2018屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題三 圓的證明與計算試題

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1、 專題三 圓的證明與計算 類型一 切線的判定 判定某直線是圓的切線，首先看是否有圓的半徑過直線與圓的交點(diǎn)，有半徑則證垂直；沒有半徑，則連接圓心與切點(diǎn)，構(gòu)造半徑證垂直． (2016·黃石)如圖，⊙O的直徑為AB，點(diǎn)C在圓周上(異于A，B)，AD⊥CD， (1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值； (2)若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線． 【分析】 (1)根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，利用勾股定理求AC的長；(2)連接OC，利用AC是∠DAB的平分線，證得∠OAC＝∠CAD，再結(jié)合半徑相等，可得OC∥AD，進(jìn)而結(jié)論得證． 1．(

2、2016·六盤水)如圖，在⊙O中，AB為直徑，D，E為圓上兩點(diǎn)，C為圓外一點(diǎn)，且∠E＋∠C＝90°. (1)求證：BC為⊙O的切線； (2)若sin A＝，BC＝6，求⊙O的半徑． 2．(2017·濟(jì)寧)如圖，已知⊙O的直徑AB＝12，弦AC＝10，D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)E. (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)求AE的長． 類型二 切線的性質(zhì) 已知某條直線是圓的切線，當(dāng)圓心與切點(diǎn)有線段連接時，直接利用切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；當(dāng)圓心與切點(diǎn)沒有線段相連時，則作輔助線連接圓心與切點(diǎn)，再利用切線的性質(zhì)

3、解題． (2016·資陽)如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是直徑AB延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線，切點(diǎn)為D，連接BD. (1)求證：∠A＝∠BDC； (2)若CM平分∠ACD，且分別交AD，BD于點(diǎn)M，N，當(dāng)DM＝1時，求MN的長． 【分析】 (1)連接OD，由切線的性質(zhì)可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直徑，可得∠ADB＝90°，進(jìn)而可得∠A＋∠ABD＝90°，進(jìn)而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分線及三角形外角性質(zhì)可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根據(jù)勾股定理求得MN的長． 3．(2016·南平)如圖，PA，PB是

4、⊙O切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于點(diǎn)D. (1)求證：OC＝AD； (2)若∠P＝50°，⊙O的半徑為4，求四邊形AOCD的周長(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)． 4．(2017·長沙)如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，OA，OB分別交⊙O于點(diǎn)D，E，＝. (1)求證：OA＝OB； (2)已知AB＝4，OA＝4，求陰影部分的面積． 類型三 圓與相似的綜合 圓與相似的綜合主要體現(xiàn)在圓與相似三角形的綜合，一般結(jié)合切線的判定及性質(zhì)綜合考查，求線段長或

5、半徑．一般的解題思路是利用切線的性質(zhì)構(gòu)造角相等，進(jìn)而構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出所求線段或半徑． (2016·荊門)如圖，AB是⊙O的直徑，AD是⊙O的弦，點(diǎn)F是DA延長線的一點(diǎn)，AC平分∠FAB交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CE⊥DF，垂足為點(diǎn)E. (1)求證：CE是⊙O的切線； (2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半徑． 【分析】 (1)連接CO，證得∠OCA＝∠CAE，由平行線的判定得到OC∥FD，再證得OC⊥CE即可；(2)連接BC，由圓周角定理得到∠BCA＝90°，再證得△ABC∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得半徑．

6、5．(2017·德州)如圖，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D為BC的中點(diǎn)．以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E. (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的長． 6．(2017·黃岡)如圖，已知MN為⊙O的直徑，ME是⊙O的弦，MD垂直于過點(diǎn)E的直線DE，垂足為點(diǎn)D，且ME平分∠DMN. 求證：(1)DE是⊙O的切線； (2)ME2＝MD·MN. 7．(2016·丹東)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，CE⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)E. (1)求證：∠BDC＝∠A；

7、 (2)若CE＝4，DE＝2，求AD的長． 參考答案 【例1】 (1)∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝＝4. (2)如圖，連接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠OAC＝∠CAD. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠CAD， ∴OC∥AD. ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD. ∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的切線． 【變式訓(xùn)練】 1．(1)證明：∵∠A與∠E所對的弧都是， ∴∠A＝∠E. ∵∠E＋∠C＝90°，∴∠A＋∠C＝90°， ∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝90°.

8、即AB⊥BC. ∵AB是直徑，∴BC為⊙O的切線． (2)解：∵sin A＝＝，BC＝6，∴AC＝10. 在Rt△ABC中，AB＝＝8， ∴AO＝AB＝4，即⊙O的半徑是4. 2．(1)證明：如圖，連接OD.∵D是的中點(diǎn)，∴＝， ∴∠BOD＝∠BAE，∴OD∥AE. ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°. ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O 的切線． (2)解：如圖，過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F. ∵AC＝10， ∴AF＝CF＝AC＝×10＝5. ∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°， ∴四邊形OFED是矩形， ∴FE＝OD＝AB＝6， ∴AE＝AF

9、＋FE＝5＋6＝11. 【例2】 (1)如圖，連接OD， ∵CD是⊙O的切線， ∴∠ODC＝90°， ∴∠BDC＋∠ODB＝90°. ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＋∠ABD＝90°. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC. (2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM. ∵∠A＝∠BDC， ∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM. 即∠DMN＝∠DNM. ∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1， ∴MN＝＝. 【變式訓(xùn)練】 3．(1)證明：∵PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)， ∴O

10、A⊥PA，即∠OAD＝90°. ∵OC∥AP， ∴∠COA＝180°－∠OAD＝180°－90°＝90°. ∵CD⊥PA，∴∠CDA＝∠OAD＝∠COA＝90°， ∴四邊形AOCD是矩形，∴OC＝AD. (2)解：∵PB切⊙O于點(diǎn)B，∴∠OBP＝90°. ∵OC∥AP，∴∠BCO＝∠P＝50°. 在Rt△OBC中，sin∠BCO＝，OB＝4， ∴OC＝≈5.22， ∴矩形OADC的周長為2(OA＋OC)＝2×(4＋5.22)≈18.4. 4．(1)證明：如圖，連接OC. ∵AB與⊙O相切于點(diǎn)C， ∴∠ACO＝90°. ∵＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴∠A＝∠

11、B， ∴OA＝OB. (2)解：由(1)可知△OAB是等腰三角形， ∴BC＝AB＝2，∴sin∠COB＝＝， ∴∠COB＝60°，∴∠B＝30°， ∴OC＝OB＝2，∴S扇形OCE＝＝， S△OCB＝×2×2＝2， ∴S陰影＝S△OCB－S扇形OCE＝2－. 【例3】 (1)如圖，連接CO， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC. ∵AC平分∠FAB，∴∠OAC＝∠FAC， ∴∠OCA＝∠FAC，∴OC∥FD. ∵CE⊥FD，∴CE⊥OC. ∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線． (2)如圖，連接BC， 在Rt△ACE中，AC＝＝. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠

12、BCA＝90°， ∴∠BCA＝∠CEA. ∵∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC， ∴＝，即＝，∴AB＝5， ∴AO＝AB＝2.5即⊙O的半徑是2.5. 【變式訓(xùn)練】 5．(1)證明：如圖，連接OE，CE. ∵AC是⊙O的直徑，∴∠AEC＝∠BEC＝90°. ∵D是BC的中點(diǎn)， ∴ED＝BC＝DC，∴∠1＝∠2. ∵OE＝OC，∴∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACD. ∵∠ACD＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥DE. 又∵E是⊙O上一點(diǎn)， ∴DE是⊙O的切線． (2)解：由(1)知∠BEC＝90°. 在Rt△BEC與Rt△

13、BCA中，∠B為公共角， ∴△BEC∽△BCA， ∴＝， 即BC2＝BE·BA. ∵AE∶EB＝1∶2，設(shè)AE＝x，則BE＝2x，BA＝3x. 又∵BC＝6，∴62＝2x·3x.∴x＝，即AE＝. 6．證明：(1)∵M(jìn)E平分∠DMN，∴∠OME＝∠DME. ∵OM＝OE，∴∠OME＝∠OEM， ∴∠DME＝∠OEM，∴OE∥DM. ∵DM⊥DE，∴OE⊥DE. ∵OE是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線． (2)如圖，連接EN， ∵DM⊥DE，MN為⊙O的直徑， ∴∠MDE＝∠MEN＝90°， ∵∠NME＝∠DME， ∴△MDE∽△MEN， ∴＝， ∴ME2＝MD·MN. 7．(1)證明：如圖，連接OD， ∵CD是⊙O的切線， ∴∠ODC＝90°. 即∠ODB＋∠BDC＝90°. ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°. 即∠ODB＋∠ADO＝90°. ∴∠BDC＝∠ADO. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A. (2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°， ∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC. ∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE. 又∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED， ∴＝，∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)．∴AD＝6. 8