第三講 最短距離問題

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1、word 第三講 最短距離問題 一、知識(shí)梳理 幾何模型1 條件：如圖，、是直線同旁的兩個(gè)定點(diǎn)． 問題：在直線上確定一點(diǎn)，使的值最?。? 方法：作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)， 如此的值最小 幾何模型2 條件：如圖，、是直線異側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)．且A、B到距離不相等 問題：在直線上確定一點(diǎn)，使的值最大 方法：作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，如此的值最小 二、方法歸納 對于幾何模型1，近年來，除了常見的“一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〞外，出現(xiàn)了“兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)〞、“三個(gè)動(dòng)點(diǎn)〞等變式問題的問題，而解決此類問題的關(guān)鍵在于：找點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“折〞轉(zhuǎn)“直〞。 對于幾何模型2，近年出現(xiàn)的中考題

2、都是直接應(yīng)用。 三、課堂精講例題 〔一〕、題中出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。 例1、在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC上一定點(diǎn)，且BE=10,CE=14,P為BD上一動(dòng)點(diǎn)，求PE+PC最小值。 【難度分級】A類 〖試題來源〗經(jīng)典例題 〖選題意圖〗使學(xué)生掌握幾何模型1的應(yīng)用 〖解題思路〗作關(guān)于對稱點(diǎn),可以證明在上， 易求 解：作關(guān)于對稱點(diǎn) 四邊形ABCD是正方形 在上，且 即是的最小值 【搭配課堂訓(xùn)練題】 1、：拋物線的對稱軸為x=-1與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)其中、 〔1〕求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式． 〔2〕在對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的周長最?。埱蟪鳇c(diǎn)P的坐標(biāo) 【

3、難度分級】A類 〖試題來源〗2009年中考真題。 〖答案〗 解：〔1〕由題意得解得 ∴此拋物線的解析式為 〔2〕連結(jié)、.因?yàn)榈拈L度一定，所以周長最小，就是使最小.點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是點(diǎn)，與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn). 設(shè)直線的表達(dá)式為如此 解得 ∴此直線的表達(dá)式為 把代入得 ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為 例2：：直線與軸交于A，與軸交于D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，0〕． 〔1〕求拋物線的解析式； 〔2〕在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)． 【難度分級】A類 〖試題來源〗2009眉山中考數(shù)學(xué)真題 〖選題意圖〗使學(xué)生

4、掌握幾何模型2的應(yīng)用 〖解題思路〗直接應(yīng)用幾何模型2，由于B是C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，所以連接AB，如此AB與對稱軸的交點(diǎn)M即為所求。 〔1〕將A〔0，1〕、B〔1，0〕坐標(biāo)代入得解得 ∴拋物線的解折式為 〔2〕拋物線的對稱軸為 ∵B、C關(guān)于x＝對稱∴MC＝MB 要使最大，即是使最大 由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時(shí)的值最大易知直線AB的解析式為∴由得∴M〔，－〕 〔二〕、題中出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。 例3、如圖：在△ABC中,,,M、N分別AB,AC上動(dòng)點(diǎn),求BN+MN+MC最小值 【難度分級】B類 〖試題來源〗2

5、003年余中學(xué)保送生測試題 〖選題意圖〗①使學(xué)生體會(huì)如何實(shí)現(xiàn)由“折〞轉(zhuǎn)“直〞 ②掌握雙動(dòng)點(diǎn)問題的解題方法 〖解題思路〗當(dāng)題中出現(xiàn)兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),應(yīng)作兩次定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn).利用兩點(diǎn)之間線段最短求出最值。 解:作關(guān)于對稱點(diǎn),關(guān)于對稱點(diǎn), 有 (當(dāng)、運(yùn)動(dòng)到、時(shí)等號(hào)成立), 、 為正三角形 【搭配課堂訓(xùn)練題】 1、州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)〞著稱于世．著名的大峽谷和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客．小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖9是方案一的示意圖〔與直線垂

6、直，垂足為〕，到、的距離之和，圖10是方案二的示意圖〔點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是，連接交直線于點(diǎn)〕，到、的距離之和． 〔1〕求、，并比擬它們的大?。? 〔2〕請你說明的值為最??； 〔3〕擬建的到高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖11所示的直角坐標(biāo)系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、、、組成的四邊形的周長最?。⑶蟪鲞@個(gè)最小值． 【難度分級】B類 〖試題來源〗2009年自治州中考真題。 〖答案〗 解:⑴圖9中過B作BC⊥AP,垂足為C,如此PC=40,又AP=10, ∴AC=30 在Rt△ABC 中，AB=50 AC=30

7、 ∴BC=40 ∴BP= S1= ⑵圖10中，過B作BC⊥AA′垂足為C，如此A′C=50， 又BC=40 ∴BA'= 由軸對稱知：PA=PA' ∴S2=BA'= ∴﹥ (2)如 圖10，在公路上任找一點(diǎn)M,連接MA,MB,MA'，由軸對稱知MA=MA' ∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B ∴S2=BA'為最小 〔3〕如 圖12，過A作關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)A', 過B作關(guān)于Y軸的對稱點(diǎn)B'，連接A'B',交X軸于點(diǎn)P, 交Y軸于點(diǎn)Q,如此P,Q即為所求 A'B'= ∴所求四邊形的周長為 例4、如圖,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,假設(shè)AC,AB

8、是各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N,求BM+MN最小值. 【難度分級】B類 〖試題來源〗經(jīng)典例題 〖選題意圖〗①使學(xué)生體會(huì)如何實(shí)現(xiàn)由“折〞轉(zhuǎn)“直〞 ②使學(xué)生掌握，在由“折〞轉(zhuǎn)“直〞的過程中，如何做到最短。 〖解題思路〗 解：作關(guān)于的對稱點(diǎn), 在上運(yùn)動(dòng),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí),即 ，最短為 【搭配課堂訓(xùn)練題】 如圖，在銳角中，，的平分線交于點(diǎn)分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，如此的最小值是________． 【難度分級】B類 〖試題來源〗2009年省中考真題。 〖答案〗4 〔三〕、題中出現(xiàn)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí) 例5、如圖，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E,F,P分別為AB,BC,AC上動(dòng)

9、點(diǎn),求PE+PF最小值 【難度分級】B類 〖試題來源〗經(jīng)典例題 〖選題意圖〗①使學(xué)生體會(huì)如何實(shí)現(xiàn)由“折〞轉(zhuǎn)“直〞 ②掌握三動(dòng)點(diǎn)問題的解題方法 〖解題思路〗 當(dāng)題中出現(xiàn)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),在求解時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn),(1)作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn),(2)同時(shí)要考慮點(diǎn)點(diǎn),點(diǎn)線,線線之間的最短問題. 解：作關(guān)于所直線的對稱點(diǎn), 如此 , 因?yàn)樵谏线\(yùn)動(dòng),故當(dāng)和、垂直時(shí)，最短,且 【搭配課堂訓(xùn)練題】 12．如圖，∠AOB=45°，角有一動(dòng)點(diǎn)P ，PO=10，在AO，BO上有兩動(dòng)點(diǎn)Q，R，求△PQR周長的最小值。 【難度分級】B類 〖試題來源〗經(jīng)典例題。 〖答案〗 在任取一點(diǎn),過

10、做、的對稱點(diǎn)、 如此有 由對稱性易知為等腰三角形 又因?yàn)?，所以為等腰直角三角? 在中，, 所以的最小周長為： 〔四〕、綜合壓軸 例6、如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD〔不含B點(diǎn)〕上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM. ⑴ 求證：△AMB≌△ENB； ⑵①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最??； ②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由； ⑶ 當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長. 【難度分級】C類 〖試題來源〗2010中考真題 〖選題意圖〗強(qiáng)化應(yīng)用 〖解題思路〗 〔1〕由題意

11、得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45，容易證出△AMB≌△ENB； 〔2〕①根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短〞，可得，當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最??； ②根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短〞，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長〔如圖18〕； 〔3〕作輔助線，過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長線于F，由題意求出∠EBF=30°， 設(shè)正方形的邊長為x，在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理求得正方形的邊長 解：⑴∵△ABE是等邊三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠MBA＝∠

12、NBE. 又∵M(jìn)B＝NB， ∴△AMB≌△ENB〔SAS〕. ⑵①當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM＋CM的值最小. ②如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)， AM＋BM＋CM的值最小. 理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN. ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等邊三角形. ∴BM＝MN. ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短〞，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長 ⑶過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長線于F， ∴∠EBF＝90°－

13、60°＝30°. 設(shè)正方形的邊長為x，如此BF＝x，EF＝. 在Rt△EFC中， ∵EF2＋FC2＝EC2， ∴〔〕2＋〔x＋x〕2＝. 解得，x＝〔舍去負(fù)值〕. ∴正方形的邊長為. 【搭配課堂訓(xùn)練題】 1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ，，，延長AC到點(diǎn)D,使CD=,過點(diǎn)D作DE∥AB交BC的延長線于點(diǎn)E. 〔1〕求D點(diǎn)的坐標(biāo)； 〔2〕作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF，假設(shè)過B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式； 〔3〕設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA

14、到達(dá)A點(diǎn)，假設(shè)P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短。〔要求：簡述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明〕 【難度分級】C類 〖試題來源〗2009中考真題 〖答案〗 解：〔1〕∵，， ∴． 設(shè)與軸交于點(diǎn)． 由可得． 又， ∴． ∴，． 同理可得． ∴． ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為． 〔2〕由〔1〕可得點(diǎn)的坐標(biāo)為． 由， 可得軸所在直線是線段的垂直平分線． ∴點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在軸上． ∴與互相垂直平分． ∴． ∴四邊形為菱形，且點(diǎn)為其對稱中心． 作直線． 設(shè)與分別交于點(diǎn)、點(diǎn)．可證． ∴． ∵，

15、 ∴． ∵， ∴． ∴直線將四邊形分成周長相等的兩個(gè)四邊形． 由點(diǎn)，點(diǎn)在直線上， 可得直線的解析式為． 〔3〕確定點(diǎn)位置的方法：過點(diǎn)作于點(diǎn)．如此與軸的交點(diǎn)為所求的點(diǎn)． 由， 可得， ∴． 在中，． ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．〔或點(diǎn)的位置為線段的中點(diǎn)〕 四、鞏固練習(xí) 根底訓(xùn)練題〔A類〕 1、如圖，AC、BD為正方形ABCD對角線，相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，正方形邊長為2cm,在BD上找點(diǎn)P，使EP+CP之和最小，且最小值為________。 【答案】 2、〔1〕如圖22，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，如此PB+PE的最小

16、值為； 〔2〕幾何拓展：如圖23, △ABC中，AB=2，∠BAC=30,假設(shè)在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小， 這個(gè)最小值為； 【答案】 1、 2、 3、如如下圖，正方形的面積為12，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形，在對角線上有一點(diǎn)，使的值最小，如此這個(gè)最小值為〔〕 A．B． C．3 D． 【答案】A 4、直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，如此當(dāng)PA+PD取最小值時(shí)，△APD中邊AP上的高為〔〕 A、B、 C、D、3 【答案】C 提高訓(xùn)練〔B類〕 1、如圖

17、，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔-2，0〕，連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB. 〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)； 〔2〕求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式； 〔3〕在〔2〕中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長最小？假設(shè)存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.〔注意：此題中的結(jié)果均保存根號(hào)〕 【解析】:〔1〕過點(diǎn)B作BD⊥軸于點(diǎn)D，由可得：OB=OA=2，∠BOD=60。.在Rt△OBD中，∠ODB=90。，∠OBD=30。. ∴OD=1，DB= ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是〔1，〕. 〔2〕設(shè)所求拋物線的解析式為，由可得： 解得： ∴所求拋物線解析式為

18、 〔3〕存在. 由配方后得： ∴拋物線的對稱軸為=－1. 〔也寫用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出〕 ∵OB=2，要使△BOC的周長最小，必須BC+CO最小. ∵點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于直線=－1對稱，有CO=CA. △ BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA. ∴當(dāng)A、C、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C為直線AB與拋物線對稱軸的交點(diǎn)時(shí)，BC+CA最小，此時(shí)△BOC的周長最小. 設(shè)直線AB的解析式為 解得： ∴直線AB的解析式為 當(dāng)=－1時(shí)， ∴所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔－1，〕. 2、如圖，拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)． 〔1〕求拋物線的表達(dá)式． 〔2〕把△ABC繞AB的

19、中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形ADBC． 判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由． 〔3〕試問在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得△FBD的周長最小， 假設(shè)存在，請寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由． 【解析】 解：〔1〕由題意知 解得， ∴拋物線的解析式為 〔2〕設(shè)點(diǎn)A〔，0〕，B〔，0〕，如此， 解得 ∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝ ∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90° 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知AC＝BD，BC＝AD ∴四邊形ADBC是平行四邊形 又∵∠ACB＝90°．∴四邊形ADBC是矩形 〔3〕延長BC至N，使．假設(shè)

20、存在一點(diǎn)F，使△FBD的周長最小． 即最?。? ∵DB固定長．∴只要FD+FB最?。帧逤A⊥BN ∴FD+FB＝FD+FN． ∴當(dāng)N、F、D在一條直線上時(shí)，F(xiàn)D+FB最小 ． 又∵C為BN的中點(diǎn)， ∴〔即F為AC的中點(diǎn)〕． 又∵A〔－1，0〕，C〔0，－〕 ∴ 點(diǎn)F的坐標(biāo)為F〔，〕 ∴ 存在這樣的點(diǎn)F〔，〕，使得△FBD的周長最?。? 綜合遷移〔C類〕 1、如圖，點(diǎn)A(-4，8)和點(diǎn)B(2，n)在拋物線上． (1) 求a的值與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)； (2) 平移拋物線，記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)

21、B的對應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C(-2，0)和點(diǎn)D(-4，0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)． ① 當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，A′C+CB′最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式； ② 當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？假設(shè)存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；假設(shè)不存在，請說明理由． 【解析】(1) 將點(diǎn)A(-4，8)的坐標(biāo)代入，解得． 將點(diǎn)B(2，n)的坐標(biāo)代入，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)， 如此點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，-2)． 直線AP的解析式是． 令y=0，得．即所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(，0)． (2)① 設(shè)將拋物線向左平移m個(gè)單位，如此平移后A′，B

22、′的坐標(biāo)分別為A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，點(diǎn)A′關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′(-4-m，-8)． 直線A′′B′的解析式為． 要使A′C+CB′最短，點(diǎn)C應(yīng)在直線A′′B′上， 將點(diǎn)C(-2，0)代入直線A′′B′的解析式，解得． 故將拋物線向左平移個(gè)單位時(shí)A′C+CB′最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為． ②左右平移拋物線，因?yàn)榫€段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短； 第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短． 第二種情況：設(shè)拋物線向左平

23、移了b個(gè)單位，如此點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)． 因?yàn)镃D=2，因此將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B′′(-b，2)， 要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． 點(diǎn)A′關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′(-4-b，-8)， 直線A′′B′′的解析式為．要使A′D+DB′′最短，點(diǎn)D應(yīng)在直線A′′B′′上，將點(diǎn)D(-4，0)代入直線A′′B′′的解析式，解得． 故將拋物線向左平移時(shí)，存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為． 2、定義一種變換：平移拋物線得到拋物線，使經(jīng)過的頂點(diǎn)．設(shè)的對稱軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線

24、的對稱點(diǎn)． 〔1〕如圖30，假設(shè)：，經(jīng)過變換后，得到：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如此①的值等于______________； ②四邊形為〔 〕 A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形 〔2〕如圖31，假設(shè)：，經(jīng)過變換后，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的面積； 〔3〕如圖32，假設(shè)：，經(jīng)過變換后，，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之和的最小值． 【解析】 (1) －2；D； (2) ∵：y＝a(x－2)2＋c－1，而〔0，c〕在上，可得a＝． ∴DB＝〔4a＋c〕－〔c－1〕＝2，∴＝2． 〔3〕當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)〔如圖33〕， 設(shè)AC與BD交于點(diǎn)N，拋物線，配方得， 其頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔1，2〕，∵AC＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為． ∵過點(diǎn)， ∴解析式為，∴B〔， ∴D〔， ∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱， ∴，且 ∴四邊形ABCD是菱形．∴PD＝PB． 作交于點(diǎn)，如此PD＋PH＝PB＋PH． 要使PD＋PH最小，即要使PB＋PH最小， 此最小值是點(diǎn)B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高． ∵＝1，＝，，∴＝， 故是等邊三角形． ∴∴最小值為． 當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)〔如圖34〕，同理，最小值為． 綜上，點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之和 的最小值為． 25 / 25