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1、課時訓練23 相似三角形
限時：30分鐘
夯實基礎(chǔ)
1．[2018·重慶A卷]要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長分別為5 cm，6 cm和9 cm，另一個三角形的最短邊長為2．5 cm，則它的最長邊為( )
A．3 cm B．4 cm C．4．5 cm D．5 cm
2．[2017·河北]若△ABC的每條邊長增加各自的10%得△A'B'C'，則∠B'的度數(shù)與其對應角∠B的度數(shù)相比( )
A．增加了10% B．減少了10% C．增加了(1＋1
2、0%) D．沒有改變
3．[2018·自貢]如圖K23－1，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為( )
圖K23－1
A．8 B．12 C．14 D．16
4．如圖K23－2，在△ABC中，中線BE，CD相交于點O，連接DE，下列結(jié)論：①DEBC＝12；②S△DOES△COB＝12；③ADAB＝OEOB；
④S△DOES△ADE＝13．其中正確的個數(shù)有( )
圖K23－2
A．1個
3、 B．2個 C．3個 D．4個
5．如圖K23－3，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)為CD邊的兩個三等分點，連接AF，BE交于點G，則S△EFG∶S△ABG＝( )
圖K23－3
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
6．已知c4＝b5＝a6≠0，則b＋ca的值為 ?。?
7．[2017·長春]如圖K23－4，直線a∥b∥c，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D
4、，E，F(xiàn)．若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，則EF的長為 ?。?
圖K23－4
8．[2018·巴中]如圖K23－5，已知在△ABC中，BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點F，且∠BAC＝45°，BD＝6，CD＝4，則△ABC的面積為 ?。?
圖K23－5
9．[2018·江西]如圖K23－6，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分線，BD交AC于點E．求AE的長．
圖K23－6
10．如圖K23－7，在△ABC中，∠ACB＝90°，點G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延長線交
5、AB于H．
(1)求證：△CAG∽△ABC；
(2)求S△AGH∶S△ABC的值．
圖K23－7
能力提升
11．[2018·瀘州]如圖K23－8，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G，若AE＝3ED，DF＝CF，則AGGF的值是( )
圖K23－8
A．43 B．54 C．65 D．76
12．[2018·包頭]如圖K23－9，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一個動點(
6、不與點A，B重合)，連接CD，將CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接DE，DE與AC相交于點F，連接AE．下列結(jié)論：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD＝25°，則∠AED＝65°；
③DE2＝2CF·CA；
④若AB＝32，AD＝2BD，則AF＝53．
其中正確的結(jié)論是 ?。?填寫所有正確結(jié)論的序號)?
圖K23－9
13．[2017·鎮(zhèn)江]如圖K23－10，△ABC中，AB＝6，DE∥AC，將△BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到△BD'E'，點D的對應點落在邊BC上，已知BE'＝5，D'C＝4，則BC的長為 ?。?
圖K23－10
拓展練習
14．
7、[2017·攀枝花]如圖K23－11，D是等邊三角形ABC的邊AB上的點，AD＝2，BD＝4．現(xiàn)將△ABC折疊，使得點C與點D重合，折痕為EF，且點E，F(xiàn)分別在邊AC和BC上，則CFCE＝ ?。?
圖K23－11
15．[2018·黃石]在△ABC中，E，F(xiàn)分別為線段AB，AC上的點(不與A，B，C重合)．
(1)如圖K23－12①，若EF∥BC，求證：S△AEFS△ABC＝AE·AFAB·AC．
(2)如圖②，若EF不與BC平行，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．
(3)如圖③，若EF上一點G恰為△ABC的重心，AEAB＝34，求S△AEFS△ABC的值．
8、
圖K23－12
參考答案
1．C 2．D
3．D [解析] ∵點D，E分別是AB，AC的中點，∴ADAB＝AEAC＝12，又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，且相似比為1∶2，∴面積比為1∶4，∵△ADE的面積為4，∴△ABC的面積為16，故選D．
4．C
5．C [解析] ∵E，F(xiàn)為CD邊的兩個三等分點，∴EF＝13CD．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB，CD∥AB，
∴EF＝13AB，△EFG∽△BAG，∴S△EFG∶S△ABG＝EFBA2＝19．
故選C．
9、6．32
7．6 [解析] 由平行線分線段成比例定理可得，ABBC＝DEEF，∴12＝3EF，∴EF＝6．
8．60 [解析] 根據(jù)題意可得，△AEF≌△BEC，∴AF＝BC＝10．設(shè)DF＝x．易知△ADC∽△BDF，∴ADBD＝DCDF，
∴10＋x6＝4x．
整理得x2＋10x－24＝0，解得x＝2或－12(舍去)，∴AD＝AF＋DF＝12，
∴S△ABC＝12BC·AD＝12×10×12＝60．故答案為60．
9．解：∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠DBC，
又∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD，∴∠DBC＝∠D，∴BC＝CD＝4．
又∵∠AEB＝∠CED，∴△A
10、EB∽△CED，∴ABCD＝AECE，∴AECE＝84＝2，∴AE＝2EC，解得EC＝12AE，
∵AC＝AE＋EC＝6，∴AE＋12AE＝6，解得AE＝4．
10．解：(1)證明：∵點G是△ABC的重心，∴CH為AB邊上的中線．
∵∠ACB＝90°，∴CH＝12AB＝AH，∴∠ACG＝∠CAB．
∵∠ACB＝∠AGC＝90°，∴△CAG∽△ABC．
(2)∵點G是△ABC的重心，
∴CG＝2HG，∴HG＝13CH，∴S△AHG＝13S△ACH．
∵CH為AB邊上的中線，∴S△ACH＝12S△ABC，∴S△AHG＝13×12S△ABC＝16S△ABC，
∴S△AGH∶S△ABC
11、＝1∶6．
11．C [解析] 因為正方形ABCD中，AE＝3ED，DF＝CF，所以設(shè)邊長為4a，則AE＝3a，ED＝a，DF＝CF＝2a，延長BE，CD交于點M，易得△ABE∽△DME，可得MD＝43a，因為△ABG∽△FMG，AB＝4a，MF＝103a，所以AGGF＝ABMF＝65．
12．①②③ [解析] 由題意易得∠BCD＝∠ACE，由“邊角邊”證明△ACE≌△BCD，故①正確;
∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD＝45°．
∵∠BCD＝25°，∴∠ACE＝∠BCD＝25°，
∴∠AED＝∠AEC－∠CED＝(180°－25°－45°)－45°＝65°，故②正確;
12、
∵∠CAE＝∠CED＝45°，∠ACE＝∠ACE，∴△ACE∽△ECF，∴ACEC＝ECFC，即EC2＝AC·FC，
在Rt△DCE中，DE2＝2CE2＝2FC·AC，故③正確;
作DM⊥BC于點M，
∵AB＝32，AD＝2BD，∴BD＝2，AC＝BC＝3，
∴DM＝BM＝1，∴CM＝3－1＝2，∴DC＝CE＝5，
由③可知DE2＝2CE2＝2CF·CA，∴2×(5)2＝2×3×FC，∴FC＝53，∴AF＝3-53＝43，故④錯誤．
13．2＋34 [解析] ①由條件“DE∥AC”可得△BDE∽△BAC，即有BDBA＝BEBC;②由題意可得BE＝BE'＝5，BD＝BD'＝B
13、C－D'C＝BC－4，AB＝6．設(shè)BC＝x，由①②可列方程：x－46＝5x，解得x＝2＋34(2-34舍去)，故BC的長為2＋34．
14．54 [解析] 由題易知∠A＝∠B＝∠EDF＝60°，∴∠AED＝∠FDB，
∴△AED∽△BDF，∴EDDF＝AE＋ED＋ADDF＋BF＋DB．由翻折易知EC＝ED，F(xiàn)C＝FD，
∴CFEC＝BC＋BDAC＋AD，∴CFEC＝54．
15．解：(1)證明：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴AEAB＝AFAC，
∴S△AEFS△ABC＝AE2AB2＝AE·AFAB·AC．
(2)若EF不與BC平行，(1)中的結(jié)論仍然成立．
理由：
14、分別過點F，C作AB的垂線，垂足為N，H．
∵FN⊥AB，CH⊥AB，∴FN∥CH，∴△AFN∽△ACH，∴FNCH＝AFAC，
∴S△AEFS△ABC＝12AE·FN12AB·CH＝AE·FNAB·CH＝AE·AFAB·AC．
(3)連接AG并延長交BC于M，連接BG并延長交AC于N，連接MN．
則M，N分別為BC，AC的中點，∴MN∥AB且MN＝12AB，∴CNCA＝NMAB＝12，S△ABM＝S△ACM，AGAM＝23．
設(shè)AFAC＝a．由(2)可知：
S△AEGS△ABM＝AE·AGAB·AM＝34×23＝12，S△AFGS△ACM＝AG·AFAM·AC＝23a，則S△AEFS△ABC＝S△AEG＋S△AFG2S△ACM，
S△AEG2S△ABM＋S△AFG2S△ACM＝14＋13a．
而S△AEFS△ABC＝AE·AFAB·AC＝34a．
∴14＋13a＝34a，解得：a＝35．
∴S△AEFS△ABC＝34×35＝920．
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福建省2019年中考數(shù)學總復習 第四單元 三角形 課時訓練23 相似三角形練習
