高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)考點總動員 考點 數(shù)形結(jié)合,靈活多變,暢游平面向量的世界

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1、 高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)考點總動員 考點4 數(shù)形結(jié)合,靈活多變,暢游平面向量的世界 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 Powered by 高考蜂背 一.專題綜述 平面向量融數(shù)、形于一體,具有幾何與代數(shù)的“雙重身份”,從而它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識交匯和聯(lián)系其他知識點的橋梁.平面向量的運用可以拓寬解題思路和解題方法.在高考試題中，其一主要考查平面向量的性質(zhì)和運算法則，以及基本運算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、數(shù)乘和內(nèi)積的運算法則，理解其幾何意義，并能正確的進(jìn)行計算；其二是考查向量的坐標(biāo)表示，向量的線性運算；其三是和其它數(shù)學(xué)知識結(jié)合在一起，如

2、和曲線、數(shù)列等知識結(jié)合．向量的平行與垂直，向量的夾角及距離，向量的物理、幾何意義，平面向量基本定理，向量數(shù)量積的運算、化簡與解析幾何、三角、不等式、數(shù)列等知識的結(jié)合，始終是命題的重點． 二．考綱解讀 1.理解平面向量的概念和向量相等的含義．理解向量的幾何表示．掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義． 2．掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義．了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義． 3.理解平面向量的基本定理及其意義．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．

3、 4.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系． 5．會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題． 6．會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題． 三．2012年高考命題趨向 1.對向量的加減運算及實數(shù)與向量的積的考查向量的加減運算以及實數(shù)與向量的積是高考中?？疾榈膯栴},常以選擇題的形式考查,特別是以平面幾何為載體綜合考查向量加減法的幾何意義,以及實數(shù)與向量的積的問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考選擇、填空

4、題中,但是難度不大,為中、低檔題. 2.對向量與其他知識相結(jié)合問題的考查平面向量與三角、解析幾何等知識相交匯的問題是每年高考的必考內(nèi)容,并且均出現(xiàn)在解答題中,所占分值較高.其中向量與三角相結(jié)合的問題較容易,屬中、低檔題;而向量與解析幾何等知識的結(jié)合問題則有一定難度,為中、高檔題. 3．在復(fù)習(xí)中要把知識點、訓(xùn)練目標(biāo)有機結(jié)合．重點掌握相關(guān)概念、性質(zhì)、運算公式、法則等．明確平面向量具有幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份，能夠把向量的非坐標(biāo)公式和坐標(biāo)公式進(jìn)行有機結(jié)合，注意“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)換．在復(fù)習(xí)中要注意分層復(fù)習(xí)，既要復(fù)習(xí)基本概念、基本運算，又要能把向量知識和其它知識(如曲線、數(shù)列

5、、函數(shù)、三角等)進(jìn)行橫向 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 聯(lián)系，以體現(xiàn)向量的工具性． 四．高頻考點解讀 考點一 向量的幾何運算 →→→例1 [2011·四川卷] 如圖1－2，正六邊形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( ) 圖1－2 →→→A．0 B.BE C.AD D.CF 【答案】D →→→→→→→→→【解析】 BA＋CD＋EF＝BA＋AF－BC＝BF－BC＝CF，所以選D. 【解題技

6、巧點睛】當(dāng)向量以幾何圖形的形式出現(xiàn)時，要把這個幾何圖形中的一個向量用其余的向量線性表示，就要根據(jù)向量加減法的法則進(jìn)行，特別是減法法則很容易使用錯誤，向量MN=ON-OM(其中O為我們所需要的任何一個點)，這個法則就是終點向量減去起點向量． 考點三 向量平行與垂直 例4[2011·廣東卷] 已知向量a＝(1,2)，b＝(1, 0)，c＝(3,4)．若λ為實數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝( ) 11A. B. C．1 D．2 42 【答案】B 【解析】 因為a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因為(a＋λb)∥c，

7、1所以(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝. 2 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 例5[2011·課標(biāo)全國卷] 已知a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________. 【答案】1 【解析】 由題意，得(a＋b)·(ka－b)＝k|a|2－a·b＋ka·b－|b|2＝k＋(k－1)a·b－1＝(k－1)(1＋a·b)＝0，因為a與b不共線，所以a·b≠－1，所以k－1＝0，解得k＝1. 考點四 向量的數(shù)量積、夾角與模

8、 例6[2011·廣東卷] 若向量a，b，c滿足a∥b且a⊥c，則c·(a＋2b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】D 【解析】 因為a∥b且a⊥c，所以b⊥c，所以c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0. →→→→→→例7[2011·湖南卷] 在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)BC＝2BD，CA＝3CE，則AD·BE＝ ________. 1【答案】－ 4 【解析】 由題知，D為BC中點，E為CE三等分點，以BC所在的直線為x軸，以AD所 1313－，0?，E?，在的直線為y軸，建立平面直

9、角坐標(biāo)系，可得A?0，，D(0,0)，B??2??362? 331353→→→→故AD＝?0，BE＝??，所以AD·BE＝－. 2642???66? 例8[2011·江西卷] 已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，則a與b的夾角為________． π【答案】 3 【解析】 設(shè)a與b的夾角為θ，由(a＋2b)(a－b)＝－2得 1π|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得cosθ＝θ＝23 例9[2011·課標(biāo)全國卷] 已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題： 2π

10、2π0，；p2：|a＋b|＞1?θ∈?π? p1：|a＋b|＞1?θ∈?3??3? ππ0，?；p4：|a－b|＞1?θ∈?，π?. p3：|a－b|＞1?θ∈??3??3? 其中的真命題是( ) A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4 【答案】A 2π110，，【解析】 因為|a＋b|>1?|a|2＋2a·b＋|b|2>1?a·b>－?|a||b|cosθ＝cosθ>－θ∈?3?22 1所以p1為真命題，p2為假命題．又因為|a－b|>1?|a|2－2a·b＋|b|2

11、>1?a·b<?|a||b|cosθ＝2 π?1cosθ<?θ∈??3π?，所以p4為真命題，p3為假命題． 2 【解題技巧點睛】求向量的數(shù)量積的公式有兩個:一是定義式a·b=|a||b|cos θ;二是坐標(biāo)式a·b=x1x2+y1y2.定義式的特點是具有強烈的幾何含義,需要明確兩個向量的模及夾角,夾角的求解方法靈活多樣,一般通過具體的圖形可確定,因此采用數(shù)形結(jié)合思想是利用定義法求數(shù)量積的一個重要途徑.坐標(biāo)式的特點是具有明顯的代數(shù)特征,解題時需要引入直角坐標(biāo)系,明確向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解,即向量問題“坐標(biāo)化”,使得問題操作起來容易、方便. 考點五 向量的應(yīng)用

12、 →→例10[2011·山東卷] 設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若A1A3＝λA1A2 11→→(λ∈R)，A1A4＝μA1A2(μ∈R)，且2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2，已知平面上的點C，λμ 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 D調(diào)和分割點A，B，則下面說法正確的是( ) A．C可能是線段AB的中點 B．D可能是線段AB的中點 C．C、D可能同時在線段AB上 D．C、D不可能同時在線段AB的延長線上

13、 【答案】D 11→→→→【解析】 若C、D調(diào)和分割點A；B，則AC＝λAB(λ∈R)，AD＝μAB(μ∈R)＝2. λμ 11→1→對于A：若C是線段AB的中點，則AC?λ＝＝0，故A選項錯誤；同理B選項22μ 11錯誤；對于C：若C、A同時在線段AB上，則0<λ<1,0<μ<1?＋，C選項錯誤；對于D：λμ 11若C、D同時在線段AB的延長線上，則λ>1，μ>1?<2，故C、D不可能同時在線段λμ AB的延長線上，D選項正確． x＋y≥2，??例11[2011·福建卷] 已知O是坐標(biāo)

14、原點，點A(－1,1)，若點M(x，y)為平面區(qū)域?x≤1， ??y≤2 →→上的一個動點，則OA·OM的取值范圍是( ) A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2] 【答案】C 【解析】 畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖1－2)， →→又OA·OM＝－x＋y，取目標(biāo)函數(shù)z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率為1的一組平行線， 當(dāng)它經(jīng)過點C(1,1)時，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0； 當(dāng)它經(jīng)過點B(0,2)時，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2. →→∴ z的取值

15、范圍是[0,2]，即OA·OM的取值范圍是[0,2]，故選C. 例12[2011·陜西卷] 敘述并證明余弦定理． 【解答】 余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍．或：在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，有 a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 證法一：如圖1－9， 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 →→a2＝BC·

16、BC →→→→＝(AC－AB)·(AC－AB) →→→→2＝AC2－2AC·AB＋AB →→→→＝AC2－2|AC|·|AB|cosA＋AB2 ＝b2－2bccosA＋c2， 即a2＝b2＋c2－2bccosA. 同理可證b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 證法二：已知△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如圖1－10)， 則C(bcosA，bsinA)，B(c,0)， ∴a2＝|BC|2＝(bcosA－

17、c)2＋(bsinA)2 ＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A ＝b2＋c2－2bccosA. 同理可證b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 【解題技巧點睛】平面向量的綜合運用主要體現(xiàn)在三角函數(shù)和平面解析幾何中．在三角函數(shù)問題中平面向量的知識主要是給出三角函數(shù)之間的一些關(guān)系，解題的關(guān)鍵還是三角函數(shù)問題，這類問題可以和三角函數(shù)中的一些題型相互對比；解析幾何中向量知識只要是給出一些幾何量的位置和數(shù)量關(guān)系，在解題中要善于根據(jù)向量知識分析解析幾何中的幾何量之間的關(guān)系，最后的解題還得落實到解析幾何方面．

18、 考點六 與向量相關(guān)的最值問題 1例12[2011·全國卷] 設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，則|c|2 的最大值等于( ) A．2 B.3 2 D．1 【答案】A 【解析】 設(shè)向量a，b，c的起點為O，終點分別為A，B，C，由已知條件得，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，則點C在△AOB的外接圓上，當(dāng)OC經(jīng)過圓心時，|c|最大，在△AOB中，求 3得AB＝3，由正弦定理得△AOB＝2，|c|的最大值是2，故選A. sin120° 例13

19、[2011·遼寧卷] 若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值為( ) A.2－1 B．1 C.2 D．2 【答案】 B 【解析】 |a＋b－c|＝(a＋b－c)＝a＋b＋c＋2a·b－2a·c－2b·c，由于a·b＝0，所以上式＝3－2c·(a＋b)，又由于(a－c)·(b－c)≤0，得(a＋b)·c≥c2＝1，所以|a＋b－c|3－2c·(a＋b)≤1，故選B. 例14[2011·天津卷] 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P 登陸apple

20、 store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 →→是腰DC上的動點，則|PA＋3PB|的最小值為________． 【答案】5 【解析】 建立如圖1－6所示的坐標(biāo)系，設(shè)DC＝h，則A(2,0)，B(1，h)． 設(shè)P(0，y)，(0≤y≤h) →→則PA＝(2，－y)，PB＝(1，h－y)， 2→→∴PA＋3PB＝25＋(3h－4y)≥25＝5. || 例15[2011·浙江卷] 若平面向量α，β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊 1形的面積為

21、α與β的夾角θ的取值范圍是________． 2 π5π【答案】??66 111【解析】 由題意得：|α||β|sinθ＝，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sinθ＝. 22|β|2 π5π又∵θ∈(0，π)，∴θ∈??66. 【解題技巧點睛】平面向量中的最值和范圍問題，是一個熱點問題，也是難點問題，這類試題的基本類型是根據(jù)給出的條件求某個量的最值、范圍，如一個向量模的最值、兩個向量夾角的范圍等．最值和范圍問題都是在變動的情況下，某個量在一個特殊情況上取得極端值，也就是在動態(tài)的情況下確定一個靜態(tài)的情況，使得這個情況下某個量具有特殊的性質(zhì)(如最大、最小、其余情

22、況下都比這個量大等)．在數(shù)學(xué)上解決這類問題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)的值域解決問題，這個思想在平面向量的最值、范圍問題中也是適用的，但平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，解決平面向量最值、范圍問題的另一個基本思想是數(shù)形結(jié)合． 針對訓(xùn)練 一．選擇題 1.【湖北省孝感市2011—2012學(xué)年度高中三年級第一次統(tǒng)一考試】 31設(shè)向量a=(,cosθ),向量b=(sinθ,),且a//b,則銳角θ為 （ ） 23 A．60° 答案：D .解析： B．30° C．75° D．45° 31a∥b,∴?-cosθ?si

23、nθ=0,∴sin2θ=1.θ∈(0,90),∴2θ=90,∴θ=45. 23 2.【2012屆江西省重點中學(xué)協(xié)作體高三第一次聯(lián)考】已知a=(-3,1),b=(1,-2)，若-2a+b∥a+kb，則實數(shù)k的值是( ) ()) 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 A. -17 B. -答案：B 1195 C. D.3 218 解析： 由已知得-2a+b=(7,-4)，a+kb=(-3+k,1-2k)，又因為兩向量平行，所以 1。 2

24、 3.【湖北省孝感市2011—2012學(xué)年度高中三年級第一次統(tǒng)一考試】 7(1-2k)=-4(-3+k)，計算可得實數(shù)k的值是- 已知非零向量a，滿足a+b+cb，c，（ ） 的夾角為60°，且b，=0，向量a，，則向量a與c的夾角為 A.600 B. 30° C. 120° D. 150° 答案：D 解析：.a+b+c=0,∴c=-(a+b).∴|c|2=(a+b)2=2+2cos60=3.∴|c 3c?a=- (a+b)?a=-|a|2- ab=-.設(shè)c與a的夾角為θ， 2 3ac==-θ∈[0,18

25、0],∴θ=150. 則cosθ=2|a||c|- 4.【2012海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期末試題】 如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點.那么EF= 11AB-AD 23 11（C）AB+DA 32（A） 答案：D （B） 11AB+AD 4212（D）AB-AD 23 解析： 在?CEF中，有EF=EC+CF,因E為DC的中點，故 EC=1DC, 2 2CB, 3 121212∴EF=DC+CB=AB+DA=AB-AD.故選D. 232323

26、5.【唐山市2011—2012學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末考試】在邊長為1的正三角因點F為BC的一個三分點，故CF=形ABC中，BD=xBA,CE=yCA，x>0,y>0,且x+y=1，則CD?BE的最大值為（ ） 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 5 83C．- 2A．-3 83D．- 4B．- 答案：D 解析：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，則A(-,0),B(,0),C1 212設(shè)D(x1,0),E(x2,y2), 11BD=xBA,∴(x1-,0-0)

27、=x(-1,0),∴x1=-x+ ; 22 CE=yCA,∴(x2,y211=y(-,∴x2=-y,y2= y; 2211x1CD?BE=(-x+,?(-1+x)=-(x2-x+1)，因0<x<1,∴當(dāng)x=時 2222 3 8 6.【2012屆江西省重點中學(xué)協(xié)作體高三第一次聯(lián)考】在?ABC中，若對任意k∈R，函數(shù)取得最大值-.故答案為C. 有BA-kBC≥AC，則?ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定 答案A 解析：如圖所示，設(shè)kBC=BD,

28、 則D為BC所在的直線上動點，又BA-kBC=BA-BD=DA≥CA恒成立， 故在三角形ACD中，唯有∠C=90才能滿足不等式恒成立，故答案為A。 7.【2012年長春市高中畢業(yè)班第一次調(diào)研測試】在△ABC中， 的對邊分別是a、B、C、b、c，若P是BC邊中點，角A ，則△ABC的形狀為 cAC+aPA+bPB=0 A.直角三角形 B.鈍角三角形 D.等腰三角形但不是等邊三角形. C.等邊三角形 答案：C 11 22 a+ba-ba+ba-b∴(，∴(， c)AAB=0c)ACAB2222

29、A(AB+A)b(AB-AC)=0解析：由題意知c， 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 ?a-b=0??2又AB、AC不共線，∴?，∴a=b=c. a+b?c-=0??2 8.【安徽省示范高中2012屆高三第二次聯(lián)考】 已知 =(5,12-=3,( ） （Ａ）[9,15] （Ｂ）[10,16] （Ｃ）[11,17] （Ｄ）[12,18] 答案：B 解析：因為b=a-(a-b)，由向量的三角形不等式|a|-|a-b|≤|b

30、|≤|a|+|a-b|及|a|=13得：13-3≤|b|≤13+ 3[10,16]。 9.（2012屆景德鎮(zhèn)市高三第一次質(zhì)檢）下列命題：①若向量a與向量b共線，向量b與向量共線，則向量與向量共線；②若向量與向量共線，則存在唯一實數(shù)λ，使=λ；③若A,B,C三點不共線，O是平面ABC外一點，且OM=111OA+OB+OC，則點M一定在平面ABC上，且在?ABC的內(nèi)部。上述333 命題中的真命題個數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①②若考慮零向量均不成立；對于③，由OM=1

31、11OA+OB+OC得333uuuruuuruuurrAM+BM+CM=0，因此M是?ABC的重心. 10、【2012年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試】 設(shè)O為?ABC所在平面上一點，若實數(shù)x、y、z滿足xOA+yOB+zOC=0 ， (x2+y2+z2≠0),則“xyz=0”是“O為?ABC的邊所在直線上”的（ ） （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 答案：C 解析： 若x=0,y=0，z=0中有兩個成立，此時O為三角形的頂點；若其中一個為零，例如x

32、=0,y≠0，z≠0，yOB+zOC=0，∴yOB=-zOC,∴O,B,C三點共線，總是可知“xyz=0”是“O為?ABC的邊所在直線上”的充分不必要條件，顯然，反之也成立，故答案為C。 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 11.【浙江省2012年高三調(diào)研理科數(shù)學(xué)測試卷】 BC主題(9) 如圖，在圓O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，則AO·的值是 (A) －8 (B) －1 (C) 1 (D) 8 答案D 解析： 取BC中點D，

33、則OD⊥BC, 所以DO?BC=0，AO?BC=(AD+DO)?BC=AD?BC+DO?BC=AD?BC =AB+ACAC-AB25-9?(AC-AB)===8. 222 的外接 在向量2212.【山東實驗中學(xué)2012屆高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)（理科）】 圓的圓心為O，半徑為1，若方向上的射影的數(shù)量為（ ） (A ).(B ).，且，則向量(C). 3 (D ). 【答案】A 【解析】由已知可以知道，?ABC的外接圓的圓心在線段BC的中點O處，因此?ABC是π，又因為 2

34、 直角三角形。且∠A= 因此答案為A 二．填空題 13.【北京市朝陽區(qū)2011-2012學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期中統(tǒng)一考試】 在?ABC中，已知 AB=(2k+3,3k+1)，AC=(3,k)(k∈R)，則BC=__；∠B=90?，則k=__ _． 答案： (-2k,-2k-1)；k=-1或-1 10 解析：BC=BA+AC=(-2k-3,-3k-1)+(3,k)=(-2k,-2k-1),因∠B=90?，所以 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載

35、 BC?BA=0,∴(-2k,-2k-1)(-2k-3,-3k-1)=0,∴10k2+11k+1=0,∴k=-1或-1.10 14.【2012屆江西省重點中學(xué)協(xié)作體高三第一次聯(lián)考】已知|a|=2|b|≠0，且關(guān)于 x的函數(shù)f(x)=x3+|a|x2+a?bx在R上有極值，則與的夾角范圍為_______. 答案 1312?π?,π? 3?? '22解析：f(x)=x2+ax+a?b，因為函數(shù)f(x)在R上有極值，所以?=a-4a?b>0， a得?=a-4a?b>0，解得a?b<，又因為a=2b≠0，所以4 2aa?b1casb

36、=,<=，因為向量夾角的范圍是[0,π]，所以向量a,b的夾角范a?b4a?b222 ?π?,π?。 3??15.【唐山市2011—2012學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末考試】 圍是 22，且，則的最小值為 a⊥bx+ya=(x-1,1),b=(1,y)已知向量 答案：1 2 2222解析：因為a⊥b，所以x-1+y=0，代入得x+y=x+(x-1)=2(x-)+1 221，所2 1122時，x+y取得最小值 22 16.【2011杭師大附中高三年級第一次月考卷】 以當(dāng)x= 已知平面向量α,β（α≠β）滿足α=2

37、,且α與β-α的夾角為120°，則(1-t)α+tβ(t∈R)的 最小值是答案： 解析： 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 →→ →cos<α,β-α>= 1-α+αβ1=-∴=-→→→→→→22|α||β-α||α||β-α|α(β-α)→→→→2→→ →→→→→2→→→→1→→→→2 ∴→→=-∴αβ+|α-β|=4∴|α-β|=4-αβ兩邊平方∴β=-9αβ+12+ （αβ）（*）22|α-β|αβ-4→→ |(

38、1-t)α+tβ| = == →→2 把（*）代入上式，可以得到關(guān)于αβ二次函數(shù)，利用性質(zhì)可得。 三.解答題 17【河北省正定中學(xué)2011—2012學(xué)年度高三上學(xué)期第二次月考（數(shù)學(xué)理）】 ?ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的 邊分別為a,b,c，向量m=(-1,1，→→ n=(cosBcos C,sinBsinC（Ⅰ）求A的大??； ，且m⊥n． （Ⅱ）現(xiàn)在給出下列三個條件：①a = 1；②2c-1)b=0 ；③B=45，試從中再選 擇兩個條件以確定?ABC，求出所確定的?ABC

39、的面積． 解析：(I)因為m⊥ n，所以-cosBcosC+sinB sinC=0……………2分 即：cosBcosC-sinBsinC=-，所以cos(B+C)=-…………4分 22 因為A+B+C=π，所以cos(B+C)=-cosA 所以cosA=,A=30……………………………………6分 2 (Ⅱ)方案一:選擇①②，可確定?ABC， 因為A=30,a=1,2c-1)b=0 22由余弦定理，得：1=b+2)-2b ……………10分 整理得：b=2,b=2c= 登陸apple store和各大安卓市場

40、即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 所以S?ABC=111……………………12分 bcsinA==222方案二:選擇①③，可確定?ABC， 因為A=30,a=1,B=45,C=105 又sin105= sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin60= 由正弦定理c= asinC 1?sin105 分 ==sinAsin30所以S?ABC=111……………12分 acsinB=?1??=22224 （注意;選擇②③不能確定三角形） 18.【201

41、2屆江西省重點中學(xué)協(xié)作體高三第一次聯(lián)考】 已知向量=(sinA,cosA), n=(cosB,sinB), m?n=sin2C，且A，B，C分別為△ABC的三邊a,b,c所對的角. （Ⅰ）求角C的大小; （Ⅱ）若sinA, sinC, sinB成等比數(shù)列, 且?(-)=18, 求c的值 解析： (Ⅰ) ∵=(sinA,cosA), =(cosB,sinB),? =sin2C, ∴sinAcosB+cosAsinB=sin2C 即 sinC=sin2C 1π，又C為三角形的內(nèi)角， ∴ C= ??????6分 32 2 (Ⅱ) ∵si

42、nA,sinC,sinB成等比數(shù)列， ∴c=ab ∴ cosC= 又CA?(AB-AC)=18,即 CA?CB=18, ∴ abcosC=18 2∴ c=ab =36即c=6 ??????12分 19【安徽省示范高中2012屆高三第二次聯(lián)考】 12已知函數(shù)f(x)=xcosx-cosx-,x∈R． 2 (Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期； （Ⅱ）已知?ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=3,f(C)=0，若向量m=(1,sinA)與 n=(2,sinB)共線，求

43、 a、b的值． 解：(Ⅰ)f(x)=xcosx-cos2x-π11=2x-cos2x-1=sin(2x-)-1 622 ∴ f(x)的最小值為-2，最小正周期為π. ????????????5分 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 )-1=0， 即sin(2C-)=1 66 ππ11ππππ∵ 0<C<π，-<2C-<，∴ 2C-=，∴ C=． ??7分 366662（Ⅱ）∵ f(C)=sin(2C- ∵ m與

44、n共線，∴ sinB-2sinA=0． 由正弦定理 ππab=， 得b=2a, ①?????????????9分 sinAsinB 22∵ c=3，由余弦定理，得9=a+b-2abcosπ 3， ②????????11分 解方程組①②，得??a= ????????????????13分 ?b=20.【惠州市2012屆高三第二次調(diào)研考試】已知點P是圓F1:(x+1)2+y2=8上任意一點，點F2與點F1關(guān)于原點對稱。線段PF2的中垂線m分別與PF1、PF2交于M、N兩點． （1）求點M的軌跡C的方程； （2）斜

45、率為k的直線l與曲線C交于P,Q兩點,若OP?OQ=0（O為坐標(biāo)原點），試求直 線l在y軸上截距的取值范圍． 解：（1）由題意得，F(xiàn)1(-1,0),F2(1,0),圓F 1的半徑為|MF2|=|MP| ??? 1分 從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=>|F1F2| ???? 3分 ∴ 點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓, ???? 5分 其中長軸2a= 得到a焦距2c=2， 則短半軸b=1 x2 +y2=1 ???? 6分 橢圓方程為

46、:2 ?y=kx+n?（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+n,由?x2 2+y=1??2 可得(2k2+1)x2+4knx+2n2-2=0 則?=16k2n2-8(n2-1)(2k2+1)>0,即2k2-n2+1>0 ① ???? 8分 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 登陸apple store和各大安卓市場即可下載 -4kn2n2-2,x1x2=2設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=2 2k+12k+1 由OP?OQ=0可得x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx

47、1+n)(kx2+n)=0 ????10分 整理可得(k2+1)x1x2+kn(x1+x2)+n2=0????12分 (k2+1)(2n2-2)-4kn+kn?()+n2=0 即222k+12k+1 1, 2 ?+∞)． ????14分 故直線l在y 軸上截距的取值范圍是(-∞,21.（2011杭師大附中高三年級第一次月考卷）設(shè)?ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對化簡可得3n2=2k2+2,代入①整理可得n2>的邊分別為a、b、c，且滿足(2a+c)?+c?=0． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若b=2，試求?的最小值．

48、解：（Ⅰ）因為(2a+c)BC?BA+cCA?CB=0， 所以(2a+c)accosB+cabcosC=0， CsinB+)coBsC=si所以 12π2siAncB+osC+siBn=(，即cosB=-，所以B= 23 2π22222（Ⅱ）因為b=a+c-2accos，所以12=a+c+ac≥3ac，即ac≤4 3 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，此時ac最大值為4 2π1=-ac≥-2，即AB?CB的最小值為-2 所以AB?CB=accos32 i+n即(2a+c)cosB+bcosC=0，則(2sA 登陸apple store和各大安卓市場即可下載