2018-2019年九年級數(shù)學下冊 第28章 銳角三角函數(shù)單元測試卷（含解析）（新版）新人教版

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1、《第28章 銳角三角函數(shù)》單元測試卷 一．選擇題（共10小題） 1．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正確的是 （　?。? A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，各邊都擴大5倍，則角A的三角函數(shù)值（　　） A．不變 B．擴大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定 3．如圖，在直角坐標系中，P是第一象限內的點，其坐標是（3，m），且OP與x軸正半軸的夾角α的正切值是，則sinα的值為（　?。? A． B． C． D． 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB的值是（　?。? A． B． C． D． 5．cos30°的相反數(shù)是（　

2、?。? A． B． C． D． 6．用計算器計算cos44°的結果（精確到0.01）是（　?。? A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66 7．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，點D是CB延長線上的一點，且BD＝BA，則tan∠DAC的值為（　?。? A．2+ B．2 C．3+ D．3 8．如圖，沿AC方向修山路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，從AC上的一點B取∠ABD＝145°，BD＝500米，∠D＝55°，使A、C、E在一條直線上，那么開挖點E與D的距離是（　?。? A．500sin55°米 B．500cos35°米 C．500

3、cos55°米 D．500tan55°米 9．小明沿著坡度為1：的坡面向下走了2米，那么他下降高度為（　　） A．1米 B．米 C．2米 D．米 10．如圖，在地面上的點A處測得樹頂B的仰角為α度，AC＝7米，則樹高BC為（　　） A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D．（7+α）米 二．填空題（共5小題） 11．如圖，若點A的坐標為，則sin∠1＝　 ?。? 12．比較下列三角函數(shù)值的大小：sin40°　 　cos40°（選填“＞”、“＝”、“＜”）． 13．已知sinα＝，則tanα＝　 　． 14．已知α為一銳角，且cosα＝sin6

4、0°，則α＝　 　度． 15．如果，那么銳角A的度數(shù)為　 ?。? 三．解答題（共5小題） 16．如圖，定義：在直角三角形ABC中，銳角α的鄰邊與對邊的比叫做角α的余切，記作ctanα，即ctanα＝＝，根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題： （1）ctan30°＝　 ??； （2）如圖，已知tanA＝，其中∠A為銳角，試求ctanA的值． 17．下列關系式是否成立（0＜α＜90°），請說明理由． （1）sinα+cosα≤1； （2）sin2α＝2sinα． 18．計算：cos30°﹣sin60°+2sin45°?tan45°． 19．△ABC中，∠A＝30°，∠B

5、＝45°，AC＝4，求AB的長？ 20．如圖1是一臺放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側面抽象成如圖2所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側邊AO與鍵盤所在面的側邊BO長均為24cm，點P為眼睛所在位置，D為AO的中點，連接PD，當PD⊥AO時，稱點P為“最佳視角點”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延長線上，且BC＝12cm． （1）當PA＝45cm時，求PC的長； （2）若∠AOC＝120°時，“最佳視角點”P在直線PC上的位置會發(fā)生什么變化？此時PC的長是多少？請通過計算說明．（結果精確到0.1cm，可用科學計算器，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732） 2019年人教版九下

6、數(shù)學《第28章 銳角三角函數(shù)》單元測試卷 參考答案與試題解析 一．選擇題（共10小題） 1．【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理分別求解，再進行判斷即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝3， ∴AB＝， A．sinA＝＝＝，故此選項錯誤； B．cosA＝＝，故此選項錯誤； C．tanA＝＝，故此選項正確； D．cotA＝＝，故此選項錯誤． 故選：C． 【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，熟練應用銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關鍵． 2．【分析】易得邊長擴大后的三角形與原三角形相似，那么對應角相等，相應的三角函數(shù)值不變． 【

7、解答】解：∵各邊都擴大5倍， ∴新三角形與原三角形的對應邊的比為5：1， ∴兩三角形相似， ∴∠A的三角函數(shù)值不變， 故選：A． 【點評】用到的知識點為：三邊對應成比例，兩三角形相似；相似三角形的對應角相等．三角函數(shù)值只與角的大小有關，與角的邊的長短無關． 3．【分析】過點P作PE⊥x軸于點E，則可得OE＝3，PE＝m，在Rt△POE中求出OP，繼而可得sinα的值． 【解答】解：過點P作PE⊥x軸于點E， 則可得OE＝3，PE＝m， 在Rt△POE中，tanα＝＝， 解得：m＝4， 則OP＝＝5， 故sinα＝． 故選：A． 【點評】本題考查了勾股定理及同角的

8、三角函數(shù)關系，解答本題的關鍵是求出OP的長度． 4．【分析】設BC＝2x，AB＝3x，由勾股定理求出AC＝x，代入tanB＝求出即可． 【解答】解：∵sinA＝＝， ∴設BC＝2x，AB＝3x， 由勾股定理得：AC＝＝x， ∴tanB＝＝＝， 故選：A． 【點評】本題考查了解直角三角形，勾股定理的應用，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關系式求三角函數(shù)值． 5．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出cos30° 的值，然后根據(jù)相反數(shù)的定義可得出答案． 【解答】解：∵cos30°＝， ∴它的相反數(shù)為

9、﹣． 故選：C． 【點評】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值是需要我們熟練記憶的內容，一定要掌握． 6．【分析】本題要求熟練應用計算器，對計算器給出的結果，根據(jù)有效數(shù)字的概念用四舍五入法取近似數(shù)． 【解答】解：用計算器解cos44°＝0.72． 故選：B． 【點評】本題要求同學們能熟練應用計算器，熟悉計算器的各個按鍵的功能． 7．【分析】通過解直角△ABC得到AC與BC、AB間的數(shù)量關系，然后利用銳角三角函數(shù)的定義求tan∠DAC的值． 【解答】解：如圖，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC，BC＝＝AC． ∵BD＝BA， ∴DC＝

10、BD+BC＝（2+）AC， ∴tan∠DAC＝＝＝2+． 故選：A． 【點評】本題考查了解直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的概念解直角三角形問題． 8．【分析】由∠ABD度數(shù)求出∠EBD度數(shù)，進而確定出∠E＝90°，在直角三角形BED中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出ED的長． 【解答】解：∵∠ABD＝145°， ∴∠EBD＝35°， ∵∠D＝55°， ∴∠E＝90°， 在Rt△BED中，BD＝500米，∠D＝55°， ∴ED＝500cos55°米， 故選：C． 【點評】此題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關鍵． 9．【分析】根據(jù)坡度算出坡角

11、的度數(shù)，利用坡角的正弦值即可求解． 【解答】解：∵坡度tanα＝＝1：． ∴α＝30°． ∴下降高度＝坡長×sin30°＝1米． 故選：A． 【點評】本題主要考查特殊坡度與坡角的關系． 10．【分析】利用三角函數(shù)即可直接求解． 【解答】解：在直角△ABC中，tanA＝， 則BC＝AC?tanA＝7tanα（米）． 故選：C． 【點評】本題考查仰角的定義，要求學生能利用三角函數(shù)的定義解直角三角形． 二．填空題（共5小題） 11．【分析】根據(jù)勾股定理，可得OA的長，根據(jù)正弦是對邊比斜邊，可得答案． 【解答】解：如圖，， 由勾股定理，得 OA＝＝2． sin∠1＝＝，

12、 故答案為：． 【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)，利用勾股定理得出OA的長是解題關鍵． 12．【分析】首先根據(jù)正余弦的轉換方法，得cos40°＝sin50°，再根據(jù)正弦值隨著角的增大而增大，進行分析． 【解答】解：∵cos40°＝sin50°，正弦值隨著角的增大而增大， 又∵40°＜50°， ∴sin40°＜cos40°． 【點評】掌握正余弦的轉換方法，以及正弦值的變化規(guī)律． 13．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由sinα＝，可設AB＝5x，BC＝3x，然后利用勾股定理可求得AC的長，繼而求得答案． 【解答】解：如圖：設∠A＝α， ∵sinα＝， ∴＝， 設AB＝5x，B

13、C＝3x， 則AC＝＝4x， ∴tanα＝＝． 故答案為：． 【點評】此題考查了同角三角函數(shù)的關系．此題難度不大，注意掌握三角函數(shù)的定義，注意數(shù)形結合思想的應用． 14．【分析】根據(jù)∠A，∠B均為銳角，若sinA＝cosB，那么∠A+∠B＝90°即可得到結論． 【解答】解：∵sin60°＝cos（90°﹣60°）， ∴cosα＝cos（90°﹣60°）＝cos30°， 即銳角α＝30°． 故答案為：30． 【點評】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關系，牢記互余兩角的三角函數(shù)關系是解答此類題目的關鍵． 15．【分析】根據(jù)30°角的余弦值等于解答． 【解答】解：∵cosA＝

14、， ∴銳角A的度數(shù)為30°． 故答案為：30°． 【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30°、45°、60°的三角函數(shù)值是解題的關鍵． 三．解答題（共5小題） 16．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質用AC表示出AB及AC的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行解答即可； （2）由于tanA＝，所以可設BC＝3x，AC＝4x，則AB＝5x，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行解答即可． 【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α＝30°， ∴BC＝AB， ∴AC＝＝＝AB， ∴ctan30°＝＝． 故答案為：； （2）∵tanA＝， ∴設BC＝3x，AC＝4x， ∴ctan

15、A＝＝＝． 【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義及直角三角形的性質，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關鍵． 17．【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義和三角形的三邊關系得到該結論不成立； （2）舉出反例進行論證． 【解答】解：（1）該不等式不成立，理由如下： 如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α． 則sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立； （2）該等式不成立，理由如下： 假設α＝30°，則sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1， ∵≠1， ∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立． 【點評

16、】本題考查了同角三角函數(shù)的關系．解題的關鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)值． 18．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出即可． 【解答】解：原式＝﹣+2××1 ＝． 【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵． 19．【分析】首先過點C作CD⊥AB于D點，由在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝4，即可求得CD與AD的長，又由在Rt△CDB中，∠B＝45°，即可求得BD的長，繼而求得答案． 【解答】解：過點C作CD⊥AB于D點， 在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝4， ∴CD＝AC＝×4＝2， ∴AD＝＝＝2， 在Rt△CDB

17、中，∠B＝45°，CD＝2， ∴CD＝DB＝2， ∴AB＝AD+DB＝2+2． 【點評】此題考查了解直角三角形的應用．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵． 20．【分析】（1）連結PO．先由線段垂直平分線的性質得出PO＝PA＝45cm，則OC＝OB+BC＝36cm，然后利用勾股定理即可求出PC＝＝27cm； （2）過D作DE⊥OC交BO延長線于E，過D作DF⊥PC于F，則四邊形DECF是矩形．先解Rt△DOE，求出DE＝DO?sin60°＝6，EO＝DO＝6，則FC＝DE＝6，DF＝EC＝EO+OB+BC＝42．再解Rt△PDF，求出PF＝DF?tan30°＝42×＝14，則PC＝

18、PF+FC＝14+6＝20≈34.68＞27，即可得出結論． 【解答】解：（1）當PA＝45cm時，連結PO． ∵D為AO的中點，PD⊥AO， ∴PO＝PA＝45cm． ∵BO＝24cm，BC＝12cm，∠C＝90°， ∴OC＝OB+BC＝36cm，PC＝＝27cm； （2）當∠AOC＝120°，過D作DE⊥OC交BO延長線于E，過D作DF⊥PC于F，則四邊形DECF是矩形． 在Rt△DOE中，∵∠DOE＝60°，DO＝AO＝12， ∴DE＝DO?sin60°＝6，EO＝DO＝6， ∴FC＝DE＝6，DF＝EC＝EO+OB+BC＝6+24+12＝42． 在Rt△PDF中，∵∠PDF＝30°， ∴PF＝DF?tan30°＝42×＝14， ∴PC＝PF+FC＝14+6＝20≈34.6＞27， ∴點P在直線PC上的位置上升了，此時PC的長約是34.6cm． 【點評】本題考查了解直角三角形的應用，線段垂直平分線的性質，勾股定理，矩形的判定與性質，銳角三角函數(shù)的定義，準確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵． 12