - Rhc ? ￥ R￥ hc (1 + 0.5951) 2 = 5.35電子伏特 Li+ + 是類(lèi)氫離子，可用氫原子

34、的能量公式，因此 Li+ + ? Li+ + + 時(shí)，電離能 E 為： E = Z Rhc ? Z2RR hc = 122.4電子伏特 。 3 12 ￥ 設(shè) Li+ ? Li+ + 的電離能為 E 。而 Li ? Li+ + + 需要的總能量是 E= 電子伏特，所以有 E 2 = E - E1 - E3 = 75.7電子伏特 具有磁矩的原子，在橫向均勻磁場(chǎng)和橫向非均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)有什么不同？ 答：設(shè)原子的磁矩為 m ，磁場(chǎng)沿 Z 方向，則原子磁矩在磁場(chǎng)方向的分量記為 m Z ，于是 具有磁矩的原子在磁場(chǎng)中所受的力為 F

35、 ? B = m Z ? Z ?B ，其中 是磁場(chǎng)沿 Z 方向的梯度。 ?Z 對(duì)均勻磁場(chǎng)， ?B = 0 ，原子在磁場(chǎng)中不受力，原子磁矩繞磁場(chǎng)方向做拉摩進(jìn)動(dòng)，且對(duì)磁場(chǎng) ?Z ?B 的 取向服從空間量子化規(guī)則。對(duì)于非均磁場(chǎng)， 1 0 原子在磁場(chǎng)中除做上述運(yùn)動(dòng)外，還 ?Z 受到力的作用，原子射束的路徑要發(fā)生偏轉(zhuǎn)。 2.11 史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中，處于基態(tài)的窄銀原子束通過(guò)不均勻橫向磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的梯度 ?B 為 = 103 特斯拉/米，磁極縱向范圍 L = 米(見(jiàn)圖 2-2)，從磁極到屏距離 L =0.10 米 ， ?Z 1

36、 2 原子的速度v = 5 ′102 米/秒。在屏上兩束分開(kāi)的距離d = 米。試確定原子磁矩在磁 場(chǎng)方向上投影 m 的大?。ㄔO(shè)磁場(chǎng)邊緣的影響可忽略不計(jì)）。 解：銀原子在非均勻磁場(chǎng)中受到垂直于入射方向的磁場(chǎng)力作用。其軌道為拋物線(xiàn)；在 L 區(qū)域粒子不受力作慣性運(yùn)動(dòng)。經(jīng)磁場(chǎng)區(qū)域 L 后向外射出時(shí)粒子的速度為 v ' ，出射方向與 入射方向間的夾角為q 。q 與速度間的關(guān)系為：tgq = v ^ v 粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng) L1 出射時(shí)偏離入射方向的距離 S 為： = 1 ?B L1 2 S = ( ) 2m ?Z v m Z ……（1） 將

37、上式中用已知量表示出來(lái)變可以求出 m Z f v ^ = at , a = = m m ?B m ?Z  ,t = L1 / v \ v ^ ' = m Z ?B L1 m ?Z v m Z ?B L1L2 S = L2tgq =  m ?Z v2 S = d - S' = d - m Z ?B L1L2 2 2 m ?Z v2 把 S 代入（1）式中，得： d - m Z ?B L1L2 = m Z ?B L1 2 m ?Z v2 2m ?Z v2 m 整理

38、，得： Z ?B L1 (L + 2L ) = d 2m ?Z v2 1 2 2 由此得： m Z = ′10 -23 焦耳 / 特 觀察高真空玻璃管中由激發(fā)原子束所發(fā)光譜線(xiàn)的強(qiáng)度沿原子射線(xiàn)束的減弱情況， 可以測(cè)定各激發(fā)態(tài)的平均壽命。若已知原子束中原子速度v = 103 米/秒，在沿粒子束方向 上相距 1.5 毫米其共振光譜線(xiàn)強(qiáng)度減少到 1/2。試計(jì)算這種原子在共振激發(fā)態(tài)的平均壽命。 解：設(shè)沿粒子束上某點(diǎn) A 和距這點(diǎn)的距離 S=1.5 毫米的 B 點(diǎn)，共振譜線(xiàn)強(qiáng)度分別為 I0 和I 1 ，并設(shè)粒子束在 A 點(diǎn)的

39、時(shí)刻為零時(shí)刻，且此時(shí)處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為 N20 ，原子束 經(jīng)過(guò) t 時(shí)間間隔從 A 到達(dá) B 點(diǎn)，在 B 點(diǎn)處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為 N2 。 光譜線(xiàn)的強(qiáng)度與處于激發(fā)態(tài)的原子數(shù)和單位時(shí)間內(nèi)的躍遷幾率成正比。設(shè)發(fā)射共振譜線(xiàn) I 1 的躍遷幾率為 A21 ，則有 I 0 μ A21 N2 A21 N20 = N2 N20 I 適當(dāng)選取單位，使 1 I 0 = N2 N20  = 1/ ， 并注意到 N2 = N20 e - A21t , 而t = S / v， N 則有： 2 N20

40、 由此求得：  = e - A21t = 1/ 1 v A21 = (ln - ln1) = t ln s t = 1 A21  = s vln  ′10 -3 = 103 ′ ln = ′10 -6 秒 第三章 量子力學(xué)初步 o 波長(zhǎng)為1 A的 X 光光子的動(dòng)量和能量各為多少？ 解：根據(jù)德布羅意關(guān)系式，得： 動(dòng)量為： p = h = 6.63 ′10 -34  = 6.63 ′ 10 - 24 千克 · 米 · 秒-1

41、l 10 -10 能量為： E = hv = hc/ l = ′10 -34 ′ 3 ′108 /10 -10 = ′10 -15 焦耳。 經(jīng)過(guò) 10000 伏特電勢(shì)差加速的電子束的德布羅意波長(zhǎng)l = ? 子束的德布羅意波長(zhǎng)是多少？ 解：德布羅意波長(zhǎng)與加速電壓之間有如下關(guān)系：  用上述電壓加速的質(zhì) l = h/ 2meV 對(duì)于電子：m = 1′10 -31 公斤，e = ′10 -19 庫(kù)侖 把上述二量及 h 的值代入波長(zhǎng)的表示式，可得： 12.25 o 12.25 o o l = A =

42、V  10000 A= 0.1225 A 對(duì)于質(zhì)子，m = ′10 -27 公斤，e = ′10 -19 庫(kù)侖 ，代入波長(zhǎng)的表示式，得： l = 6.626 ′10 -34 o = 2.862 ′10-3 A 2 ′1.67 ′10-27 ′1.60 ′10-19 ′10000 電子被加速后的速度很大，必須考慮相對(duì)論修正。因而原來(lái)l = 布羅意波長(zhǎng)與加速電壓的關(guān)系式應(yīng)改為： l = 12.25 (1 - 0.489 ′10 -6V) A  12.25 o A的電子德 V V 其中 V 是以伏

43、特為單位的電子加速電壓。試證明之。 證明：德布羅意波長(zhǎng)：l = h/ p 對(duì)高速粒子在考慮相對(duì)論效應(yīng)時(shí)，其動(dòng)能 K 與其動(dòng)量 p 之間有如下關(guān)系： K2 + 2Km c2 = p2c2 而被電壓 V 加速的電子的動(dòng)能為： K = eV \ p2 = (eV) c2  + 2m0eV 因此有：  p = 2m eV + (eV) 2 / c2 l = h/ p =  h × 2m0eV  1 1 + eV 2m c2 一般情況下，等式右邊根式中eV / 2m c2 一項(xiàng)

44、的值都是很小的。所以，可以將上式的 根式作泰勒展開(kāi)。只取前兩項(xiàng)，得： l = h  (1 -  eV ) =  h (1 - ′10-6V) 2m0eV 4m0c 2m0eV 由于上式中h m eV ? 12.25 A，其中 V 以伏特為單位，代回原式得： / 2 0  V l = (1 - ′10 -6V) A V 由此可見(jiàn)，隨著加速電壓逐漸升高，電子的速度增大，由于相對(duì)論效應(yīng)引起的德布羅意波長(zhǎng) 變短。 試證明氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個(gè)電子的德布羅意波波長(zhǎng)。上述結(jié)果不

45、 但適用于圓軌道，同樣適用于橢圓軌道，試證明之。 證明：軌道量子化條件是： ò pdq = nh 對(duì)氫原子圓軌道來(lái)說(shuō)， p = 0, p = mr2 所以有：  · f = mvr ò pdf = 2p × mvr = nh S = 2pr = n h mv  = nl , n = 1,2,3?? 所以,氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個(gè)電子的德布羅意波長(zhǎng)。橢圓軌道的量子化條件 是： ò pf df = ò pr dr = 其中 nf h nr h · · 2 pr = m

46、r , pf = mr f \ ò ( prdr+ pfdf) = nh, 其中n= nf + nr · · 而 ( p dr + p df) = (mrdr + mr2 fdf) ò r f ò = ò mrdrdt + mr2 f df dt · · ( ) dt dt = ò mv2 dt = ò mvds h ds = ò ds = h ò r l ds \ ò l = n 因此，橢圓軌道也正好包含整數(shù)個(gè)德布羅意波波長(zhǎng)。 帶電粒子在威耳孫云室（一種徑跡探測(cè)器）中的軌跡是一串小霧滴，霧滴德線(xiàn)度約 為 1 微米。當(dāng)觀察能量為 1000

47、 電子伏特的電子徑跡時(shí)其動(dòng)量與精典力學(xué)動(dòng)量的相對(duì)偏差不 小于多少？ 解：由題知,電子動(dòng)能 K=1000 電子伏特， Dx = 10 -6 米，動(dòng)量相對(duì)偏差為 Dp/ p。 根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，有 DpDx 3 經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)量為： h ，由此得： Dp 3 2 h 2Dx p = 2mK \ Dp 3 p  2Dx  h 2mK  = 3.09 ′10 -5 電子橫向動(dòng)量的不準(zhǔn)確量與經(jīng)典力學(xué)動(dòng)量之比如此之小，足見(jiàn)電子的徑跡與直線(xiàn)不會(huì)有明顯 區(qū)別。 證明自由運(yùn)動(dòng)的粒子（勢(shì)能V o 0 ）的能量可以有連續(xù)的值。 證

48、明：自由粒子的波函數(shù)為： v v + ( p ×r- Et ) y = Ae h ……（1） h 2 自由粒子的哈密頓量是： H = - ? 2 2m  ……（2） 自由粒子的能量的本征方程為： Hy = Ey ……（3） h 2 把（1）式和（2）式代入（3）式，得： - 2m v v + ( p ×r-Et) ? 2 [ Ae h  ] = Ey 即： - h ? 2 A( d + d d2 + i ( p x+ p y+ p z-Et)

49、 + )e h = Ey 2m dx2 2 dy2 dz2 p y = Ey 2m \ E = p 2m 自由粒子的動(dòng)量 p 可以取任意連續(xù)值，所以它的能量 E 也可以有任意的連續(xù)值。 粒子位于一維對(duì)稱(chēng)勢(shì)場(chǎng)中，勢(shì)場(chǎng)形式入圖 3-1，即 0< x < L,V = 0 x < 0 , x> L,V =V0 （1）試推導(dǎo)粒子在 E < V0 情況下其總能量 E 滿(mǎn)足的關(guān)系式。 （2）試?yán)蒙鲜鲫P(guān)系式，以圖解法證明，粒子的能量只能是一些不連續(xù)的值。 解：為方便起見(jiàn),將勢(shì)場(chǎng)劃分為Ⅰ?Ⅱ?Ⅲ三個(gè)區(qū)域。 d2y （1） 定態(tài)振幅方程為 (

50、x) + 2m (E -V )y = 0 式中 m 是粒子的質(zhì)量。 dx2 h 2 ( x) ( x) d2y 2m Ⅰ區(qū)： - a2y = 0其中a2 = (V  - E ) dx2 h2 0 波函數(shù)處處為有限的解是：y (x ) = Aeax , A是一任意常數(shù) 。 d2y Ⅱ區(qū)：  + b2y = 0其中b2 = 2m E dx 2 h2 處處有限的解是：y2 (x ) = Bsin(bx+ g), B,g是任意常數(shù)。 d2y 2m Ⅲ區(qū)： - a2y =

51、 0其中a2 = (V  - E ) dx2 h2 0 處處有限的解是：y (x ) = De -ax , D是任意常數(shù)。 1 有上面可以得到： y1 dy1 dx = a , 1 y2 dy2 dx = bctg (bx+ g), 1 y3 dy3 dx  = -a , 有連續(xù)性條件，得： a = ctg g { b - a = ctg ( bL + g ) b 解得： b + b tg ( bL) = - a a b 2 1 -

52、 a 2 因此得： bL = np - 2tg-1 (b /a) 這就是總能量所滿(mǎn)足的關(guān)系式。 （2） 有上式可得： b = tg( np - bL a 2 2 -tg bL ??n =偶數(shù)，包括零 = { ctg 2 bL ??n =奇數(shù) 2 aL = -(bL )ctg bL 2 亦即 aL = (bL )tg bL 2 令 bL = u ,aL = v，則上面兩方程變?yōu)椋? v = -utg u ??（1） 2 v = utg u ??（2） 2

53、另外，注意到u和v還必須滿(mǎn)足關(guān)系：u2 + v2 = 2mV L2 / h2 ??（3） 所以方程（1）和（2）要分別與方程（3）聯(lián)立求解。 有一粒子，其質(zhì)量為 m ,在一個(gè)三維勢(shì)箱中運(yùn)動(dòng)。勢(shì)箱的長(zhǎng)、寬、高分別為 a、b、c在勢(shì)箱外，勢(shì)能V = ￥ ；在勢(shì)箱內(nèi)，V = 0 。式計(jì)算出粒子可能具有的能量。 解：勢(shì)能分布情況，由題意知： Vx = 0,0 ￡ x ￡ a; V y = 0,0 ￡ y ￡ b; Vz = 0,0 ￡ z ￡ c; Vx = ￥, x < 0和x > a V y = ￥, y < 0和y > b Vz = ￥, z < 0和z

54、> c 在勢(shì)箱內(nèi)波函數(shù)y(x, y , z ) 滿(mǎn)足方程： 2 2 2 m ? y + ? y + ? y + 2  [E - (V + V  + V )]y = 0 2x2 2 y2 2z2 h2 x y z 解這類(lèi)問(wèn)題，通常是運(yùn)用分離變量法將偏微分方程分成三個(gè)常微分方程。 令y(x, y , z ) = X(x )Y( y )Z(z ) 代入（1）式，并將兩邊同除以 X(x )Y( y )Z(z ) ，得： 1 d2 X ( - 2m V ) + ( 1 d2

55、Y - 2m V ) + ( 1 d2 Z - 2m V ) = - 2mE X dx2 h2 x Y dy2 h2 y Z dz2 h2 z h2 方程左邊分解成三個(gè)相互獨(dú)立的部分，它們之和等于一個(gè)常數(shù)。因此，每一部分都應(yīng)等于一 個(gè)常數(shù)。由此，得到三個(gè)方程如下： 1 d2 X - X dx2  2m 2 Vx = - h  2m 2 E x h 1 d2Y - Y dy2 2m 2 V y = - h 2m 2 E y h 1 d2 Z - Z dz

56、2  2m 2 Vz = - h  2m 2 E z h 其中E = E x + E y + E z , E x , E y , E z皆為常數(shù)。 將上面三個(gè)方程中的第一個(gè)整數(shù)，得： d X + 2m(E  -V ) X = 0 ……（2） dx2 h2 x x 邊界條件： X(0) = X(l ) = 0 可見(jiàn)，方程（2）的形式及邊界條件與一維箱完全相同，因此，其解為： X = 2 sin n xp x n a a 2 2 E = p h n 2 , n  = 1,2,3??

57、 x 2pa2 x x 類(lèi)似地，有 Y = 2 sin n yp y n b b 2 2 E = p h n 2 , n  = 1,2,3?? y 2pb 2 y y Z = 2 sin n zp z n c c 2 2 E = p h n 2 , n  = 1,2,3?? z 2pc2 z z \y(x, y , z ) = 8 sin n xpxsin n ypysin n zpz p2 h 2 abc a b c n 2 n 2 n 2

58、 E = ( x + y 2m a2 b 2 + z ) c2 可見(jiàn)，三維勢(shì)箱中粒子的波函數(shù)相當(dāng)于三個(gè)一維箱中粒子的波函數(shù)之積。而粒子的能量 相當(dāng)于三個(gè)一維箱中粒子的能量之和。 對(duì)于方勢(shì)箱，a = b = c,波函數(shù)和能量為： y(x, y , z ) =  8 sin n xpxsin n ypysin n zpz a 3 a a a 2 2 E = p h n 2 , n 2 = n 2 + n 2 + n 2 2ma2 x y z 第四章 堿金屬原子 o o 已知

59、 Li 原子光譜主線(xiàn)系最長(zhǎng)波長(zhǎng)l = 6707 A，輔線(xiàn)系系限波長(zhǎng)l ￥ = 3519 A。求 鋰原子第一激發(fā)電勢(shì)和電離電勢(shì)。 解：主線(xiàn)系最長(zhǎng)波長(zhǎng)是電子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷產(chǎn)生的。輔線(xiàn)系系限波長(zhǎng)是電子從 無(wú)窮處向第一激發(fā)態(tài)躍遷產(chǎn)生的。設(shè)第一激發(fā)電勢(shì)為V1 ，電離電勢(shì)為V￥ ，則有： eV = h c 1 l \V = hc 1 le eV = h c ￥ l  = 0伏特 + h c l ￥ \V￥ = hc( 1 + 1 ) = 5伏特。 e l l ￥ o o Na原子的基態(tài) 3S

60、。已知其共振線(xiàn)波長(zhǎng)為 5893 A，漫線(xiàn)系第一條的波長(zhǎng)為 8193 A， o o 基線(xiàn)系第一條的波長(zhǎng)為 18459 A，主線(xiàn)系的系限波長(zhǎng)為 2413 A。試求 3S、3P、3D、4F 各譜 項(xiàng)的項(xiàng)值。 解：將上述波長(zhǎng)依次記為 l pmax , ld max , lf max , l p￥ , o o o o 即l pmax = 5893 A, ld max = 8193 A, lf max = 18459 A, l p￥ = 2413 A 容易看出： T3S  = v~ 

61、 = 1 l P￥  = ′106 米-1 T3P = 1 l P￥ - 1 l pmax  = ′106 米-1 T3D T4F  = T3 p = T3D - 1 ld max - 1 lf max  = ′106 米-1 = ′106 米-1 o o 4.3 K 原子共振線(xiàn)波長(zhǎng) 7665 A，主線(xiàn)系的系限波長(zhǎng)為 2858 A。已知 K 原子的基態(tài) 4S。 試求 4S、4P 譜項(xiàng)的量子數(shù)修正項(xiàng) D s , D p 值各為多少？ o o ~

62、解：由題意知：l pmax = 7665 A, l p￥ = 2858 A,T4s = v P￥ = 1/ l P 由T4S = R (4 - Ds ) 2  ，得： 4 - Ds =  Rk / T4S 1 1 設(shè) RK ? R,則有 Ds = 9,T4P = l - l 與上類(lèi)似 Dp ? 4 - P￥ R￥ / T4P = Pmax  Li 原子的基態(tài)項(xiàng) 2S。當(dāng)把 Li 原子激發(fā)到 3P 態(tài)后，問(wèn)當(dāng) 3P 激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷時(shí) 可能產(chǎn)生哪些譜線(xiàn)（不考慮精細(xì)

63、結(jié)構(gòu)）？ 答：由于原子實(shí)的極化和軌道貫穿的影響，使堿金屬原子中 n 相同而 l 不同的能級(jí)有很 大差別，即堿金屬原子價(jià)電子的能量不僅與主量子數(shù) n 有關(guān)，而且與角量子數(shù) l 有關(guān)，可以 記為 E = E (n,l ) 。理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明 l 越小，能量越低于相應(yīng)的氫原子的能量。 當(dāng)從 3P 激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷時(shí)，考慮到選擇定則： Dl = ±1 ，可能產(chǎn)生四條光譜，分別由 以下能級(jí)躍遷產(chǎn)生： 3P ? 3S ;3S ? 2P;2P ? 2S ;3P ? 2S。 4.5 為什么譜項(xiàng) S 項(xiàng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)總是單層結(jié)構(gòu)？試直接從堿金屬光譜雙線(xiàn)的規(guī)律和從 電子自旋與軌道相互

64、作用的物理概念兩方面分別說(shuō)明之。 答：堿金屬光譜線(xiàn)三個(gè)線(xiàn)系頭四條譜線(xiàn)精細(xì)結(jié)構(gòu)的規(guī)律性。第二輔線(xiàn)系每一條譜線(xiàn)的二 成分的間隔相等，這必然是由于同一原因。第二輔線(xiàn)系是諸 S 能級(jí)到最低 P 能級(jí)的躍遷產(chǎn)生 的。最低 P 能級(jí)是這線(xiàn)系中諸線(xiàn)共同有關(guān)的，所以如果我們認(rèn)為 P 能級(jí)是雙層的，而 S 能級(jí) 是單層的，就可以得到第二輔線(xiàn)系的每一條譜線(xiàn)都是雙線(xiàn)，且波數(shù)差是相等的情況。 主線(xiàn)系的每條譜線(xiàn)中二成分的波數(shù)差隨著波數(shù)的增加逐漸減少，足見(jiàn)不是同一個(gè)來(lái)源。 主線(xiàn)系是諸 P 能級(jí)躍遷到最低 S 能級(jí)所產(chǎn)生的。我們同樣認(rèn)定 S 能級(jí)是單層的，而推廣所有 P 能級(jí)是雙層的

65、，且這雙層結(jié)構(gòu)的間隔隨主量子數(shù) n 的增加而逐漸減小。這樣的推論完全符 合堿金屬原子光譜雙線(xiàn)的規(guī)律性。因此，肯定 S 項(xiàng)是單層結(jié)構(gòu)，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。 堿金屬能級(jí)的精細(xì)結(jié)構(gòu)是由于堿金屬原子中電子的軌道磁矩與自旋磁矩相互作用產(chǎn)生 附加能量的結(jié)果。S 能級(jí)的軌道磁矩等于 0，不產(chǎn)生附加能量，只有一個(gè)能量值，因而 S 能 級(jí)是單層的。 計(jì)算氫原子賴(lài)曼系第一條的精細(xì)結(jié)構(gòu)分裂的波長(zhǎng)差。 解：賴(lài)曼系的第一條譜線(xiàn)是 n=2 的能級(jí)躍遷到 n=1 的能級(jí)產(chǎn)生的。根據(jù)選擇定則，躍遷 只能發(fā)生在 2 2 P ? 12 S 之間。而 S 能級(jí)是單層的，所以，賴(lài)曼系的第一條譜線(xiàn)之精細(xì)結(jié)構(gòu) 是由 P

66、 能級(jí)分裂產(chǎn)生的。 氫原子能級(jí)的能量值由下式?jīng)Q定： E = - Rhc (Z - s) n2 Rhca2 (Z - S) 4 - n 3 ′ ( 1 j + =1 2 - 3 ) 4n 其中 (Z - s) = (Z - S) = 1 2 2 c Q E (2 P3 / 2 ) - E (1 S1 / 2 ) = h 1 hc \ l1 = 2 2 E (2 2 P3 / 2 ) - E (1 2 S1 / 2 ) c Q E (2 P1 / 2 ) - E (1 S1 / 2 ) = h l 2 hc \ l 2 = 2 2 因此，有： E (2 P1 / 2 ) - E (1 S1 / 2 ) Dl = l 2 - l1 = hc[E (2 2  P ) - E (12  S1 / 2 )] [E (2 2 P ) - E (12 S1 / 2 )][E (2 2 P1 /