數(shù)學(xué)第一部分 方法、思想解讀 第3講 分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想（2） 理

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1、二、轉(zhuǎn)化與化歸思想二、轉(zhuǎn)化與化歸思想-2-轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位,數(shù)學(xué)問題的解決,離不開轉(zhuǎn)化與化歸,如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化等.-3-1.轉(zhuǎn)化與化歸思想的含義轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時,采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得到解決的一種思想方法.2.轉(zhuǎn)化與化歸的原則(1)熟悉化原則;(2)簡單化原則;(3)直觀化原則;(4)正難則反原則;(5)等價性原則.3.常見的轉(zhuǎn)化與化歸的方法(1)直接轉(zhuǎn)化法;(2)換元法;(3)數(shù)形結(jié)合法;(4)構(gòu)造法;(5)坐

2、標(biāo)法;(6)類比法;(7)特殊化方法;(8)等價問題法;(9)補(bǔ)集法.-4-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四應(yīng)用一應(yīng)用一特殊與一般的轉(zhuǎn)化特殊與一般的轉(zhuǎn)化 -5-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四思維升華1.當(dāng)問題難以入手時,應(yīng)先對特殊情形進(jìn)行觀察、分析,發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關(guān)系,再推廣到一般情形,以完成從特殊情形的研究到一般問題的解答的過渡,這就是特殊化的化歸策略.2.數(shù)學(xué)題目有的具有一般性,有的具有特殊性,解題時,有時需要把一般問題化歸為特殊問題,有時需要把特殊問題化歸為一般問題.-6-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四突破訓(xùn)練突破訓(xùn)練1在定圓C:x2+y2=4內(nèi)過點(diǎn)P(-1,1)作兩條互相垂直的直線與C分別交于A,

3、B和M,N,則 的取值范圍是 .-7-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四應(yīng)用二應(yīng)用二命題的等價轉(zhuǎn)化命題的等價轉(zhuǎn)化 例2若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,則f(x)的最大值為16.轉(zhuǎn)化一 若只根據(jù)f(x)圖象關(guān)于直線x=-2對稱,得零點(diǎn)對稱,條件轉(zhuǎn)化為f(-1)=f(-3)=f(1)=f(-5),解得a=8,b=15,其余由求導(dǎo)完成,恐有因式分解的障礙.轉(zhuǎn)化二 由于函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,當(dāng)x取一對相反數(shù)時,函數(shù)值不變,將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移2個單位,得函數(shù)y=f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,當(dāng)(x+2)取一對相反數(shù)時,函數(shù)值不變,于是

4、,函數(shù)的解析式只能含(x+2)的偶次方.-8-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四解析: (法一)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,f(-1)=f(-3)=f(1)=f(-5),f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.由f(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,f(-2)=1-(-2)2(-2)2+8(-2)+15=-3(4-16+15)=-9.-9-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四故f(x)的最大值為16.(法二)據(jù)已知可設(shè)f(x)=-(x+2)4+m(x+2)2+n,據(jù)f(1)=f(-1)=0,解出m=10,n=-9,則f(x)=-(x+2)4+10(x+2)2-9=-(x+2)2-52+1

5、6,故最大值為16.思維升華將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換,有幾種轉(zhuǎn)換方法就有可能得出幾種解題方法.-10-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四突破訓(xùn)練突破訓(xùn)練2若關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,-8.解析:(法一)設(shè)t=3x,則原命題等價于關(guān)于t的一元二次方程t2+(4+a)t+4=0有正解,所以a-8,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,-8.-11-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四(法二)設(shè)t=3x,得t2+(4+a)t+4=0.所以a-8,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,-8.-12-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四應(yīng)用三應(yīng)用三常量與變量的轉(zhuǎn)化常量與變量的轉(zhuǎn)化 例3已知函數(shù)f(x)=x3+3ax-1,

6、g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).對滿足-1a1的一切a的值,都有g(shù)(x)0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為 .-13-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四解析: 由題意,知g(x)=3x2-ax+3a-5,令(a)=(3-x)a+3x2-5,-1a1.對-1a1,恒有g(shù)(x)0,即(a)0對x(0,+)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-,-10,+).思維升華函數(shù)、方程與不等式三者之間存在著密不可分的聯(lián)系,解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助,解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化可以將問題化繁為簡,常常將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;將證明

7、不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題;將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題、兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題等.-16-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四突破訓(xùn)練突破訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)=3e|x|.若存在實(shí)數(shù)t-1,+),使得對任意的x1,m,mZ,且m1,都有f(x+t)3ex,求m的最大值.解 因?yàn)楫?dāng)t-1,+),且x1,m時,x+t0,所以f(x+t)3exex+text1+ln x-x.所以原命題等價轉(zhuǎn)化為:存在實(shí)數(shù)t-1,+),使得不等式t1+ln x-x對任意x1,m恒成立.所以函數(shù)h(x)在1,+)內(nèi)為減函數(shù).又x1,m,所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m.所以要使得對任意x1,m

8、,t值恒存在,只需1+ln m-m-1.-17-應(yīng)用一應(yīng)用二應(yīng)用三應(yīng)用四且函數(shù)h(x)在1,+)內(nèi)為減函數(shù),所以滿足條件的最大整數(shù)m的值為3.-18-1.在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時,沒有一個統(tǒng)一的模式,它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.2.轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用(1)在三角函數(shù)和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化、通過正弦、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.(2)在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時,常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(3)在解決數(shù)列問題時,常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解.(4)在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時,常將函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、切線問題,轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f(x)構(gòu)成的方程、不等式問題求解.