數(shù)學(xué)第二部分 空間與圖形 第十九課時(shí) 相似三角形

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1、第第1919課時(shí)課時(shí)相似三角形相似三角形-2-3-4-1.比例:比例線段:(1)四條線段a,b,c,d中,如果a與b的比等于c與d的比,即 ,那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段;(2)兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.黃金分割:若點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果 ,那么稱(chēng)線段AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)-5-2.相似三角形:定義:三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等、三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比.性質(zhì):(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例;(2)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比;(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的

2、比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比;(4)相似三角形的面積比等于相似比的平方.判定:(1)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;(2)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似;(4)平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.-6-3.相似多邊形:性質(zhì):(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例;(2)相似多邊形的面積比等于相似比的平方.判定:對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形相似.-7-1.(2017連云港)如圖,已知ABCDEF,ABDE=12,則下列等式一定成立的是 (D)-8-2.(2017濰坊)如圖,在ABC中,ABA

3、C,D、E分別為邊AB、AC上的點(diǎn),AC=3AD,AB=3AE,點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn),添加一個(gè)條件:DFAC,或BFD=A,可以使得FDB與ADE相似.(只需寫(xiě)出一個(gè))-9-考點(diǎn)考點(diǎn)1相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)【例1】(2016梅州)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn),EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F,若SDEC=3,則SBCF=.【名師點(diǎn)撥】 先根據(jù)平行四邊形性質(zhì)ADBC,可得DEFBCF,從而可知相似比為12;利用DEF與FCD的底EFFC=12,同高且面積和為SDEC=3,求出DEF的面積為1,可得BCF面積.-10-【我的解法】 解:因?yàn)镋為AD中點(diǎn),ADBC,所以,DFEBF

4、C,【題型感悟】 此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積、三角形的相似的判定與性質(zhì),靈活運(yùn)用相似三角形的判定方法及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.-11-【考點(diǎn)變式】1.(2017杭州)如圖,在ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,DEBC,若BD=2AD,則 (B)-12-2.(2017恩施)如圖,在ABC中,DEBC,ADE=EFC,ADBD=53,CF=6,則DE的長(zhǎng)為 (C)A.6B.8C.10 D.12-13-3.(2017蘭州)如圖,小明為了測(cè)量一涼亭的高度AB(頂端A到水平地面BD的距離),在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺(tái)階BC等高的臺(tái)階DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三點(diǎn)共線),把一面

5、鏡子水平放置在平臺(tái)上的點(diǎn)G處,測(cè)得CG=15米,然后沿直線CG后退到點(diǎn)E處,這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃,測(cè)得CG=3米,小明身高EF=1.6米,則涼亭的高度AB約為 (A)A.8.5米 B.9米 C.9.5米D.10米-14-考點(diǎn)考點(diǎn)2相似三角形的判定相似三角形的判定【例2】(2013廣東)如圖,矩形ABCD中,以對(duì)角線BD為一邊構(gòu)造一個(gè)矩形BDEF,使得另一邊EF過(guò)原矩形的頂點(diǎn)C.(1)設(shè)RtCBD的面積為S1,RtBFC的面積為S2,RtDCE的面積為S3,則S1S2+S3(用“”“=”“”填空);(2)寫(xiě)出圖中的三對(duì)相似三角形,并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明.-15-【名師點(diǎn)撥】 此題主要

6、考查的是三角形相似的判定.(1)結(jié)合三角形、矩形面積公式可得結(jié)果;(2)結(jié)合圖形、已知條件可寫(xiě)出的相似三角形.【我的解法】 解:(1)=;(2)BCFDBCCDE;選BCFCDE,理由如下:證明:在矩形ABCD中,BCD=90且點(diǎn)C在邊EF上,BCF+DCE=90在矩形BDEF中,F=E=90,在RtBCF中,CBF+BCF=90CBF=DCE,BCFCDE.【題型感悟】 弄清三角形相似的常用方法是解題的關(guān)鍵.-16-【考點(diǎn)變式】1.(2015湘潭)如圖,在RtABC中,C=90,將ACD沿AD折疊,使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處.(1)求證:BDEBAC;(2)已知AC=6,BC=8,求線段

7、AD的長(zhǎng)度.-17-解:(1)證明:C=90,ACD沿AD折疊,C=AED=90,DEB=C=90,B=B,BDEBAC;(2)由勾股定理得,AB=10.由折疊的性質(zhì)知,AE=AC=6,DE=CD,AED=C=90.BE=AB-AE=10-6=4,在RtBDE中,由勾股定理得,DE2+BE2=BD2,即CD2+42=(8-CD)2,解得:CD=3,在RtACD中,由勾股定理得AC2+CD2=AD2,即32+62=AD2,解得:AD=3.-18-2.(2015咸寧)如圖,在ABC中,AB=AC,A=36,BD為角平分線,DEAB,垂足為E.(1)寫(xiě)出圖中一對(duì)全等三角形和一對(duì)相似比不為1的相似三角

8、形;(2)選擇(1)中一對(duì)加以證明.-19-解:(1)ADE BDE,ABCBCD;(2)ADE BDE,證明:AB=AC,A=36,ABC=C=72,BD為角平分線,ABD= ABC=36=A,在ADE和BDE中,ABCBCD,證明:AB=AC,A=36,ABC=C=72,BD為角平分線,DBC= ABC=36=A,C=C,ABCBCD.-20-一、選擇題1.(2017重慶)若ABCDEF,相似比為32,則對(duì)應(yīng)高的比為 (A)A.3 2 B.3 5C.9 4D.4 92.(2017張家界)如圖,D,E分別是ABC的邊AB,AC上的中點(diǎn),如果ADE的周長(zhǎng)是6,則ABC的周長(zhǎng)是 (B)A.6B.

9、12C.18 D.24-21-3.(2017永州)如圖,在ABC中,點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn),若ACD=B,AD=1,AC=2,ADC的面積為1,則BCD的面積為 (C)A.1B.2C.3D.44.(2017泰安)如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),MEAM,ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若AB=12,BM=5,則DE的長(zhǎng)為 (B)-22-二、填空題5.(2017北京)如圖,在ABC中,M、N分別為AC,BC的中點(diǎn).若SCMN=1,則S四邊形ABNM=3.6.(2017廣安)如圖,RtABC中,C=90,BC=6,AC=8,D、E分別為AC、AB的中點(diǎn),連接DE,則ADE的面積是6.-23-7.(2017江西)如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F,G分別在AB,BC,CD上,且EFG=90.求證:EBFFCG.解:四邊形ABCD為正方形,B=C=90,BEF+BFE=90,EFG=90,BFE+CFG=90,BEF=CFG,EBFFCG.