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1、
第5講 二次根式及其運(yùn)算
1.二次根式的有關(guān)概念
考試內(nèi)容
考試
要求
二次
根式
一般地,形如( )的式子叫做二次根式.
a
最簡二
次根式
必須同時滿足:(1)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式;(2)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式(分母中不應(yīng)含有根號).
2.二次根式的性質(zhì)
考試內(nèi)容
考試
要求
兩個重要的性質(zhì)
()2=a(a____________________);
=|a|=
a
積的算術(shù)平方根
=·(a≥0,b≥0).
商的算術(shù)平方根
=(a≥0,b>0).
3.二次根式的運(yùn)算
考試內(nèi)容
考試
要
2、求
二次根式的加減
先將各根式化為 ,然后合并被開方數(shù) 的二次根式.
b
二次根式的乘法
·= (a≥0,b≥0).
二次根式的除法
= (a≥0,b>0).
二次根式的混合運(yùn)算
與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同,先算乘方,再算 ,最后算加減,有括號的先算括號里面的(或先去括號).
考試內(nèi)容
考試
要求
基本
方法
1.整式運(yùn)算法則也適用于二次根式的運(yùn)算.
c
2.估算一個根號表示的無理數(shù)可用“逐步逼近”的方法,即首先找出與該數(shù)鄰近的兩個完全平方數(shù),可
3、估算出該無理數(shù)的整數(shù)部分,然后再取一位小數(shù)進(jìn)一步估算即可.
3.絕對值:|a|;偶次冪:a2n;非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根:(a≥0)是常見的三種非負(fù)數(shù)形式.非負(fù)數(shù)具有以下兩條重要性質(zhì):①非負(fù)數(shù)形式有最小值為零;②幾個非負(fù)數(shù)的和等于零,那么每個非負(fù)數(shù)都等于零.
1.(2015·湖州)4的算術(shù)平方根是( )
A.±2 B.2 C.-2 D.
2.(2017·寧波)要使二次根式有意義,則x的取值范圍是( )
A.x≠3
4、 B.x>3 C.x≤3 D.x≥3
3.(2016·杭州)下列各式變形中,正確的是( )
A.x2·x3=x6
B.=|x|
C.÷x=x-1
D.x2-x+1=+
4.(2017·寧波)實(shí)數(shù)-8的立方根是____________________.
5.(2017·湖州)計(jì)算:2×(1-)+.
【問題】下列各式已給出計(jì)算結(jié)果:
①-=; ②=-3;③×=; ④÷=4
(1)其中正確的是____________;
(2)對于錯誤的結(jié)果,請給出正確答案;
(3)通過以上的解答,聯(lián)想二次根式有
5、哪些性質(zhì)、運(yùn)算法則?
【歸納】通過開放式問題,歸納、疏理二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則,以及注意的問題.
類型一 平方根、算術(shù)平方根、立方根
(1)(2015·黃岡)9的平方根是( )
A.±3 B.± C.3 D.-3
(2)(2017·黃岡)16的算術(shù)平方根是________.
(3)(2016·寧波)實(shí)數(shù)-27的立方根是________.
【解后感悟】一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù);0的平方根是0;
6、負(fù)數(shù)沒有平方根;注意算術(shù)平方根易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯誤;開立方和立方互為逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.
1.(1)(2016·唐山模擬)下列式子中,計(jì)算正確的是( )
A.-=-0.6 B.=-13
C.=±6 D.-=-3
(2)如果一個正數(shù)的兩個平方根為a+1和2a-7,則這個數(shù)為____________________.
類型二 二次根式的有關(guān)概念與性質(zhì)
(1)式子有意義的x的取值范圍是________;
(2)(2017·邵陽模擬)將化成最簡二次根式是________.
(3)計(jì)算:=________
7、.
【解后感悟】(1)此類有意義的條件問題主要是根據(jù):①二次根式的被開方數(shù)大于或等于零;②分式的分母不為零列不等式組,轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集.(2)此題根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡,是解本題的關(guān)鍵.
2.(1)(2017·荊州)下列根式是最簡二次根式的是( )
A. B. C. D.
(2)k、m、n為三個整數(shù),若=k,=15,=6,則下列有關(guān)于k、m、n的大小關(guān)系,何者正確( )
A.k<m=n B.m=n<k
C.m<n<k
8、 D.m<k<n
(3)(2016·金華)能夠說明“=x不成立”的x的值是____________________(寫出一個即可).
(4)若實(shí)數(shù)a、b滿足+=0,則=____________________.
(5)若整數(shù)x滿足|x|≤3,則使為整數(shù)的x的值是____________________(只需填一個).
類型三 二次根式的運(yùn)算與求值
(1)(2017·濱州)下列計(jì)算:(1)()2=2,(2)=2,(3)(-2)2=12,(4)(+)(-)=-1,其中結(jié)果正確的個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3
9、 D.4
(2)計(jì)算:-3+=______;
(3)化簡:(-)--|-3|=________.
【解后感悟】(1)二次根式的加減運(yùn)算,關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并;(2)二次根式的混合運(yùn)算,正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.
3.(1)下列計(jì)算正確的是( )
A.4-3=1 B.+=
C.2= D.3+2=5
(2)算式(+×)×之值為( )
A.2 B.12 C.12 D.18
4.(1)計(jì)算(-3)2018
10、·(+3)2017=____________________;
(2)(2016·聊城)計(jì)算:·÷= .
類型四 二次根式的大小比較
已知甲、乙、丙三數(shù),甲=5+,乙=3+,丙=1+,則甲、乙、丙的大小關(guān)系,下列何者正確( )
A.丙<乙<甲 B.乙<甲<丙
C.甲<乙<丙 D.甲=乙=丙
【解后感悟】比較兩個二次根式大小時要注意:(1)負(fù)號不能移到根號內(nèi);(2)根號外的正因數(shù)要平方后才能從根號外移到根號內(nèi).
5.(1)(2015·河北)在數(shù)軸上標(biāo)注了四段范圍,如圖,則表示的點(diǎn)落在( )
A
11、.段① B.段② C.段③ D.段④
(2)(2015·杭州)若k<<k+1(k是整數(shù)),則k=( )
A.6 B.7 C.8 D.9
(3)(2017·白銀)估計(jì)與0.5的大小關(guān)系是:____________________0.5.(填“>”、“=”、“<”)
類型五 二次根式的綜合型問題
(1)已知實(shí)數(shù)x,y滿足+=0,則以x,y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是________.
(2)在日常生活中,取款、上網(wǎng)都需要密碼,有的人把
12、自己的出生年月作為密碼,有的人把生活中的重要數(shù)字或自己認(rèn)為吉利的數(shù)字作為密碼,這樣很容易被知情人竊用.有一種用二次根式法產(chǎn)生的密碼,如:對于二次根式,計(jì)算的結(jié)果是11,取被開方數(shù)和計(jì)算結(jié)果,再在中間加一個數(shù)字0,于是就得到一個六個數(shù)字的密碼“121011”.對于二次根式,用上述方法產(chǎn)生的密碼是________.
【解后感悟】常見的非負(fù)數(shù)有三種形式:|a|,,a2;若幾個非負(fù)數(shù)的和等于零,則這幾個數(shù)都為零.
6.(1)矩形相鄰兩邊長分別為,,則它的周長是____________________,面積是____________________.
(2)觀察分析下列數(shù)據(jù),尋找規(guī)律:0,
13、,,3,2,…,那么第10個數(shù)據(jù)應(yīng)是____________________.
(3)若y=++x3,則10x+2y的平方根為____________________.
7.已知x=+1,y=-1,求下列各式的值:
(1)x2+2xy+y2; (2)x2-y2.
【探索規(guī)律題】
如圖,以O(shè)(0,0)、A(2,0)為頂點(diǎn)作正△OAP1,以點(diǎn)P1和線段P1A的中點(diǎn)B為頂點(diǎn)作正△P1BP2,再以點(diǎn)P2和線段P2B的中點(diǎn)C為頂點(diǎn)作△P2CP3,…,如此繼續(xù)下去,則第六個正三角形中,不在第五個正三角形上的頂點(diǎn)P6的坐標(biāo)是________.
【方法與
14、對策】根據(jù)O(0,0),A(2,0)為頂點(diǎn)作△OAP1,再以P1和P1A的中點(diǎn)B為頂點(diǎn)作△P1BP2,再以P2和P2B的中點(diǎn)C為頂點(diǎn)作△P2CP3,…,如此繼續(xù)下去,結(jié)合圖形求出點(diǎn)P6的坐標(biāo).本題由特殊到一般的規(guī)律解題是關(guān)鍵,這類題型是中考的熱點(diǎn).
【二次根式的化簡符號不明確】
下列各式中,正確的是( )
A.=-3 B.-=-3 C.=±3 D.=±3
參考答案
第5講 二次根式及其運(yùn)算
【考點(diǎn)概要】
1. a≥0
2. ≥0 a?。璦
3.最簡二次根式 相同 乘除
15、
【考題體驗(yàn)】
1. B
2. D
3. B
4. -2
5.原式=2-2+2=2.
【知識引擎】
【解析】(1)③; (2)①-=,②=3,④÷=2; (3)主要從二次根式性質(zhì)、運(yùn)算法則方面去思考.
【例題精析】
例1 (1)A;(2)4;(3)-3 例2 (1)根據(jù)題意得,2x+1≥0且x-1≠0,解得x≥-且x≠1.(2)3;(3)-1. 例3 (1)D;(2)原式=2-+=,故答案為:;(3)(-)--|-3|=-3-2-(3-)=-6.故答案為:-6.
例4 ∵3=<<=4, ∴8<5+<9,∴8<甲<9.∵4=<<=5,∴7<3+<8,∴7<乙<8.∵
16、4=<<=5,∴5<1+<6,∴5<丙<6.∴丙<乙<甲.故選A. 例5 (1)由+=0得,x-4=0,y-8=0,即x=4,y=8.若4是腰長,則三角形的三邊長為:4、4、8,不能組成三角形.若4是底邊長,則三角形的三邊長為:4、8、8,能組成三角形,周長為4+8+8=20;即等腰三角形的周長是20.(2)=0.9,所以得到一個六個數(shù)字的密碼081009.
【變式拓展】
1. (1)D (2)9 2.(1)C (2)D (3)-1 (4)1 (5)-2
3. (1)C (2)D
4.(1)-3 (2)12
5.(1)C (2)D (3)>
6.(1)6 4 (2)3 (3)±6
7.(1)因?yàn)閤=+1,y=-1,所以x+y=2,x-y=2.則(1)x2+2xy+y2=(x+y)2=(2)2=12. (2)x2-y2=(x+y)(x-y)=4.
【熱點(diǎn)題型】
【分析與解】每一個正三角形的邊長都是上個三角形的邊長的,第六個正三角形的邊長是,故頂點(diǎn)P6的橫坐標(biāo)是,P5縱坐標(biāo)是--=,P6的縱坐標(biāo)為+=,故答案為:(,).
【錯誤警示】
===3,選項(xiàng)A錯誤;===3,選項(xiàng)C錯誤;=3,選項(xiàng)D錯誤.故選B.
9