（江蘇專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做05 數(shù)學(xué)歸納法試題（含解析）

《（江蘇專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做05 數(shù)學(xué)歸納法試題（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做05 數(shù)學(xué)歸納法試題（含解析）（21頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題5 數(shù)學(xué)歸納法 【三年高考】 1．【2015江蘇高考，23】 已知集合，， ，令表示集合所含元素的個數(shù). （1）寫出的值； （2）當(dāng)時，寫出的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 【解析】（1）． （2）當(dāng)時，（）． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 3）若，則，此時有 ，結(jié)論成立；4）若，則，此時有，結(jié)論成立； 5）若，則，此時有 ，結(jié)論成立；6）若，則，此時有，結(jié)論成立． 綜上所述，結(jié)論對滿足的自然數(shù)均成立． 2. 【2014江蘇，理23】已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)， （1）求的值； （2）證明：對任意，等式都成立. 【答案】(1)；（2）證明見解析． 【解析

2、】（1）由已知， ， 所以，， 故. （1）時命題已經(jīng)成立， （2）假設(shè)時，命題成立，即， 對此式兩邊求導(dǎo)可得， 即，因此時命題也成立. 綜合（1）（2）等式對一切都成立. 令，得， 所以. 3．【2016山東文12】觀察下列等式： ； ； ； ； …… 照此規(guī)律， _________． 【答案】 【解析】通過觀察這一系列等式可以發(fā)現(xiàn)，等式右邊最前面的數(shù)都是，接下來是和項(xiàng)數(shù)有關(guān)的兩項(xiàng)的乘積，經(jīng)歸納推理可知是，所以第個等式右邊是. 4．【2015高考山東，理11】觀察下列各式： …… 照此規(guī)律，當(dāng)nN時，

3、 . 【答案】 【2018年高考命題預(yù)測】 縱觀近幾年各地高考試題，江蘇高考對數(shù)學(xué)歸納法的考查主要在方法的運(yùn)用的考查．其應(yīng)用幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會涉及和滲透；預(yù)計2018年高考也將會有題目用到推理證明的方法。推理與證明是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，推理一般包括合情推理與演繹推理，在解決問題的過程中，合情推理具有猜測結(jié)論和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是將無窮的歸納過程，根據(jù)歸納原理轉(zhuǎn)化為有限

4、的特殊（直接驗(yàn)證和演繹推理相結(jié)合）的過程，要很好地掌握其原理并靈活運(yùn)用．復(fù)習(xí)建議：數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)鍵是解題的步驟，必須符合數(shù)學(xué)歸納法的要求，解決此類題目時要建立合理的解題思路； 【2018年高考考點(diǎn)定位】 高考的考查：數(shù)學(xué)歸納法（理科附加）內(nèi)容，由于推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，因此數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用是方方面面的，在高考中會涉及和滲透，但不可能單獨(dú)出題，一般可能在附加綜合題中在涉及到無窮的過程時考查數(shù)學(xué)歸納法． 【考點(diǎn)1】數(shù)學(xué)歸納

5、法 【備考知識梳理】 1. 一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法．根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法：設(shè)是一個與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：①證明起始命題(或)成立；②在假設(shè)成立的前提下，推出也成立，那么可以斷定對一切正整數(shù)成立． 3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時，其步驟為： ①歸納奠基：證明當(dāng)取第一個自然數(shù)時命題成立； ②歸納遞推：假設(shè)，(，)時，命題成立，證明當(dāng)時，命題成立； ③由①②得出結(jié)論． 【規(guī)律方法技巧】 1. 明確數(shù)學(xué)歸納法的兩步證明 數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整

6、數(shù)有關(guān)的命題的證明方法，它們的表述嚴(yán)格而且規(guī)范，兩個步驟缺一不可．第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，第二步中，歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用，在n＝k＋1時一定要運(yùn)用它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”． 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)注意的問題 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，以及初始值的值． (2)由到時，除考慮等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用時的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)，明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因

7、式分解、添拆項(xiàng)、配方等．簡言之：兩個步驟、一個結(jié)論；遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉．[來 3. 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的注意問題 (1)當(dāng)遇到與正整數(shù)有關(guān)的不等式證明時，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法． (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由成立，推證時也成立，證明時用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明． 4. “歸納——猜想——證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式．其一般思路是：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著

8、廣泛的應(yīng)用．其關(guān)鍵是觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律． 5. 使用數(shù)學(xué)歸納法需要注意的三個問題 在使用數(shù)學(xué)歸納法時還要明確： (1)數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其中前兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可； (2)在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時，要注意起點(diǎn)，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清題目； (3)第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清楚由到時命題變化的情況． 6. 數(shù)學(xué)歸納法常用于與正整數(shù)有關(guān)命題的證明可用數(shù)學(xué)歸納法．例如根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，通過觀察項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，初步形成“觀

9、察—?dú)w納—猜想—證明”的思維模式；利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，要注意放縮法的應(yīng)用，放縮的方向應(yīng)朝著結(jié)論的方向進(jìn)行，可通過變化分子或分母，通過裂項(xiàng)相消等方法達(dá)到證明的目的． 【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“”時，由不等式成立，推證時，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是　　　　?。? 【答案】 【解析】時，左邊為，增加了，共項(xiàng)． 2.設(shè)個正數(shù)滿足（且）． （1）當(dāng)時，證明：； （2）當(dāng)時，不等式也成立，請你將其推廣到（且）個正數(shù)的情形，歸納出一般性的結(jié)論并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 【解析】（1）證明：因?yàn)椋ㄇ遥┚鶠檎龑?shí)數(shù)， 左—右= =0， 所以，原不等式成立． （2）歸納

10、的不等式為： （且）．記， 當(dāng)（）時，由（1）知，不等式成立；假設(shè)當(dāng)（且）時，不等式成立，即．則當(dāng)時，= = =，因?yàn)椋?，，所以，所以?dāng)，不等式成立．綜上所述，不等式（且）成立． 【兩年模擬詳解析】 1. 【2016-2017學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）】已知，其中，，，. （1）試求，，的值； （2）試猜測關(guān)于的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論. 【答案】（1）， （2） 【解析】 解：（1） ； ； . （2）猜想：. 而 ， ， 所以. 用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立. ①當(dāng)時，，所以結(jié)論成立. ②假設(shè)當(dāng)時， . 當(dāng)時，

11、 （*） 由歸納假設(shè)知（*）式等于 . 所以當(dāng)時，結(jié)論也成立. 綜合①②，成立. 2. 【2017年第三次全國大聯(lián)考江蘇卷】已知每一項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足，． （1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：； （2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明： 【解析】（1）因?yàn)?，? ①當(dāng)時，，，，成立； （2）由（1）知，，所以， 同理由數(shù)學(xué)歸納法可證，． 猜測：，下證這個結(jié)論． 因?yàn)?，所以與異號,即與同號 注意到，知，，，，即． 所以有，從而可知． ， 所以， 所以 ．………………10分 3. 【2017年高考

12、原創(chuàng)押題預(yù)測卷03（江蘇卷）】設(shè)表示的整數(shù)部分． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求滿足的的值； （Ⅲ）求證：． 【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，所以?-----------------------------（2分） （Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，則，所以，即，所以，共8個值；--------------------（5分） （Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法推證: ①當(dāng)時，左邊等于；右邊等于，等式成立；-----（7分） ②假設(shè)當(dāng)時，等式也成立，即，那么當(dāng)時，，即成立，也就是說當(dāng)時等式也成立，根據(jù)①②可知對任何等式都成立．-----------（10分） 4. 【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測卷01（江

13、蘇卷）】（本小題滿分10分） 設(shè)為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，． （1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：； （2）已知，試?yán)茫?）的結(jié)論計算. 【答案】（1）詳見解析；（2）. 【解析】 （1）證明：當(dāng)時，左邊=右邊=，命題成立；·······1分 假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即， 則當(dāng)時， ；·······4分 綜上，由和可得，·······6分 （2）， ···10分 5. 【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測卷02（江蘇卷）】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求證：對任意的自然數(shù)，不等式成立. 【解析】 （Ⅰ）將代入可得；----------（2分） （Ⅱ）證

14、明：由可得：，因此欲證明不等式成立，只需要證明當(dāng)對一切非零自然數(shù)不等式恒成立即可，------------------------ ---------------------------------------------（4分） 顯然左端每個因式都為正數(shù)，因,故只需證明對每個非零自然數(shù)，不等式-----（*）恒成立即可.-------（5分） 下用數(shù)學(xué)歸納法證明該不等式成立： （1）顯然當(dāng)時，不等式（*）恒成立；----------------------------------（6分） （2）假設(shè)當(dāng)時不等式（*）也成立，即不等式成立，那么當(dāng)時，，即，注意到，所以，這說明當(dāng)時，不等式

15、不等式（*）也成立.----------------------------------------（9分） 因此由數(shù)學(xué)歸納法可知：不等式（*）對一切非零自然數(shù)都成立；即恒成立，故欲證不等式對一切非零自然數(shù)都成立.-----------------------------（10分） 6. 【揚(yáng)州市2016—2017學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測】（本小題滿分10分） 已知， 其中 是關(guān)于的函數(shù). （1）若，求，的值； （2）若，求證：. 【解析】解：⑴因?yàn)?，所以? 所以， -------------

16、--------1分 所以. ---------------------3分 ⑵因?yàn)椋? 所以. ①當(dāng)時，，所以時結(jié)論成立. ----4分 ②假設(shè)時結(jié)論成立，即， 則時， = ， 所以時，結(jié)論也成立. 綜合①②可知，. ---------------------10分 7. 【2017南通揚(yáng)州泰州蘇北四市高三二?！浚ū拘☆}滿分10分） 設(shè)．有序數(shù)組經(jīng)m次變換后得到數(shù)組， 其中，（1，2，，n），，． 例如：有序數(shù)組經(jīng)1次變換后得到數(shù)組，即；經(jīng)第 2次變換后得到數(shù)組．

17、 （1）若，求的值； （2）求證：，其中1，2，，n． （注：當(dāng)時，，1，2，，n，則．） 解：（1）依題意， 經(jīng)1次變換為：， 經(jīng)2次變換為：， 經(jīng)3次變換為：， 所以． …… 3分 （2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明對，，其中． （i）當(dāng)時，，其中，結(jié)論成立； （ii）假設(shè)時，，其中． …… 5分 則時， ， 所以結(jié)論對時也成立． 由（i）（ii）知，，，其中． …… 10分 8. 【蘇錫常鎮(zhèn)四市2016屆高三教學(xué)情況調(diào)研（二

18、）】設(shè)實(shí)數(shù)滿足，且且，令．求證：． 【答案】詳見解析 【解析】證明：（1）當(dāng)時，，∴，即， ∴，即當(dāng)時，結(jié)論成立． （2）假設(shè)當(dāng)且時，結(jié)論成立， 即當(dāng)，且時， 有． 則當(dāng)時，由，且， ∵， ∴， 又∵，且 ， 由假設(shè)可得， ∴ ， 即當(dāng)時，結(jié)論成立． 綜上，由（1）和（2）可知，結(jié)論成立． 9．【江蘇省蘇中三市2016屆高三第二次調(diào)研測試】設(shè)（），其中（）．當(dāng)除以4的余數(shù)是（）時，數(shù)列的個數(shù)記為． （1）當(dāng)時，求的值； （2）求關(guān)于的表達(dá)式，并化簡． 【答案】（1）（2） 試題解析：解：（1）當(dāng)時，數(shù)列中有1個1或5個1，其余

19、為0，所以．　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）依題意，數(shù)列中有3個1，或7個1，或11個1，…，或個1 ，其余為0， 所以．?。?分 同理，得． 因?yàn)椋? 所以． 又， 所以．　 10. 【2016屆山東省濰坊中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)】觀察下列等式 第一個式子 第二個式子

20、 第三個式子 第四個式子 照此規(guī)律下去 （Ⅰ）寫出第5個等式； （Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？請用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想． 【答案】詳見解析 【解析】（Ⅰ）第5個等式 ； （Ⅱ）猜測第個等式為，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明． 試題解析：（Ⅰ）第5個等式 （Ⅱ）猜測第個等式為 證明：（1）當(dāng)時顯然成立； （2）假設(shè)時也成立， 即有 那么當(dāng)時左邊 而右邊這就是說時等式也成立． 根據(jù)（1）（2）知，等式對任何都成立． 11．求證：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)． 【答案】詳見解析 【解析】證明：(1)當(dāng)n

21、＝1時，左邊＝1－＝， 右邊＝＝.左邊＝右邊． (2)假設(shè)n＝k時等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 則當(dāng)n＝k＋1時， ＋ ＝＋ ＝＋＋…＋＋. 即當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立． 綜合(1)，(2)可知，對一切n∈N*，等式成立． 12．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 【答案】詳見解析 【解析】證明：(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝f(1)＝1， 右邊＝2＝1， 左邊＝右邊，等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時，結(jié)論成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)

22、＝k[f(k)－1]， 那么，當(dāng)n＝k＋1時， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)． 【一年原創(chuàng)真預(yù)測】 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋＋…＋＝1－n(n∈N*)． 【答案】詳見解析 【解析】證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝，右邊＝1－1＝，等式成立． 【入選理由】本題考查用數(shù)學(xué)

23、歸納法證明恒等式，（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，以及初始值n0的值．(2)由n＝k到n＝k＋1時，除考慮等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n＝k時的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．本題難度不大，主要鞏固數(shù)學(xué)歸納法的步驟，故選本題． 2．?dāng)?shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)． (1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想． 【答案】詳見解析 【解析】(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1. 當(dāng)n＝2時，a1＋a2＝S

24、2＝2×2－a2， ∴a2＝. 當(dāng)n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3， ∴a3＝. 當(dāng)n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4， ∴a4＝. 由此猜想an＝(n∈N*)． (2)證明：①當(dāng)n＝1時，左邊＝a1＝1， 右邊＝＝1， 左邊＝右邊，結(jié)論成立． 【入選理由】“歸納——猜想——證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式．其一般思路是：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用．其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式．故選本題． - 21 -