（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識專題突破 專題5 三角函數(shù)與解三角形學(xué)案

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1、 專題五　三角函數(shù)與解三角形 ———————命題觀察·高考定位——————— (對應(yīng)學(xué)生用書第15頁) 1．(2017·江蘇高考)若tan＝，則tan α＝________. 　[法一　∵tan＝＝＝， ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝. 法二　tan α＝tan ＝＝＝.] 2．(2016·江蘇高考)定義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y＝sin 2x的圖象與y＝cos x的圖象的交點個數(shù)是________． 7　[法一　函數(shù)y＝sin 2x的最小正周期為＝π，y＝cos x的最小正周期為2π，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個函數(shù)在[0,3π]上的圖

2、象，如圖所示．通過觀察圖象可知，在區(qū)間[0,3π]上兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)是7. 法二　聯(lián)立兩曲線方程，得兩曲線交點個數(shù)即為方程組解的個數(shù)，也就是方程sin 2x＝cos x解的個數(shù)．方程可化為2sin xcos x＝cos x，即cos x(2sin x－1)＝0， ∴cos x＝0或sin x＝. ①當(dāng)cos x＝0時，x＝kπ＋，k∈Z，∵x∈[0,3π]，∴x＝，π，π，共3個； ②當(dāng)sin x＝時，∵x∈[0,3π]，∴x＝，π，π，π，共4個． 綜上，方程組在[0,3π]上有7個解，故兩曲線在[0,3π]上有7個交點．] 3．(2016·江蘇高考)在銳角三角形AB

3、C中，若sin A＝2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是________． 8　[在銳角三角形ABC中， ∵sin A＝2sin Bsin C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bsin C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等號兩邊同除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C. ∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝.① ∵A，B，C均為銳角， ∴tan Btan C－1>0，∴tan Btan C>1. 由①得tan Btan C＝. 又由t

4、an Btan C>1得>1， ∴tan A>2. ∴tan Atan Btan C＝ ＝ ＝(tan A－2)＋＋4≥2＋4＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)tan A－2＝，即tan A＝4時取得等號． 故tan Atan Btan C的最小值為8.] 4．(2015·江蘇高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，則tan β的值為________． 3　[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.] 5．(2016·江蘇高考)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝. (1)求AB的長； (2)求cos的值. 【導(dǎo)學(xué)號：56394028】 [解]　(1)因為co

5、s B＝，0

6、(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值． [解]　(1)因為a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x. 若cos x＝0，則sin x＝0，與sin2x＋cos2x＝1矛盾， 故cos x≠0. 于是tan x＝－. 又x∈[0，π]，所以x＝. (2)f (x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－) ＝3cos x－sin x＝2cos. 因為x∈[0，π]，所以x＋∈， 從而－1≤cos≤. 于是，當(dāng)x＋＝，即x＝0時，f (x)取到最大值3； 當(dāng)x＋＝π，即x＝時，f (x)取到最小值－2. [命題規(guī)律]

7、 (1)高考對三角函數(shù)圖象的考查主要包括三個方面：一是用五點法作圖，二是圖象變換，三是已知圖象求解析式或求解析式中的參數(shù)的值，常以填空題的形式考查． (2)高考對三角函數(shù)性質(zhì)的考查是重點，以解答題為主，考查y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、單調(diào)性、對稱性以及最值等，常與平面向量、三角形結(jié)合進行綜合考查，試題難度屬中低檔． (3)三角恒等變換包括三角函數(shù)的概念，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的關(guān)系，和、差角公式和二倍角公式，要抓住這些公式間的內(nèi)在聯(lián)系，做到熟練應(yīng)用，解三角形既是對三角函數(shù)的延伸又是三角函數(shù)的主要應(yīng)用，因此，在一套高考試卷中，既有填空題，還有解答題，總分占20分左右． 預(yù)測201

8、8年高考中，熱點是解答題，可能是三角函數(shù)恒等變換與解三角形綜合，平面向量、三角函數(shù)與解三角形綜合． ———————主干整合·歸納拓展——————— (對應(yīng)學(xué)生用書第16頁) [第1步▕ 核心知識再整合] 1．三角函數(shù)的定義 設(shè)α是一個任意大小的角，角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)sin2 α＋cos2α＝1. (2)tan α＝. 3．巧記六組誘導(dǎo)公式 對于“±α，k∈Z的三角函數(shù)值”與“α角的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下面口訣記憶：奇變偶不變，符號看象限． 4．辨明常用三

9、種函數(shù)的易誤性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 單調(diào)性 在(k∈Z)上單調(diào)遞增；在(k∈Z)上單調(diào)遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在(k∈Z)上單調(diào)遞增 對稱性 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝＋kπ(k∈Z) 對稱中心：(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k∈Z) 對稱中心：(k∈Z) 5.識破三角函數(shù)的兩種常見變換 6．“死記”兩組三角公式 (1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式： ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos

10、 αsin β. ②cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. ③tan(α±β)＝. (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式： ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. ③tan 2α＝. 7．“熟記”兩個定理 (1)正弦定理： ＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)． 變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； sin A＝，sin B＝，sin C＝； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (2)余弦定理： a2＝b2＋c2－2b

11、ccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推論：cos A＝，cos B＝， cos C＝. 變形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C. [第2步▕ 高頻考點細突破] 三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 【例1】　(泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)已知角α的終邊經(jīng)過點P(－x,6)，且cos α＝，則x的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：56394029】 [解析]　因為r＝，所以＝，解之得x＝－8. [答案]?。?

12、【例2】　(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考)已知3sin α＋4cos α＝5，則tan α＝________. [解析]　∵3sin α＋4cos α＝5， ∴5sin(α＋β)＝5， ∴sin(α＋β)＝1， ∴α＝2kπ＋－β(k∈Z)， ∴tan α＝tan＝＝. [答案]　 [規(guī)律方法]　(1)利用三角函數(shù)定義將角的終邊上點的坐標(biāo)和三角函數(shù)值建立了聯(lián)系，但是注意角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在x軸的非負半軸． (2)將齊次式用tan α表示．注意角的變換． [舉一反三] (江蘇省揚州市2017屆高三上學(xué)期期末)已知cos＝，則sin(π＋α)＝______

13、__. 　[∵0＜α＜， ∴＋α∈， 又cos＝， ∴sin＝， ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－sin ＝－sincos ＋cossin ＝－×＋×＝.] 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【例3】　(泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)已知函數(shù)f (x)＝Asin的部分圖象如圖5－1所示，P，Q 分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標(biāo)為(2，A)，點R的坐標(biāo)為(2,0)．若∠PRQ＝，則y＝f (x)的最大值是________． 圖5－1 [解析]　由題設(shè)可知T＝＝12，則P(2，A)，R(2,0)，Q(8，－A)，所以PR＝A，PQ＝，RQ＝，由余弦定理可得

14、 4A2＋36＝A2＋A2＋36－2Acos 120°，解之得A＝2. [答案]　2 【例4】　(泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)函數(shù)f (x)＝sin x－cos x (－π≤x≤0)的單調(diào)增區(qū)間是________． [解析]　因為f (x)＝sin x－cos x＝2sin，所以增區(qū)間為2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，即2kπ－≤x≤2kπ＋，取k＝0可得－≤x≤，又－π≤x≤0，故－≤x≤0. [答案]　 【例5】　(江蘇省蘇州市2017屆高三上學(xué)期期中)已知函數(shù)f (x)＝sin(ω＞0)，將函數(shù)y＝f (x)的圖象向右平移π個單位長度后，所得圖象與原

15、函數(shù)圖象重合，則ω的最小值等于________． [解析]　∵函數(shù)y＝sin的圖象向右平移π個單位后與原圖象重合， ∴π＝n×，n∈Z， ∴ω＝3n，n∈Z， 又ω＞0，故其最小值是3. [答案]　3 [規(guī)律方法]　(1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性，往往是在其定義域內(nèi)，先化簡三角函數(shù)式，盡量化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解． (2)對于形為y＝asin ωx＋bcos ωx型的三角函數(shù)，要通過引入輔助角化為y＝sin(ωx＋φ)(cos φ＝，sin φ＝)的形式來求． (3)對于y＝Asin(ωx＋φ)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間時，一般將ω化

16、為大于0的值． [舉一反三] 1．(江蘇省如東高級中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研)如圖5－2所示為函數(shù)f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，現(xiàn)將函數(shù)y＝f (x)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的解析式為________. 【導(dǎo)學(xué)號：56394030】 圖5－2 sin　[因為T＝－＝π，所以T＝π＝，故ω＝2，又A＝1，sin＝1，即φ＋＝，也即φ＝，所以f (x)＝sin，向右平移個單位后得g(x)＝sin＝sin.] 2．(江蘇省南京市、鹽城市2017屆高三第一次模擬)將函數(shù)y＝3sin的圖象向右平移φ個單位后，所得函數(shù)為

17、偶函數(shù)，則φ＝________. 　[由題意得y＝3sin為偶函數(shù)，所以－2φ＋＝＋kπ(k∈Z)，又0＜φ＜，所以φ＝.] 三角恒等變換和解三角形 【例6】　(江蘇省南通中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面積S＝，則邊AC等于________． [解析]　由三角形面積公式得BC·BA·sin B＝?·1·BA·sin ＝?BA＝4，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝16＋1－2×1×4×＝13，AC＝. [答案]　 【例7】　(2016－2017學(xué)年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)已知函數(shù) f (

18、x)＝2sin·cos x. (1)若0≤x≤，求函數(shù)f (x)的值域； (2)設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A為銳角且f (A)＝，b＝2，c＝3，求cos(A－B)的值． [解]　(1)f (x)＝cos x＝sin xcos x＋cos2x ＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋， 由0≤x≤得，≤2x＋≤，－≤sin≤1， ∴0≤sin＋≤1＋， 即函數(shù)f (x)的值域為. (2)由f (A)＝sin＋＝得sin＝0， 又由0＜A＜，∴＜2A＋＜， ∴2A＋＝π，A＝， 在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝7，

19、得a＝， 由正弦定理＝，得sin B＝＝， ∵b＜a，∴B＜A，∴cos B＝， ∴cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝×＋×＝. [規(guī)律方法]　(1)在三角形中考查三角函數(shù)式的變換， 是近幾年高考的熱點．這種題是在新的載體上進行的三角變換，因此要時刻注意它的兩重性：其一，作為三角形問題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，應(yīng)及時進行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路；其二，注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，是使問題獲得解決的突破口． (2)在解三角形時，三角形內(nèi)角的余弦值為正，該角一定為銳角，且有唯一解，因此，在

20、解三角形中，若有求角問題，應(yīng)盡量求余弦值． [舉一反三] (江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測試)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2acos A. (1)求A的大?。? (2)若·＝，求△ABC的面積． [解]　法一　在△ABC中，由正弦定理，及bcos C＋ccos B＝2acos A，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin Acos A， 即sin A＝2sin Acos A， 因為A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos A＝， 所以A＝. 法二　在△ABC中，由余弦定理，及bcos C＋cco

21、s B＝2acos A， 得b·＋c·＝2a·， 所以a2＝b2＋c2－bc， 所以cos A＝＝， 因為A∈(0，π)，所以A＝. (2)由·＝cbcos A＝，得bc＝2， 所以△ABC的面積為S＝bcsin A＝×2sin 60°＝. 解三角形在實際生活中的應(yīng)用 【例8】　(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學(xué)期期中)某城市有一直角梯形綠地ABCD，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝2 km，BC＝1 km.現(xiàn)過邊界CD上的點E處鋪設(shè)一條直的灌溉水管EF，將綠地分成面積相等的兩部分． 圖5－3　　　　　　　　　　圖5－4 (1)如圖

22、5－3，若E為CD的中點，F(xiàn)在邊界AB上，求灌溉水管EF的長度； (2)如圖5－4，若F在邊界AD上，求灌溉水管EF的最短長度. 【導(dǎo)學(xué)號：56394031】 [解]　(1)因為AD＝DC＝2，BC＝1，∠ABC＝∠BAD＝90°，所以AB＝， 取AB中點G， 則四邊形BCEF的面積為S梯形ABCD＝S梯形BCEG＋S△EFG， 即××(1＋2)＝×＋GF×， 解得GF＝， 所以EF＝＝(km)． 故灌溉水管EF的長度為km. (2)設(shè)DE＝a，DF＝b，在△ABC中，CA＝＝2， 所以在△ADC中，AD＝DC＝CA＝2， 所以∠ADC＝60°， 所以△

23、DEF的面積為S△DEF＝absin 60°＝ab， 又S梯形ABCD＝，所以ab＝，即ab＝3. 在△DEF中，由余弦定理，得EF＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，取“＝”． 故灌溉水管EF的最短長度為 km. [規(guī)律方法]　將實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)模型，利用正弦定理、余弦定理、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識求解． [舉一反三] (江蘇省揚州市2017屆高三上學(xué)期期末)如圖5－5，矩形ABCD是一個歷史文物展覽廳的俯視圖，點E在AB上，在梯形BCDE區(qū)域內(nèi)部展示文物，DE是玻璃幕墻，游客只能在△ADE區(qū)域內(nèi)參觀，在AE上點P處安裝一可旋轉(zhuǎn)的監(jiān)控攝像頭，∠MPN為監(jiān)控角，其中M、N在線段D

24、E(含端點)上，且點M在點N的右下方，經(jīng)測量得知：AD＝6米，AE＝6米，AP＝2米，∠MPN＝，記∠EPM＝θ(弧度)，監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)域△PMN的面積為S平方米． 圖5－5 (1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的取值范圍；(參考數(shù)據(jù)：tan ≈3) (2)求S的最小值． [解]　(1)在△PME中，∠EPM＝θ，PE＝4米，∠PEM＝，∠PME＝－θ， 由正弦定理可得PM＝＝， 同理，在△PNE中，PN＝， ∴S△PMN＝PM·PN·sin∠MPN＝＝， M與E重合時，θ＝0，N與D重合時，tan∠APD＝3，即θ＝－，∴0≤θ≤－， 綜上所述，S△PMN＝，

25、0≤θ≤－； (2)當(dāng)2θ＋＝即θ＝時，S取得最小值＝8(－1)平方米． [第3步▕ 高考易錯明辨析] 1．忽視函數(shù)的定義域出錯 已知函數(shù)f (x)＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R. (1)求f (x)的最小正周期； (2)求f (x)在區(qū)間上的最大值和最小值. [錯解]　(1)f (x)＝－sin 2x·cos －cos 2x·sin ＋3sin 2x－cos 2x ?f (x)＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin， 所以f (x)的最小正周期為T＝＝π. (2)因為正弦函數(shù)y＝sin x(x∈R)的值域為[－1,1]， 所以

26、f (x)＝2sin的值域為， 故函數(shù)f (x)的最大值為2，最小值為－2. [正解]　(1)f (x)＝－sin 2x·cos －cos 2x·sin ＋3sin 2x－cos 2x ?f (x)＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin， 所以f (x)的最小正周期為T＝＝π. (2)因為f (x)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)， 又f (0)＝－2，f ＝2，f ＝2， 故函數(shù)f (x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為－2. 2．忽視邊長的固有范圍 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋ (cos A－sin A)cos B＝0. (

27、1)求角B的大?。? (2)若a＋c＝1，求b的取值范圍． [錯解]　(1)∵－cos(A＋B)＋(cos A－sin A)cos B＝0， ∴sin Asin B－sin Acos B＝0， ∴sin A(sin B－cos B)＝0， ∴sin B－cos B＝0，即2sin＝0，∴B＝ . (2)在三角形ABC中，由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos ＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32＝.∴b≥. [正解]　(1)∵－cos(A＋B)＋(cos A－sin A)cos B＝0， ∴sin Asin B－sin Acos B＝0， ∴sin A(sin B

28、－cos B)＝0，∴sin B－cos B＝0，即2sin＝0， ∴B＝. (2)在三角形ABC中，由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos ＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32＝.∴b≥. ∵b＜a＋c＝1，∴≤b＜1. ———————專家預(yù)測·鞏固提升——————— (對應(yīng)學(xué)生用書第20頁) 1．若函數(shù)f (x)＝3|cos x|－cos x＋m, x∈(0, 2π)有兩個互異零點，則實數(shù)m的取值范圍是________． (－4，－2]∪{0}　[令g(x)＝－3|cos x|＋cos x＝在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)g(x)圖象，如圖所示： 由其圖象可知當(dāng)直線y＝

29、m，m∈(－4，－2]∪{0}，g(x)＝－3|cos x|＋cos x，x∈(0,2π)的圖象與直線y＝m有且僅有兩個不同的交點．] 2．已知函數(shù)f (x)＝2sin xcos x＋2sin2x－，將y＝f (x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若函數(shù)y＝g(x)在[a，b]上至少含有1 012個零點，則b－a的最小值為________． 　[由已知得，f (x)＝2sin xcos x＋2sin2x－＝sin 2x－cos 2x＝2sin，則g(x)＝2sin＋1＝2sin 2x＋1，若函數(shù)y＝g(x)在[a，b]上至少含有1 012個零點，則b

30、－a的最小值為506π－－＝.] 3．已知三個向量m＝，n＝，p＝共線，其中a，b，c，A，B，C分別是△ABC的三條邊及相對的三個角，則△ABC的形狀是________． 等邊三角形　[在三角形中，cos ，cos ，cos 均不為0，故由題意可得：＝＝. 由正弦定理得：＝＝? sin ＝sin ＝sin ，即A＝B＝C，所以△ABC為等邊三角形．] 4．如圖5－6，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE＝1，連接EC，ED則sin∠CED＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：56394032】 圖5－6 　[連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠DAE＝∠DAB＝90°， ∵AD＝AE＝1，∴∠AED＝∠ADE＝45°，即∠DEA＝∠CAB＝45°， ∴AC∥ED， ∴∠CED＝∠ECA， 作EF⊥CA，交CA的延長線于點F，∵AE＝1， ∴由勾股定理得：EF＝AF＝， ∵在Rt△EBC中，由勾股定理得： CE2＝12＋22＝ 5， ∴CE＝， ∴sin ∠CED＝sin∠ECF＝＝.] 17