2018屆中考數(shù)學復習 第七單元 三角形 第24課時 直角三角形和勾股定理試題

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1、 第24課時　直角三角形和勾股定理 (66分) 一、選擇題(每題5分，共25分) 1．下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是 (　B　) A.，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4 圖24－1 2.[2016·臺州]如圖24－1，數(shù)軸上點A，B分別對應(yīng)1，2，過點B作PQ⊥AB，以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交PQ于點C，以原點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點M，則點M對應(yīng)的數(shù)是 (　B　) A. B. C. D. 【解析】 由題意，可得OB＝2，BC＝

2、1，∴OM＝OC＝＝，則點M對應(yīng)的數(shù)是.故選B. 3．如圖24－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，則點C到AB的距離是 (　A　) A. B. C. D. 圖24－2　 　第3題答圖 【解析】 如答圖，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，根據(jù)勾股定理，得AB＝＝15，過點C作CD⊥AB，交AB于點D，S△ABC＝AC·BC＝ AB·CD，∴CD＝＝＝，則點C到AB的距離是.故選A. 4．如圖24－3，將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3 cm的矩形紙帶邊沿上，

3、另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，則三角板最長邊的長為 (　D　) A．3 cm B．6 cm C．3 cm D．6 cm 圖24－3　　 第4題答圖 【解析】 如答圖，過點C作垂線，交紙帶對邊沿于點D，∴CD＝3.在 Rt△ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝6，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72，∴BC＝6.故選D. 圖24－4 5．如圖24－4，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，將△BCD沿對角線BD翻

4、折，點C落在點C′處，BC′交AD于點E，則線段DE的長為 (　B　) A．3 B. C．5 D. 【解析】 設(shè)DE＝x，則AE＝6－x.∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC，由題意，得∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝DE＝x，由勾股定理，得BE2＝AB2＋AE2，即x2＝32＋(6－x)2，解得x＝，∴DE＝.故選B. 二、填空題(每題5分，共25分) 圖24－5 6．[2017·潮南區(qū)模擬]如圖24－5，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，若BC＝10，AD＝12，則AC＝__13__. 【解析】 ∵

5、AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，BD＝DC，在Rt△ADC中，AC＝＝＝13. 7．已知直角三角形兩邊的長分別是3和4，則第三邊的長為__5或__. 8．將一副三角尺按圖24－6疊放在一起，若AB＝14 cm，則陰影部分的面積是____cm2. 【解析】 ∵∠B＝30°，∴AC＝AB＝7 (cm)，易證AC＝CF，∴S△ACF＝AC·CF＝AC2＝×72＝(cm2)． 圖24－6　　 　　圖24－7 9．如圖24－7，在△ABC中，CD⊥AB于點D，E是AC的中點，若AD＝6，DE＝5，則CD的長等于__8__. 【解析】 ∵△ABC中，CD⊥

6、AB于點D，E是AC的中點，DE＝5，∴DE＝ AC，∴AC＝10.在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，則根據(jù)勾股定理，得CD＝＝＝8. 10．如圖24－8，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經(jīng)過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為____． 圖24－8 　　 第10題答圖 【解析】 如答圖，將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個面上，此時AB最短． ∵△BCM∽△ACN， ∴＝，即＝＝2， 即MC＝2NC，∴CN＝MN＝， 在Rt△ACN中，AC＝＝. 三、解答題(共16分) 11．(8分)如圖

7、24－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，CD＝5 cm，求AB的長． 　圖24－9 【解析】 要求的AB在Rt△ABC中，∠A＝30°，故只需求BC的長；在 Rt△BCD中，DC＝5 cm，∠DBC＝∠ABC＝30°，故可求出BD，BC的長，從而根據(jù)AB＝2BC計算出結(jié)果． 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC，∠ABC＝60°. ∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝30°. ∵在Rt△CBD中，CD＝5 cm，∴BD＝10 cm， ∴BC＝5 cm，∴AB＝2BC＝10(cm)． 12．

8、(8分)如圖24－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3. 圖24－10 (1)求DE的長； (2)求△ADB的面積． 解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD. ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD， ∵CD＝3，∴DE＝3； (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝＝10， ∴S△ADB＝AB·DE＝×10×3＝15. (24分) 13．(6分)如果將長為6 cm，寬為5 cm的長方形紙片折疊一次，那么這條折痕的長不可能是 (

9、　A　) A．8 cm B．5 cm C．5.5 cm D．1 cm 【解析】 易知最長折痕為矩形對角線的長，根據(jù)勾股定理得對角線長為＝≈7.8＜8，故折痕長不可能為8 cm.故選A. 14．(8分)[2016·益陽]如圖24－11，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積． 某學習小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程． 圖24－11 解：設(shè)BD＝x，∴CD＝14－x， 由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2， AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2， ∴152－x2＝132－(14

10、－x)2，解得x＝9， ∴AD＝12.∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84. 15．(10分)[2017·寧波]在一次課題學習中，老師讓同學們合作編題，某學習小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，編寫了下面這道題，請你來解一解． 圖24－12 如圖24－12，將矩形ABCD的四邊BA，CB，DC，AD分別延長至E，F(xiàn)，G，H，使得AE＝CG，BF＝DH，連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE. (1)求證：四邊形EFGH為平行四邊形； (2)若矩形ABCD是邊長為1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的長． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠BAD＝

11、∠BCD＝90°， ∵BF＝DH，∴AH＝CF， 在Rt△AEH中，EH＝， 在Rt△CFG中，F(xiàn)G＝， ∵AE＝CG，∴EH＝FG，同理，得EF＝HG， ∴四邊形EFGH為平行四邊形； (2)在正方形ABCD中，AB＝AD＝1， 設(shè)AE＝x，則BE＝x＋1，在Rt△BEF中，∠BEF＝45°， ∴BE＝BF，∵BF＝DH，∴DH＝BE＝x＋1， ∴AH＝AD＋DH＝x＋2， 在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2， ∴AH＝2AE，∴2＋x＝2x，解得x＝2，∴AE＝2. (10分) 16．(10分)[2017·宜昌]閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)a，b

12、，c，稱為勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為 其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)． 應(yīng)用：當n＝1時，求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊長． 解：當n＝1，a＝(m2－1)①，b＝m②，c＝(m2＋1)③， ∵直角三角形有一邊長為5， ∴Ⅰ.當a＝5時，(m2－1)＝5，解得m＝±(舍去)； Ⅱ.當b＝5時，即m＝5，代入①③，得a＝12，c＝13， Ⅲ.當c＝5時，(m2＋1)＝5，解得m＝±3. ∵m＞0，∴m＝3，代入①②，得a＝4，b＝3. 綜上所述，直角三角形的另外兩條邊長分別為12，13或3，4. 6