4、長度都是整數(shù)、最大邊長為8的三角形共有 個.
5.如圖,△ABC三邊的中線AD,BE,CF的公共點G,若S△ABC=12,則圖中陰影部分面積是 .
2.求一個角的度數(shù)的方法
(1)當(dāng)所求角是一個三角形的內(nèi)角時,可先求出這個三角形另外兩個內(nèi)角的度數(shù),再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算.
【例】如圖,AB∥CD,AD和BC相交于點O,∠A=40°,∠AOB=75°.則∠C等
于 ( )
A.40° B.65° C.75° D.115°
【標(biāo)準(zhǔn)解答】選B.∵∠A=40°,∠AOB=75°.
∴∠B=180°-∠A-∠AOB
=180°-40°-75°=65°,
5、
∵AB∥CD,∴∠C=∠B=65°.
(2)當(dāng)所求角是一個三角形的外角時,可利用三角形外角的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理計算.
【例】將一副常規(guī)的三角尺按如圖方式放置,則圖中∠AOB的度數(shù)為 ( )
A.75° B.95°
C.105° D.120°
【標(biāo)準(zhǔn)解答】選C.
∵∠ACO=45°-30°=15°,
∴∠AOB=∠A+∠ACO
=90°+15°=105°.
(3)當(dāng)條件中含有平行線時,可利用平行線的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為其他易求的角.
【例】如圖,已知l1∥l2,∠A=40°,∠1=60°,則∠2的度數(shù)為 ( )
A.40° B.60° C.80°
6、 D.100°
【標(biāo)準(zhǔn)解答】選D.如圖,
方法一:∵l1∥l2,
∴∠1=∠ABC=60°,
∴∠2=∠A+∠ABC=60°+40°=100°;
方法二:∵l1∥l2,∴∠2=∠3.
∵∠1=∠4=60°,∠A=40°.
∴∠2=∠3=∠A+∠4=60°+40°=100°.
1.一副三角板如圖疊放在一起,則圖中∠α的度數(shù)為 ( )
A.75° B.60° C.65° D.55°
2.如圖,AB∥CD,AE交CD于C,∠A=34°,∠DEC=90°,則∠D的度數(shù)為 ( )
A.17° B.34° C.56° D.124°
3.如圖,在△ABC中,
7、∠B,∠C的平分線BE,CD相交于點F,∠ABC=42°,∠A=60°,則∠BFC= ( )
A.118° B.119° C.120° D.121°
4.如圖,在△ABC中,點D,E,F分別是三條邊上的點,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°.則∠EFD= ( )
A.80° B.75° C.70° D.65°
5.如圖,在△ABC中,∠A=80°,點D是BC延長線上一點,∠ACD=150°,
則∠B= °.
6.如圖,已知,l1∥l2,C1在l1上,并且C1A⊥l2,A為垂足,C2,C3是l1上任意兩點,點B在l2上.設(shè)△ABC1的面積為S1
8、,△ABC2的面積為S2,△ABC3的面積為S3,小穎認(rèn)為S1=S2=S3,請幫小穎說明理由.
3.確定全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法
(1)在全等三角形中找對應(yīng)邊和對應(yīng)角,關(guān)鍵是先找出對應(yīng)頂點,然后按對應(yīng)頂點字母的順序記兩個三角形全等,再按順序?qū)懗鰧?yīng)邊和對應(yīng)角.
(2)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊,兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊;對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角.兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.
(3)全等三角形中的公共邊是對應(yīng)邊,公共角是對應(yīng)角,對頂角是對應(yīng)角.
(4)最大邊是對應(yīng)邊,最小邊是對應(yīng)邊,最大角是對應(yīng)角,最小角是對應(yīng)角.
【例】如圖,△
9、ABC≌△DEF,點A與點D是對應(yīng)頂點,則BC的對應(yīng)邊是 ,∠BAC的對應(yīng)角是 .
【標(biāo)準(zhǔn)解答】因為點A與點D是對應(yīng)頂點,對應(yīng)頂點所對的邊是對應(yīng)邊,所以BC的對應(yīng)邊是EF;又因為以對應(yīng)點為頂點的角是對應(yīng)角,所以∠BAC的對應(yīng)角是
∠EDF.
答案:EF ∠EDF
如圖所示,∠1=∠2,∠B=∠D,△ABC和△AED全等應(yīng)表示為 ( )
A.△ABC≌△AED
B.△ABC≌△EAD
C.△ABC≌△ADE
D.△ABC≌△DEA
4.全等三角形
(1)判定基本思路:在證明兩個三角形全等時,往往題目中已知某些邊或角的條件,常根據(jù)以下思路來尋找
10、三角形全等的條件.
(2)常見的全等三角形的基本模型:
?、倨揭谱儞Q型
②軸對稱變換型
?、坌D(zhuǎn)變化型
【例1】已知:如圖,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.
求證:AE=CF.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】∵AD∥CB,∴∠A=∠C,
∵AD=CB,∠D=∠B,∴△ADF≌△CBE,
∴AF=CE,∴AE=CF.
【例2】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于點E.AD⊥CE于點D.
求證:△BEC≌△CDA.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】∵BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,
∴∠BEC=∠CDA=
11、90°,
在Rt△BEC中,∠BCE+∠CBE=90°,
在Rt△BCA中,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CBE=∠ACD,
在△BEC和△CDA中,
∠BEC=∠CDA,∠CBE=∠ACD,
∵BC=AC,
∴△BEC≌△CDA.
1.如圖,已知AB=AD,那么添加下列一個條件后,仍無法判定△ABC≌△ADC的
是( )
A.CB=CD
B.∠BAC=∠DAC
C.∠BCA=∠DCA
D.∠B=∠D=90°
2.如圖,B,E,C,F在同一直線上,AB∥DE,AB=DE,BE=CF,AC=6,則DF= .
3.在△ABC中,AB=AC,點E
12、,F分別在AB,AC上,AE=AF,BF與CE相交于點P.求證:PB=PC,并直接寫出圖中其他相等的線段.
4.已知:如圖,AB∥CD,E是AB的中點,CE=DE.
求證:(1)∠AEC=∠BED.
(2)AC=BD.
5.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延長AD到E點,使DE=AB.
求證:(1)∠ABC=∠EDC.
(2)△ABC≌△EDC.
6.如圖,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延長線于點D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于點E,求證:AD=CE.
13、
5.尺規(guī)作圖
用尺規(guī)作圖作出圖形的三個步驟:
(1)分析圖形,明確作圖順序.
(2)選擇合適的基本作圖.
(3)驗證所作圖形是否符合要求.
【例1】如圖所示,已知線段AB,∠α,∠β,分別過A,B作∠CAB=∠α,∠CBA=
∠β.(不寫作法,保留作圖痕跡)
【標(biāo)準(zhǔn)解答】如圖所示:
.
【例2】作圖題(要求:用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明)
已知:(如圖)線段a和∠α,
求作:△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】如圖所示:
1.畫△ABC,使其兩邊為已知線段a,b,
14、夾角為β.
(要求:用尺規(guī)作圖,寫出已知、求作;保留作圖痕跡;不在已知的線、角上作圖;不寫作法)
2.如圖1,在△ABC中,AB=AC,D是底邊BC上的一點,BD>CD,將△ABC沿AD剪開,拼成如圖2的四邊形ABDC′.
(1)四邊形ABDC′具有什么特點?
(2)請同學(xué)們在圖3中,用尺規(guī)作一個以MN,NP為鄰邊的四邊形MNPQ,使四邊形MNPQ具有上述特點(要求:寫出作法,但不要求證明).
跟蹤訓(xùn)練答案解析
第四章 三 角 形
1.應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系的方法技巧
【跟蹤訓(xùn)練】
1.【解析】選B.如果滿足較小的兩條線段之和大于最長的線段,那么這三條線段就能組成三
15、角形.因為1+1=2,1+4<6,2+3<7,而3+4>5.
2.【解析】選C.設(shè)第三邊長為x,則由三角形三邊關(guān)系定理得5-2
16、8;7,8,8;
8,8,8;
故各邊長度都是整數(shù)、最大邊長為8的三角形共有20個.
答案:20
5.【解析】由中線性質(zhì),可得AG=2GD,則
S△BGF=S△CGE=S△ABG=×S△ABD
=××S△ABC=×12=2,
∴陰影部分的面積為4.
答案:4
2.求一個角的度數(shù)的方法
【跟蹤訓(xùn)練】
1.【解析】選A.如圖,
∵∠1=60°,∠2=45°,
∴∠α=180°-45°-60°=75°.
2.【解析】選C.∵AB∥CD,
∴∠DCE=∠A=34°,
∵∠DEC=90°,
∴∠D=90°-∠DCE=90°-34°=56°.
3.【解析】選C.∵∠
17、A=60°,∠ABC=42°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.
∵∠B,∠C的平分線為BE,CD,
∴∠FBC=∠ABC=21°,
∠FCB=∠ACB=39°,
∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°.
4.【解析】選B.∵EF∥AC,
∴∠EFB=∠C=60°,
∵DF∥AB,
∴∠DFC=∠B=45°,
∴∠EFD=180°-60°-45°=75°.
5.【解析】∵∠ACD=∠A+∠B,∠A=80°,∠ACD=150°,
∴∠B=70°.
答案:70
6.【解析】∵直線l1∥l2,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3的底邊AB上的
18、高相等,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3這3個三角形同底,等高,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3這些三角形的面積相等.
即S1=S2=S3.
3.確定全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法
【跟蹤訓(xùn)練】
【解析】選C.由于∠1=∠2,∠B=∠D,所以點C與點E,點B與點D是對應(yīng)點,故應(yīng)表示為△ABC≌△ADE,所以選C.
4.全等三角形
【跟蹤訓(xùn)練】
1.【解析】選C.A、添加CB=CD,根據(jù)SSS,能判定△ABC≌△ADC,故A選項不符合題意;
B、添加∠BAC=∠DAC,根據(jù)SAS,能判定△ABC≌△ADC,故B選項不符合題意;
C、添加∠BCA=∠DCA時,
19、不能判定△ABC≌△ADC,故C選項符合題意;
D、添加∠B=∠D=90°,根據(jù)HL,能判定△ABC≌△ADC,故D選項不符合題意;故選C.
2.【解析】∵AB∥DE,
∴∠ABC=∠DEF,
∵BE=CF,∴BC=EF,
∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF,
∴DF=AC=6.
答案:6
3.【解析】在△ABF和△ACE中,
∴△ABF≌△ACE(SAS),
∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的對應(yīng)角相等),
∴BF=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等),
∵AB=AC,AE=AF,
∴BE=CF,
在△BEP和△CFP中,
∴△BEP≌△CFP(AAS),∴PB=
20、PC,
∵BF=CE,∴PE=PF,
∴圖中相等的線段為PE=PF,BE=CF.
4.【證明】(1)∵AB∥CD,
∴∠AEC=∠ECD,∠BED=∠EDC,
∵CE=DE,∴∠ECD=∠EDC,
∴∠AEC=∠BED.
(2)∵E是AB的中點,∴AE=BE,
在△AEC和△BED中,
∴△AEC≌△BED(SAS),∴AC=BD.
5.【證明】(1)在四邊形ABCD中,
∵∠A=∠BCD=90°,
∴∠B+∠ADC=180°.
又∵∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠ABC=∠EDC.
(2)連接AC.
∵在△ABC和△EDC中
∴△ABC≌△E
21、DC.
6.【證明】∵AE∥BD,∴∠EAC=∠ACB,
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠EAC,
在△ABD和△CAE中,
∴△ABD≌△CAE,∴AD=CE.
5.尺規(guī)作圖
【跟蹤訓(xùn)練】
1.【解析】已知:線段a,b和∠β.
求作:△ABC,使BC=a,AC=b,∠C=β(也可以使任意兩邊分別等于a和b,夾角為β).
2.【解析】(1)四邊形ABDC′中,AB=DC′,∠B=∠C′(或四邊形ABDC′中,一組對邊相等,一組對角相等).
(2)作法:①延長NP;
②以點M為圓心,MN為半徑畫弧,交NP的延長線于點G;
③以點P為圓心,MN為半徑畫弧,以點M為圓心,PG為半徑畫弧,兩弧交于點Q;
④連接MQ,PQ;
⑤四邊形MNPQ是滿足條件的四邊形.
17
2019版七年級數(shù)學(xué)下冊 第四章 三角形試題 （新版）北師大版
