2018年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 春季課程 第一講 相交線試題 (新版)新人教版

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1、第一講 相交線 課程目標(biāo) 1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系,理解鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角概念,掌握對(duì)頂角的性質(zhì); 2.理解點(diǎn)到直線的距離的概念,掌握垂直的定義及性質(zhì); 3.了解“三線八角”模型特征;掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念,并能從圖形中識(shí)別它們. 課程重點(diǎn) 能依據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì),進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算. 課程難點(diǎn) 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念,并能從圖形中識(shí)別它們. 一、知識(shí)梳理: 考點(diǎn)1 鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角 1.鄰補(bǔ)角:如果兩個(gè)角有一條公共邊,并且它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線,那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角. 要點(diǎn)詮釋: (1)鄰補(bǔ)角的定義

2、既包含了位置關(guān)系,又包含了數(shù)量關(guān)系:“鄰”指的是位置相鄰,“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為180°. (2)鄰補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的,而且是“互為”鄰補(bǔ)角. (3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ),但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角. (4)鄰補(bǔ)角滿足的條件:①有公共頂點(diǎn);②有一條公共邊;另一邊互為反向延長(zhǎng)線. 2. 對(duì)頂角及性質(zhì): (1)定義:由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中,有公共頂點(diǎn)沒(méi)有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角,互為對(duì)頂角. (2)性質(zhì):對(duì)頂角相等. 要點(diǎn)詮釋: (1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí),才能產(chǎn)生對(duì)頂角. (2)對(duì)頂角滿足的條件: ①相等的兩個(gè)角; ②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊

3、的反向延長(zhǎng)線. 3. 鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角對(duì)比: 角的名稱 特征 性 質(zhì) 相 同 點(diǎn) 不 同 點(diǎn) 對(duì)頂角 ①兩條直線相交形成的角 ②有一個(gè)公共頂點(diǎn); ③沒(méi)有公共邊. 對(duì)頂角相等. ①都是兩條直線相交而成的角; ②都有一個(gè)公共頂點(diǎn); ③都是成對(duì)出現(xiàn)的. ①有無(wú)公共邊; ②兩直線相交時(shí),對(duì)頂角只有2對(duì);鄰補(bǔ)角有4對(duì). 鄰補(bǔ)角 ①兩條直線相交而成; ②有一個(gè)公共頂點(diǎn); ③有一條公共邊. 鄰補(bǔ)角互補(bǔ). 考點(diǎn)2垂線 1.垂線的定義:兩條直線相交所成的四個(gè)角中,有一個(gè)角是直角時(shí),就說(shuō)這兩條直

4、線互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點(diǎn)叫垂足. 要點(diǎn)詮釋: (1)記法:直線a與b垂直,記作:; 直線AB和CD垂直于點(diǎn)O,記作:AB⊥CD于點(diǎn)O. (2)垂直的定義具有二重性,既可以作垂直的判定,又可以作垂直的性質(zhì),即有: 2.垂線的畫法:過(guò)一點(diǎn)畫已知直線的垂線,可通過(guò)直角三角板來(lái)畫,具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合,沿直線左右移動(dòng)三角板,使另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn),沿此直角邊畫直線,則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示). 要點(diǎn)詮釋: (1)如果過(guò)一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時(shí),指的是它所在直線的垂線,垂足可能在射線的反向延長(zhǎng)線上

5、,也可能在線段的延長(zhǎng)線上. (2)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線,這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段. 3.垂線的性質(zhì): (1)在同一平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直. (2)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短.簡(jiǎn)單說(shuō)成:垂線段最短. 要點(diǎn)詮釋: (1)性質(zhì)(1)成立的前提是在“同一平面內(nèi)”,“有”表示存在,“只有”表示唯一,“有且只有”說(shuō)明了垂線的存在性和唯一性. (2)性質(zhì)(2)是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短.”實(shí)際上,連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無(wú)數(shù)條,但只有一條最短,即垂線段最短.在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問(wèn)題

6、. 4.點(diǎn)到直線的距離: 定義:直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度,叫做點(diǎn)到直線的距離. 要點(diǎn)詮釋: (1) 點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度,是一個(gè)數(shù)量,不能說(shuō)垂線段是距離; (2)求點(diǎn)到直線的距離時(shí),要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段,然后計(jì)算或度量垂線段的長(zhǎng)度. 考點(diǎn)3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念 1. “三線八角”模型 如圖,直線AB、CD與直線EF相交(或者說(shuō)兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截),構(gòu)成八個(gè)角,簡(jiǎn)稱為“三線八角”,如圖1. 圖1 要點(diǎn)詮釋: ⑴兩條直線AB,CD與同一條直線EF相交. ⑵“三線八角”中的每個(gè)角是由截線與一條被截線相交而成.

7、 2. 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義 在“三線八角”中,如上圖1, (1)同位角:像∠1與∠5,這兩個(gè)角分別在直線AB、CD的同一方,并且都在直線EF的同側(cè),具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角. (2)內(nèi)錯(cuò)角:像∠3與∠5,這兩個(gè)角都在直線AB、CD之間,并且在直線EF的兩側(cè),像這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角. (3)同旁內(nèi)角:像∠3和∠6都在直線AB、CD之間,并且在直線EF的同一旁,像這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角. 要點(diǎn)詮釋: (1)“三線八角”是指上面四個(gè)角中的一個(gè)角與下面四個(gè)角中的一個(gè)角之間的關(guān)系,顯然是沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角. (2)“三線八角”中共有4對(duì)同位角,2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角,2

8、對(duì)同旁內(nèi)角. 考點(diǎn)4 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角位置特征及形狀特征 要點(diǎn)詮釋:巧妙識(shí)別三線八角的兩種方法: (1)巧記口訣來(lái)識(shí)別: 一看三線,二找截線,三查位置來(lái)分辨. (2)借助方位來(lái)識(shí)別 根據(jù)這三種角的位置關(guān)系,我們可以在圖形中標(biāo)出方位,判斷時(shí)依方位來(lái)識(shí)別,如圖2. 二、課堂精講: (一)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念與性質(zhì) 例1.(1)下面四個(gè)圖形中,∠1與∠2是對(duì)頂角的圖形的個(gè)數(shù)是() A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知∠1與∠2是鄰補(bǔ)角,∠2是∠3的鄰補(bǔ)角,那么∠1

9、與∠3的關(guān)系是( ). A、對(duì)頂角 B、相等但不是對(duì)頂角 C、鄰補(bǔ)角 D、互補(bǔ)但不是鄰補(bǔ)角 【隨堂演練一】【A類】 1、下列語(yǔ)句錯(cuò)誤的有( )個(gè). (1)兩個(gè)角的兩邊分別在同一條直線上,這兩個(gè)角互為對(duì)頂角 (2)有公共頂點(diǎn)并且相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角 (3)如果兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角互補(bǔ) (4)如果兩個(gè)角不相等,那么這兩個(gè)角不是對(duì)頂角 A、1 B、2 C、3 D、4 2、如圖,直線AB、CD相交于點(diǎn)O,∠1=∠2.則∠1的對(duì)頂角是_____,∠4的鄰補(bǔ)角是______.∠

10、2的補(bǔ)角是_________. 【B類】 3、如圖所示,AB和CD相交于點(diǎn)O,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,試說(shuō)明OM和ON成一條直線。 4、如圖所示,已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE,∠2:∠1=4:l,求. (二)垂線 例2.(1)下列語(yǔ)句:其中正確的是_________ ①兩條直線相交,若其中一個(gè)交角是直角,那么這兩條直線垂直。 ②一條直線的垂線有無(wú)數(shù)條。 ③過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直; ④兩條直線相交成四個(gè)角,如果有兩個(gè)角相等,那么這兩條直線垂直。 (2)點(diǎn)P為直線外一點(diǎn):點(diǎn)

11、A、B、C為直線上三點(diǎn),PA=4 cm,PB=5 cm,PC=2 cm,則點(diǎn)P到直線的距離是 ( ) A.2 cm B.4 cm C.5 cm D.不超過(guò)2 cm 【總結(jié)升華】應(yīng)用垂線的定義及垂線的性質(zhì)時(shí)要把握其中的本質(zhì)要求: ①關(guān)于垂線的定義:要判斷兩條直線是否垂直,只需看它們相交所成的四個(gè)角中,是否有一個(gè)角是直角,兩條線段垂直,是指這兩條線段所在的直線垂直; ②關(guān)于垂線的性質(zhì):平面內(nèi),過(guò)任意一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直,這條性質(zhì)說(shuō)明了已知直線的垂線的“存在性”和“唯一性”,尤其值得注意的是性質(zhì)中的“任意一點(diǎn)”可能在這條已知直線上,也可能在這條已知直線

12、外。 【隨堂演練二】【A類】 1、下列說(shuō)法中正確的是() A.有且只有一條直線垂直于已知直線。 B.從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段,叫做這點(diǎn)到這條直線的距離。 C.互相垂直的兩條直線一定相交。 D.直線c外一點(diǎn)A與直線c上各點(diǎn)連接而成的所有線段中,最短線段的長(zhǎng)是3cm,則點(diǎn)A到直線c的距離是3cm。 2、點(diǎn)到直線的距離是指這點(diǎn)到這條直線的( ) A、垂線段 B、垂線的長(zhǎng) C、長(zhǎng)度 D、垂線段的長(zhǎng) 3、如圖,∠1=30°,AB⊥CD,垂足為O,EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O.求∠2、∠3的度數(shù). 【B類】 4、如圖,若OM平分∠AOB,且

13、OM ⊥ON,求證:ON平分∠BOC. (三)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別 例3.如圖, (1)DE為截線,∠E與哪個(gè)角是同位角? (2)∠B與∠4是同旁內(nèi)角,則截出這兩個(gè)角的截線與被截線是哪些直線? (3)∠B和∠E是同位角嗎?為什么? 【總結(jié)升華】確定角的關(guān)系的方法:(1)先找出截線,由截線與其它線相交得到的角有哪幾個(gè);(2)將這幾個(gè)角抽出來(lái),觀察分析它們的位置關(guān)系;(3)再取其它的線為截線,再抽取與該截線相關(guān)的角來(lái)分析. 【隨堂演練三】【A類】 1、下列圖形中,∠1和∠2不是同位角的是( ?。? A. B. C. D. 【總結(jié)升華】

14、要分析各對(duì)角是由哪兩條直線被哪一條直線所截的,可以把復(fù)雜圖形按題目要求分解成簡(jiǎn)單的圖形后,結(jié)論便一目了然. 【B類】 2、如圖∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中,哪些是同位角?哪些是內(nèi)錯(cuò)角?哪些是同旁內(nèi)角? 3、分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角. 三.小結(jié): 1、對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的,對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角; 2、如果∠α與∠β是對(duì)頂角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角 3、如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角,則一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,則∠α

15、與∠β不一定是鄰補(bǔ)角。 4、兩直線相交形成的四個(gè)角中,每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè),而對(duì)頂角只有一個(gè)。 5、兩直線相交所成的四個(gè)角中,如果有一個(gè)角是直角,那么就稱這兩條直線相互垂直;垂線的性質(zhì):⑴過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。⑵連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所在線段中,垂線段最短。 6、在復(fù)雜圖形中,分析同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角,應(yīng)把圖形分解成幾個(gè)“兩條直線與同一條直線相交”的圖形,并抽取交點(diǎn)處的角來(lái)分析. 四、課堂練習(xí) 1、已知:如圖,直線a、b、c兩兩相交,且a⊥b,∠1=2∠3,,求∠4的度數(shù). 2、如圖,107國(guó)道上有一個(gè)出口M,想在附近公路旁建一個(gè)加油站,欲使

16、通道最短,應(yīng)沿怎樣的線路施工? 3、直線AB、CD相交于點(diǎn)O,OE⊥AB于點(diǎn)O,∠COE=40°,求∠BOD的度數(shù) 4、如圖所示,O是直線AB上一點(diǎn),射線OC、OD在AB的兩側(cè),且∠AOC=∠BOD,試證明∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角. 五、課后鞏固練習(xí) 【A類】 一、選擇題 1. a、b、c是平面上任意三條直線,交點(diǎn)可以有() A.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè) B. 0個(gè)或1個(gè)或2個(gè)或3個(gè) C.1個(gè)或2個(gè) D. 都不對(duì) 2.下列說(shuō)法正確的有 ( ) ①因?yàn)椤?與∠2是對(duì)頂角,所以∠1=∠2;

17、②因?yàn)椤?與∠2是鄰補(bǔ)角,所以∠1=∠2; ③因?yàn)椤?和∠2不是對(duì)頂角,所以∠1≠∠2; ④因?yàn)椤?和∠2不是鄰補(bǔ)角,所以∠1+∠2≠180°. A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) 3.如圖,∠PQR=138°,SQ⊥QR,QT⊥PQ,則∠SQT等于( ) A.42° B.64° C.48° D.24° 4.已知關(guān)于距離的四種說(shuō)法: ①連結(jié)兩點(diǎn)的線段長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離; ②連結(jié)直線外的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)的線段叫做點(diǎn)到直線的距離; ③以直線外一點(diǎn)所引的這條直線的垂線叫做點(diǎn)到直線的距離; ④直線

18、外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做這點(diǎn)到直線的距離. 其中正確命題的個(gè)數(shù) ( ) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D. 3個(gè) 5.已知圖(1)—(4): 在上述四個(gè)圖中,∠1與∠2是同位角的有( ). A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(3) C.(1)(3) D.(1) 6.如圖,下列結(jié)論正確的是( ). A.∠5與∠2是對(duì)頂角; B.∠1與∠3是同位角; C.∠2與∠3是同旁內(nèi)角;D.∠1與∠2是同旁內(nèi)角. 7.在圖中,∠1與∠2不是同旁內(nèi)角的是 (

19、 ). 【B類】 1.如圖,直線AD、BC被直線AC所截,則∠1和∠2是( ). A.內(nèi)錯(cuò)角 B.同位角 C.同旁內(nèi)角 D.對(duì)頂角 2.如圖,能與構(gòu)成同位角的有( ). A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè) 3.如圖,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( ). ①∠1和∠3是同位角; ②∠1和∠5是同位角; ③∠1和∠2是同旁內(nèi)角; ④∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角. A.①② B.②③ C.②④ D.③④

20、4.如圖,∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角,可看成是由直線( ). A.AD,BC被AC所截構(gòu)成 B.AB,CD被AC所截構(gòu)成 C.AB,CD被AD所截構(gòu)成 D.AB,CD被BC所截構(gòu)成 5.如圖所示,OA⊥OB,OC⊥OD,OE為∠BOD的平分線,∠BOE=17°.求∠AOC的度數(shù). 【C類】 1、如圖, (1)∠1和∠ABC是直線AB、CE被直線________所截得的________角; (2)∠2和∠BAC是直線CE、AB被直線________所截得的________角

21、; (3)∠3和∠ABC是直線________、________被直線________所截得的________角; (4)∠ABC和∠ACD是直線________、________被直線所截得的________角; (5)∠ABC和∠BCE是直線________、________被直線所截得的________角. 2.如圖,已知A、O、B三點(diǎn)在一直線上,∠AOC=120°,OD、OE分別是∠AOC, ∠BOC的平分線. (1)判斷OD與OE的位置關(guān)系; (2)當(dāng)∠AOC大小發(fā)生變化時(shí),OD、OE仍分別是∠AOC、∠BOC的平分線,則OD與OE的位置關(guān)系是否改變? 請(qǐng)說(shuō)明理由. 13

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