輕松寒假,快樂復習30天 第10天

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1、 輕松寒假，快樂復習30天 第10天空間角及距離（非向量法） ★思路點睛 一．求二面角的平面角的基本方法： 1.定義法（點P在棱上） 2.三垂線定理法（點P在一個半平面上），此法關鍵是找出線面（二面角中的某個）垂直，再過線上的點做棱的垂線。 3.垂面法（點P在二面角內(nèi)）過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條射線所成的角，即為二面角的平面角。（或棱不出現(xiàn)，僅有一個交點出現(xiàn)時，過該交點存在兩平面的公共垂面，公共垂面與原來兩平面形成的角為二面角的平面角） 4.射影面積法: 5.補棱法本法是針對在解構成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將

2、兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。 6.向量法（下節(jié)作業(yè)） 二．求空間距離的常用方法：直接法、轉化法、體積法、找垂面法、向量法。 三．注意事項：一定要注意各角的范圍，兩條異面直線所成的角]；線面角];斜線與平面所成角）；二面角]。 ★典型試題 1．已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為 A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 試題分析：如圖： 在正四棱錐中，連接AC與BD相交于一點O，連結OE，由于是的中點，所以OE//SD，故AEO即為直線所成的角；易知AOE是直角，又側棱長與底面邊長

3、都相等，設棱長為2，則A0=，OE=1，AE=，所以有：cosAEO=; 故選C． 2．正方體，棱長為4，點到截面的距離為（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 試題分析：點到截面的距離為正方體的對角線的，即. 3．在長方體中，．若分別為線段，的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 試題分析：取的中點G，連接EG、FG、，容易證明為直線與平面所成角，設AB=a，則，在三角形中可求出，在三角形中可求出，所以在三角形中可求出，答案選C. 4.正四面體ABCD的頂點A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，則下列命題

4、中，錯誤的是() A．O－ABC是正三棱錐 B．直線OB∥平面ACD C．直線AD與OB所成的夾角為45° D．二面角D－OB－A為45° 【答案】B 【解析】構造圖形，把此正四面體放在正方體中?？梢耘袛郃，C，D為真命題，直線OB與平面ACD相交，所以B為假命題． 5．在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a

5、-ABCD中，AC和AB成角為． 【答案】 【解析】 試題分析：由題意可得：在正方體ABCD-ABCD中，AC和AB成角即為AC和AB所成角，所以是. 7．到正方體ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點： ①有且只有1個； ②有且只有2個； ③有且只有3個； ④有無數(shù)個． 其中正確答案的序號是________ 【答案】④ 【解析】注意到正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線B1D上的每一點到直線AB，CC1，A1D1的距離都相等，因此到ABCD-A1B1C1D1的三條棱AB，CC1，A1D1所在直線距離相等的點有無數(shù)個，其中正確答

6、案的序號是④. 8．已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，則點B到平面EFG的距離為． 【答案】 【解析】設B到面EFG的距離為h， 由于， 所以 另一方面，， 所以， 得即為B到平面GEF的距離。 9.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為１的菱形，∠BCD＝600，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=2. （1）平面PBE與平面PAB的位置關系是． （2）平面PAD和平面PBE所成的二面角（銳角）的大小為． 【答案】（1）垂直；（2） 【解析】 解：延長相交于點，連結.

7、過點作于,由（1）知平面平面，所以平面.在中，因為,所以. 在等腰中,取的中點,連接.則.連結.由三垂線定理的逆定理得，.所以是平面和平面所成的二面角的平面角（銳角） 在等腰中, 在中, 所以，在中， 故平面和平面所成的二面角的平面角（銳角）的大小是 10.（能力提高）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，OK＝，且圓O與圓K所在的平面所成的一個二面角為60°，則球O的表面積等于________． 【答案】16π 【解析】設兩圓的公共弦AB的中點為D，則KD⊥DA，OD⊥DA，∠ODK即為圓O和和圓K所在平面所成二面角的平面角，所以∠ODK＝60°.由于O

8、為球心，故OK垂直圓K所在平面，所以OK⊥KD.在直角三角形ODK中，＝sin60°，即OD＝×＝，設球的半徑為r，則DO＝r，所以r＝，所以r＝2，所以球的表面積為4πr2＝16π. 11.如圖，在三棱錐中，，，，． A C B D P （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求點到平面的距離． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）． 【解析】 解法一： （Ⅰ）取中點，連結． ，．，． ，平面． 平面，． （Ⅱ） A C B E P ，， ． 又，． 又，即，且， 平面． 取中點．連結． ，． 是在平面內(nèi)的

9、射影，． 是二面角的平面角． 在中，，， ，． 二面角的大小為． （Ⅲ） A C B D P H 由（Ⅰ）知平面， 平面平面． 過作，垂足為． 平面平面，平面． 的長即為點到平面的距離． 由（Ⅰ）知，又，且， 平面．平面，． 在中，，， ．． 點到平面的距離為． 解法二： （Ⅰ）取中點，連結． ，．，． ，平面． 平面，． （Ⅱ） A C B E P ，， ． 又，． 又，即，且， 平面． 取中點．連結． ，． 是在平面內(nèi)的射影，． 是在平面內(nèi)的射影， 于是可求得：, 則, 設二面角的大小為，則

10、 二面角的大小為． （Ⅲ） A C B D P H 由（Ⅰ）知平面， 平面平面． 過作，垂足為． 平面平面，平面． 的長即為點到平面的距離． 由（Ⅰ）知，又，且， 平面．平面，． 在中，，， ．． 點到平面的距離為． ★真題摘編 （2013高考真題）如圖，正三棱柱中，是中點． A B C E B1 A1 C1 （1）求證：平面⊥平面； （2）若，求二面角的大?。? 【答案】（1）見解析；（2）45° 【解析】 （1）證明：如圖，∵是正三棱柱， ∴ ∴． ∵△ABC是正三角形，E是AC中點， ∴ ∴. 又∵

11、， ∴平面． （2）解：如圖，作，于G，連CG. ∵平面， ∴， ∴FG是CG在平面上的射影. ∴根據(jù)三垂線定理得，， ∴∠CGF是二面角的平面角， 設，∵，則. 在中，. 在中，, 在中，∵, ∴. ∴二面角的大小是45°. County continuation records has examined and approved the draft, spirit, believe, prehensive Yearbook of zhuanglang already prepared draft, entered the phase of evaluation. Civil air defense work