2018年高考數(shù)學二輪復習 專題1.6 解析幾何（講）理

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1、 專題1.6 解析幾何 考向一 直線與圓 【高考改編☆回顧基礎】 1.【直線垂直的位置關系及直線的點斜式方程】【2016·天津卷改編】過原點且與直線2x＋y＝0垂直的直線方程為________． 【答案】y＝x 【解析】因為直線2x＋y＝0的斜率為－2，所以所求直線的斜率為，所以所求直線方程為y＝x. 2.【弦長問題】【2016·全國卷Ⅰ改編】設直線y＝x＋2與圓C：x2＋y2－2y－2＝0相交于A，B兩點，則|AB|＝________． 【答案】2 3.【直線與圓，圓與圓的位置關系】【2016·山東卷改編】已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)

2、截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是________． 【答案】相交 【解析】由垂徑定理得2＋()2＝a2，解得a2＝4，∴圓M：x2＋(y－2)2＝4，∴圓M與圓N的圓心距d＝＝.∵2－1<<2＋1，∴兩圓相交． 4.【橢圓的幾何性質、直線與圓的位置關系】【2017課標3，改編】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為 . 【答案】 【解析】 故填. 【命題預測☆看準方向】 從近五年的高考試題來看,高考的重點是求圓的方程、求與圓有關的軌跡

3、方程、直線與圓的位置關系、弦長問題、切線問題、圓與圓的位置關系,圓與圓錐曲線的交匯問題是高考的熱點,經(jīng)常以選擇題、解答題的形式出現(xiàn).另外，從高考試題看，涉及直線、圓的問題有與圓錐曲線等綜合命題趨勢.復習中應注意圍繞圓的方程、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系等,其中經(jīng)?？疾榈氖菆A與圓位置關系中的動點軌跡,直線與圓的位置關系中的弦長問題、切線問題、參數(shù)的取值范圍等. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2018屆北京豐臺二中高三上學期期中】已知點及圓． （Ⅰ）設過的直線與圓交于， 兩點，當時，求以為直徑的圓的方程． （Ⅱ）設直線與圓交于， 兩點，是否存在實數(shù)，使得過點的直線，垂直平分弦？

4、若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由． 【答案】(1) (2) 不存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦． 【解析】試題分析：（1）由利用兩點間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據(jù)弦長|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發(fā)現(xiàn)|CP|與d相等，所以得到P為MN的中點，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標即為P的坐標，半徑為|MN|的一半，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可；（2）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關于x的一元二次方程，因為直線與圓有兩個交點，所以得到△＞0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明證明即可． （Ⅱ）把直線

5、及代入圓的方程，消去，整理得： ， 由于直線交圓于， 兩點， 故，即，解得． 則實數(shù)的取值范圍是． 設符合條件的實數(shù)存在， 由于垂直平分弦，故圓心必在直線上， 所以的斜率，所以， 由于， 故不存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦． 【趁熱打鐵】【2018屆江蘇省興化市楚水實驗學校、黃橋中學、口岸中學三校高三12月聯(lián)考】經(jīng)過點且圓心是直線與直線的交點的圓的標準方程為__________． 【答案】 【解析】直線與直線的交點為 即圓心為，因為圓經(jīng)過點所以半徑為2，故圓的標準方程為 故答案為 【例2】已知圓C經(jīng)過點A(0，2)，B(2，0)，圓C的圓心在圓x2＋y2＝2的內

6、部，且直線3x＋4y＋5＝0被圓C所截得的弦長為2.點P為圓C上異于A，B的任意一點，直線PA與x軸交于點M，直線PB與y軸交于點N. (1)求圓C的方程； (2)若直線y＝x＋1與圓C交于A1，A2兩點，求·； (3)求證：|AN|·|BM|為定值． 【答案】(1)x2＋y2＝4.(2)3.(3)證明：見解析. (2)將y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0. 設A1(x1，y1)，A2(x2，y2)， 則x1＋x2＝－1，x1x2＝－. ∴·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋

7、x2)＋5＝－3＋1＋5＝3. (3)證明：當直線PA的斜率不存在時，|AN|·|BM|＝8. 當直線PA與直線PB的斜率都存在時，設P(x0，y0)， 直線PA的方程為y＝x＋2，令y＝0得M. 直線PB的方程為y＝(x－2)，令x＝0得N. ∴|AN|·|BM|＝＝4＋4 ＝ 4 ＋ 4· ＝ 4 ＋ 4· ＝ 4 ＋ 4× ＝ 8， 故|AN|·|BM|為定值8. 【趁熱打鐵】(1)已知圓C的方程為x2＋y2＋8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的取值范圍為________________． (2)已知

8、圓C：x2＋y2－ax＋2y－a＋4＝0關于直線l1：ax＋3y－5＝0對稱，過點P(3，－2)的直線l2與圓C交于A，B兩點，則弦長|AB|的最小值為________________． 【答案】(1)－≤k≤0　(2)2. (2)圓C：x2＋y2－ax＋2y－a＋4＝0，其圓心C為，半徑r＝. ∵圓C關于直線l1：ax＋3y－5＝0對稱，∴－3－5＝0， 解得a＝±4. 當a＝－4時，半徑小于0，不合題意，舍去． ∴a＝4，則圓心C為(2，－1)，半徑r＝. 由|PC|＝<，可知點P在圓內，則當弦長|AB|最小時，直線l2與PC所在直線垂直． 此時圓心C到直線l2的距離

9、d＝|PC|＝， 弦長|AB|＝2＝2， 即所求最小值為2. 【方法總結☆全面提升】 1.要注意幾種直線方程的局限性,點斜式、斜截式方程要求直線不能與x軸垂直,兩點式方程要求直線不能與坐標軸垂直,而截距式方程不能表示過原點的直線,也不能表示垂直于坐標軸的直線. 2.求解與兩條直線平行或垂直有關的問題時,主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件,即若斜率存在時,“斜率相等”或“互為負倒數(shù)”;若出現(xiàn)斜率不存在的情況,可考慮用數(shù)形結合的方法去研究. 3.求圓的方程一般有兩類方法: (1)幾何法,通過圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系,求得圓的基本量和方程; (2)代數(shù)法,即用待定系數(shù)

10、法先設出圓的方程,再由條件求得各系數(shù). 4.直線與圓的位置關系: (1)代數(shù)法．將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式Δ來討論位置關系：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相離； (2)幾何法．把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：dr?相離． 優(yōu)先選用幾何法. 5.處理有關圓的弦長問題求解方法： (1)根據(jù)平面幾何知識構建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l＝2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)． (2)根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k

11、為直線的斜率)． (3)求出交點坐標，用兩點間距離公式求解． 【規(guī)范示例☆避免陷阱】 【典例】已知過原點的動直線l與圓相交于不同的兩點A,B. ①求圓的圓心坐標. ②求線段AB的中點M的軌跡C的方程. ③是否存在實數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個交點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由. 【規(guī)范解答】: ①由,得(x-3)2+y2=4, 從而可知圓C1的圓心坐標為(3,0). ②設線段AB的中點M(x,y), 由弦的性質可知C1M⊥AB,即C1M⊥OM. 故點M的軌跡是以OC1為直徑的圓, 該圓的圓心為C,半徑r=|OC1|=3=,其方程為+

12、y2=,即x2+y2-3x=0. 又因為點M為線段AB的中點,所以點M在圓C1內,所以<2. 又x2+y2-3x=0,所以x> 易知x≤3,所以

13、.涉及直線與圓的位置關系時,應多考慮圓的幾何性質,利用幾何法進行運算求解往往會減少運算量. 考向二 橢圓、雙曲線、拋物線 【高考改編☆回顧基礎】 1.【橢圓的方程及其幾何性質】【2017·江蘇卷改編】橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓的半焦距為c且a2＝4c，則橢圓E的標準方程為____________． 【答案】＋＝1　 【解析】因為橢圓E的離心率為，所以e＝＝，又a2＝4c, 所以a＝2，c＝1，于是b＝＝， 因此橢圓E的標準方程是＋＝1. 2．【雙曲線的方程及其幾何性質】【2017·全國卷Ⅲ】雙曲線－＝1(a＞0)的一條漸近線方程為y＝x，則a＝____

14、____. 【答案】 【解析】令－＝0，得雙曲線的漸近線方程為y＝±x，∵雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝x，∴a＝5. 3. 【拋物線方程及其幾何性質】【2017課標1，改編】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為 . 【答案】16 【命題預測☆看準方向】 從近五年的高考試題來看,圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質等是高考考查的重點,也是高考命題的基本元素.考查的角度有:對圓錐曲線的定義的理解及定義的應用,求圓錐曲線

15、的標準方程,求圓錐曲線的離心率以及向量、直線、圓錐曲線的小綜合. 考查的重點是依據(jù)圓錐曲線的幾何性質求離心率;根據(jù)圓錐曲線的定義求標準方程；圓錐曲線與向量的小綜合;兩種圓錐曲線間的小綜合;直線與圓錐曲線的小綜合;圓錐曲線的綜合應用等. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2017課標II，理9】若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】 【趁熱打鐵】【2018屆吉林省實驗中學高三上第五次月考（一模

16、）】F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，過F1的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點．若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設，則， 由余弦定理得 選D. 【例2】【2017課標II，理】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。 (1) 求點P的軌跡方程； (2)設點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。 【答案】(1) 。 (2)證明略。 【解析】 （2）由題意知.設,則 ， 。 由得，又由（1）知，故 . 所

17、以，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F. 【趁熱打鐵】如圖,拋物線.點M(x0,y0)在拋物線C2上,過點M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當時,切線MA的斜率為. (1)求p的值; (2)當點M在C2上運動時,求線段AB的中點N的軌跡方程(當A,B重合于點O時,中點為O). 【答案】(1)p=2.(2)x2=y. 【解析】(1)因為拋物線C1:x2=4y上任意一點(x,y)的切線斜率為y'=,且切線MA的斜率為-,所以A點坐標為,所以切線MA的方程為y=-(x+1)+. 因為點M(1-,y0)在切線MA及

18、拋物線C2上, 于是y0=-(2-)+=-,① y0=-=-.② 由①②得p=2. (2)設N(x,y),A,B,x1≠x2,由N為線段AB中點, 知x=,③ y=.④ 切線MA的方程為y=(x-x1)+,⑤ 切線MB的方程為y=(x-x2)+.⑥ 由⑤⑥得MA,MB的交點M(x0,y0)的坐標為x0=,y0=. 因為點M(x0,y0)在C2上,即=-4y0, 所以x1x2=-.⑦ 由③④⑦得x2=y,x≠0. 當x1=x2時,A,B重合于原點O,AB中點N為O,坐標滿足x2=y. 因此線段AB中點N的軌跡方程為x2=y. 【例3】【2017課標3，理20】已知拋

19、物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C與A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓. （1）證明：坐標原點O在圓M上； （2）設圓M過點，求直線l與圓M的方程. 【答案】(1)證明略； (2)直線 的方程為 ，圓 的方程為 . 或直線 的方程為 ，圓 的方程為 . 【解析】 所以 ，解得 或 . 當 時，直線 的方程為 ，圓心 的坐標為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 . 當 時，直線 的方程為 ，圓心 的坐標為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 . 【趁熱打鐵】【2018屆廣東省仲元中學、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓的上、下、左、右四個頂點分別為x軸正半軸上的

20、某點滿足. (1)求橢圓的方程; (2)設該橢圓的左、右焦點分別為,點在圓上,且在第一象限,過作圓的切線交橢圓于,求證:△的周長是定值． 【答案】(1) (2)見解析 【解析】試題分析： (1) 設點的坐標為可知，可得橢圓方程;(2)法一:設，結合橢圓方程可得，在圓中, 是切點, ，同理可得,則易得結論;法二:設 的方程為，聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關系式,結合弦長公式求出，再求出，則結論易得. 試題解析： (1)設點G的坐標為,可知, . 因此橢圓的方程是. (2)方法1:設,則, =, ∵,∴, 在圓中, 是切點, ∴==, ∴, 同理,∴, 因

21、此△的周長是定值． 方法2:設的方程為, 由,得, 設,則, ∴== = , ∵與圓相切,∴,即, ∴, ∵, ∵,∴, 同理可得, ∴, 因此△的周長是定值． 【方法總結☆全面提升】 1.涉及橢圓(或雙曲線)兩焦點距離的問題或焦點弦問題以及到拋物線焦點(或準線)距離的問題,可優(yōu)先考慮圓錐曲線的定義.求圓錐曲線標準方程時“先定型,后計算”,即首先確定是何種曲線,焦點在哪個坐標軸上,然后利用條件求a,b,p的值. 2.求橢圓、雙曲線的離心率問題,關鍵是首先根據(jù)已知條件確定a,b,c的關系,然后將b用a,c代換,求e= 的值;另外要注意雙曲線的漸近線與離心率的

22、關系.圓錐曲線的性質常與等差數(shù)列、等比數(shù)列、三角函數(shù)、不等式等問題聯(lián)系在一起,一般先利用條件轉化為單一知識點的問題再求解. 3.求曲線的軌跡方程時,先看軌跡的形狀是否預知,若能依據(jù)條件確定其形狀,可用定義法或待定系數(shù)法求解;若動點P與另一動點Q有關,點Q在已知曲線上運動,可用代入法求動點P的軌跡方程;否則用直接法求解. 4.涉及圓錐曲線的焦點弦、焦點三角形問題,常結合定義、正弦定理、余弦定理等知識解決. 5.涉及垂直問題可結合向量的數(shù)量積解決. 6.解決直線與圓錐曲線位置關系問題，主要有方程組法，和“點差法”．對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關系”或“點差法”求解，在使用根與系數(shù)的關系時

23、，要注意使用條件Δ≥0，在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交． 【規(guī)范示例☆避免陷阱】 【典例】【2016·乙卷】設圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E. (Ⅰ)證明|EA|＋|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程； (Ⅱ)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點， 過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求 四邊形MPNQ面積的取值范圍． 【規(guī)范解答】(Ⅰ)圓A整理為(x＋1)2＋y2＝16，圓心A(－1,0)，1分 如圖， 因為BE∥AC，則∠ACB＝∠EBD，

24、由|AC|＝|AD|， 則∠ADC＝∠ACD，所以∠EBD＝∠EDB， 則|EB|＝|ED|，1分 所以|EA|＋|EB|＝|AE|＋|ED|＝|AD|＝4. 所以E的軌跡為一個橢圓，1分 a＝2，c＝1，方程為＋＝1(y≠0).1分 (Ⅱ)C1：＋＝1；設l：x＝my＋1， 因為PQ⊥l，設PQ：y＝－m(x－1)，聯(lián)立l與橢圓C1， 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0； 則|MN|＝|yM－yN| ＝＝；2分 圓心A到PQ距離d＝＝， 所以|PQ|＝2＝2 ＝，2分, 所以SMPNQ＝|MN|·|PQ|＝·· ＝ 2分 ＝24∈[12,8).

25、2分 【反思提升】處理有關圓錐曲線與圓相結合的問題,要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用,如直徑對的圓心角為直角,構成了垂直關系;弦心距、半徑、弦長的一半構成直角三角形.利用圓的一些特殊幾何性質解題,往往使問題簡化.. 【誤區(qū)警示】第(Ⅰ)問得分點及說明 得分點 1．寫出圓心坐標得1分． 2．得出EB＝ED，得1分． 3．根據(jù)橢圓定義判斷點E的軌跡是橢圓，得1分． 4．得出橢圓方程，得1分． 踩點說明 1．只要得出橢圓方程正確，得4分，忽略y≠0扣1分． 2．只要正確判斷出點E的軌跡是橢圓，得3分． 3．若只有橢圓方程，而沒有解答過程，得2分． 第(Ⅱ)問得分點及說

26、明 5．根據(jù)弦長公式整理得出弦長|MN|得2分 6．得出弦長|PQ|得2分． 7.列出面積表達式，得2分． 8．求出面積的范圍，得2分． 踩點說明 1．結果正確，有過程得滿分． 2．兩個弦長|MN|，|PQ|只要結果正確，每個得2分． 3．直線方程和橢圓方程聯(lián)立，給1分． 4．寫對弦長公式，給1分． 5．寫出點到直線距離公式正確，給1分． 考向三 圓錐曲線的熱點問題 【高考改編☆回顧基礎】 1．【直線、圓、橢圓的位置關系及過定點問題】【2017·全國卷Ⅱ改編】設O為坐標原點，動點M在橢圓C：＋y2＝1上，P在圓x2＋y2＝2上，設點Q在直線x＝－3上，且·＝1，則過

27、點P且垂直于OQ的直線l ________(填“經(jīng)過”或“不經(jīng)過”)C的左焦點F. 【答案】經(jīng)過 2. 【直線與橢圓的位置關系及定值問題】【2016·山東卷改編】如圖13-1，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，過動點M(0，m)(00，y0>0)． 由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m)， 所以直線PM的斜率

28、k＝＝， 直線QM的斜率k′＝＝－. 此時＝－3，所以為定值－3. 3.【直線與拋物線的位置關系及范圍問題】【2017·浙江卷改編】已知拋物線x2＝y(tǒng)，點A，拋物線上的點P(x，y)，則直線AP斜率的取值范圍為________________ . 【答案】 (－1，1) 【解析】設直線AP的斜率為k，則k＝＝x－.因為－

29、問題等是高考的熱點,常用到一元二次方程根與系數(shù)的關系.預測2018年應側重直線與圓錐曲線的位置關系、定點問題、 定值問題、最值問題、范圍問題、探索性問題等. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2017浙江，21】（本題滿分15分）如圖，已知拋物線，點A，，拋物線上的點．過點B作直線AP的垂線，垂足為Q． （Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 試題解析： （Ⅰ）設直線AP的斜率為k，則，∵，∴直線AP斜率的取值范圍是． （Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程 解得點Q的橫坐標是，因為|PA|== |PQ|= ，所以|PA||

30、PQ|= 令，因為，所以 f(k)在區(qū)間上單調遞增，上單調遞減，因此當k=時，取得最大值． 【趁熱打鐵】【2018屆河南省鄭州市高三第一次質量檢測（模擬）】已知橢圓的左、右焦點分別為，以為直徑的圓與直線相切. （1）求橢圓的離心率； （2）如圖，過作直線與橢圓分別交于兩點，若的周長為，求的最大值. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】試題分析： （1）有直線和圓相切得到關于的關系式，整理可得，從而可得．（2）根據(jù)三角形的周長可得，故，可得橢圓的方程．分直線斜率存在和不存在兩種情況分別求得的值，可得最大值是． 試題解析： （1）由題意， 即 ∴， ． （2）因為三

31、角形的周長為， 所以 ∴， ∴橢圓方程為，且焦點， ①若直線斜率不存在，則可得軸，方程為 解方程組可得或． ∴， ∴， 故. ②若直線斜率存在，設直線的方程為， 由消去整理得 ， 設， 則 ∴ ∵， ∴可得， 綜上可得． 所以最大值是. 【例2】【2018屆廣西柳州市高三上摸底】已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為5. （1）求該拋物線的方程； （2）已知拋物線上一點，過點作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點？并說明理由. 【答案】（1）.（2） 【解析】試題分析：(1)求出拋物線的焦點坐

32、標,結合題意列關于p的等式求p,則拋物線方程可求; (2)由(1)求出M的坐標,設出直線DE的方程 ,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化為關于y的一元二次方程后D,E兩點縱坐標的和與積,利用 得到t與m的關系,進一步得到DE方程,由直線系方程可得直線DE所過定點. （2）由（1）可得點，可得直線的斜率不為0， 設直線的方程為： ， 聯(lián)立，得， 則①. 設，則. ∵ 即，得： ， ∴，即或， 代人①式檢驗均滿足， ∴直線的方程為： 或. ∴直線過定點（定點不滿足題意，故舍去）. 【趁熱打鐵】【2018屆云南省昆明一中高三第一次摸底】已知動點滿足： .

33、 （1）求動點的軌跡的方程； （2）設過點的直線與曲線交于兩點，點關于軸的對稱點為（點與點不重合），證明：直線恒過定點，并求該定點的坐標. 【答案】（1）；（2）直線過定點 ，證明見解析. 試題解析：（1）由已知，動點到點， 的距離之和為， 且，所以動點的軌跡為橢圓，而， ，所以， 所以，動點的軌跡的方程： . （2）設， ，則，由已知得直線的斜率存在，設斜率為，則直線的方程為： 由　得， 所以， ， 直線的方程為： ，所以， 令，則， 所以直線與軸交于定點.　　　　　　

34、　　　 【例3】【2018屆廣東省仲元中學、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓的上、下、左、右四個頂點分別為x軸正半軸上的某點滿足. (1)求橢圓的方程; (2)設該橢圓的左、右焦點分別為,點在圓上,且在第一象限,過作圓的切線交橢圓于,求證:△的周長是定值． 【答案】(1) (2)見解析 【解析】試題分析： (1) 設點的坐標為可知，可得橢圓方程;(2)法一:設，結合橢圓方程可得，在圓中, 是切點, ，同理可得,則易得結論;法二:設 的方程為，聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關系式,結合弦長公式求出，再求出，則結論易得. 試題解析： (1)設點G的坐標為,可知, .

35、 因此橢圓的方程是. (2)方法1:設,則, =, ∵,∴, 在圓中, 是切點, ∴==, ∴, 同理,∴, 因此△的周長是定值． 方法2:設的方程為, 由,得, 設,則, ∴== = , ∵與圓相切,∴,即, ∴, ∵, ∵,∴, 同理可得, ∴, 因此△的周長是定值． 【趁熱打鐵】【2018屆福建省泉州市高三1月檢查】已知橢圓的離心率為，上頂點為. 點在上，點， 的最大面積等于. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若直線與交于另一點，直線分別與軸交于點，試判斷是否為定值. 【答案】（1）（2） 【解析】試題分析： 運用題設條件建立方程求解； 直

36、線的方程為，聯(lián)立方程組，解，求得直線， 的方程，解得， 的坐標，計算出結果。 解析：（Ⅰ）由題意，可得的最大面積為，即.……① 又……②　 ……③　 聯(lián)立①②③，解得， ， 故的方程.　 （Ⅱ）設直線的方程為， ， .　 聯(lián)立方程組消去，得， 整理，得， 由韋達定理，得， 又直線的方程為，所以， 直線的方程為，所以， 所以　 ， 即為定值.　 【例4】已知橢圓C的焦點坐標是F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過點F2垂直于長軸的直線l交橢圓C于B，D兩點，且|BD|＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)是否存在過點P(2,1)的直線l1與橢圓C相交于

37、不同的兩點M，N，且滿足·＝？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由． 【答案】(1)＋＝1.(2)存在直線l1滿足條件，其方程為y＝x. 【解析】　(1)設橢圓的方程是＋＝1(a>b>0)，由題可知c＝1， 因為|BD|＝3，所以＝3， 又a2－b2＝1，所以a＝2，b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. 所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝， 即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝， 所以(1＋k2)＝＝， 解得k＝±.因為k>－，所以k＝， 故存在直線l1滿足條件，其方程為y＝x. 【趁熱打鐵】如圖，圓： ． （1）若圓與軸相切，求圓的

38、方程； （2）求圓心的軌跡方程； （3）已知，圓與軸相交于兩點（點在點的左側）．過點任作一條直線與圓： 相交于兩點．問：是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出實數(shù)的值，若不存在，請說明理由． 【答案】（1）；（2）（3）存在，使得 （2）求圓心點坐標為，則 圓心點的軌跡方程為 （3）令，得，即所以 假設存在實數(shù)，當直線AB與軸不垂直時，設直線AB的方程為， 代入得， ，設從而 因為 而 因為，所以，即，得． 當直線AB與軸垂直時，也成立．故存在，使得 【方法總結☆全面提升】 1.圓錐曲線中求最值或范圍問題的方法 若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可先建立

39、目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．常從以下幾個方面考慮： ①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍； ②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關系； ③利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； ④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； ⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 2.定點問題的求法 解題的關鍵在于尋找題中用來聯(lián)系已知量和未知量的垂直關系、中點關系、方程、不等式，然后將已知量和未知量代入上述關系，通過整理、變形轉化為過定點的直線系、曲線系來解決． 3. 定值問題的求法 解這類問題常通過取參數(shù)和特殊值先

40、確定“定值”是多少，再進行證明，或者將問題轉化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關的常數(shù)． 特別提醒：解決定值問題一定要分清哪些量為變量，哪些量為常量． 4. 求解存在性問題時，通常的方法是首先假設滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現(xiàn)矛看，并且得到了相應的幾何元素或參數(shù)值，就說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在；若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程． 【規(guī)范示例☆避免陷阱】 【典例】【2017·全國卷Ⅰ】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，四點P1(1,1)，P2(

41、0,1)，P3（－1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上． (1)求C的方程． (2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：l過定點． 【規(guī)范解答】 (1)由于P3，P4兩點關于y軸對稱，故由題設知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點． 又由＋＞＋知，C不經(jīng)過點P1， 所以點P2在C上.1分 因此解得 故C的方程為＋y2＝1.4分 (2)設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2. 如果l與x軸垂直，設l：x＝t，由題設知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐標分別為（t，），（t，－）. 則k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不

42、符合題設． 2分 從而可設l：y＝kx＋m(m≠1)．將y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由題設可知Δ＝16(4k2－m2＋1)＞0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝.2分 而k1＋k2＝＋＝＋ ＝. 由題設k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. 即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.解得k＝－.3分 當且僅當m＞－1時，Δ＞0， 于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)， 所以l過定點(2，－1).1分 【反思提升】1.求解定點和定值問題的基本思想

43、是一致的,定值是證明求解的一個量與參數(shù)無關,定點問題是求解的一個點(或幾個點)的坐標,使得方程的成立與參數(shù)值無關.解這類試題時要會合理選擇參數(shù)(參數(shù)可能是直線的斜率、截距,也可能是動點的坐標等),使用參數(shù)表達其中變化的量,再使用這些變化的量表達需要求解的解題目標.當使用直線的斜率和截距表達直線方程時,在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關系,把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題解決. 2.證明直線過定點的基本思想是使用一個參數(shù)表示直線方程,根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無關得出x,y的方程組,以方程組的解為坐標的點就是直線所過的定點. 【誤區(qū)警示】1．正確使用圓錐曲線的定義：牢記圓錐曲線的定義及性質，用解方程的方法求出a2、b2，如本題第(1)問就涉及橢圓的性質來判斷點在不在橢圓上． 2．注意分類討論：當用點斜式表示直線方程時，應分直線的斜率存在和不存在兩種情況求解，易出現(xiàn)忽略斜率不存在的情況，導致扣分，如本題第(2)問中首先要求出斜率不存在時的情況． 3．寫全得分關鍵：在解析幾何類解答題中，直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后得到的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程得到的兩根之和與兩根之積，弦長，目標函數(shù)，……等一些關鍵式子和結果都是得分點，在解答時一定要寫清楚． 34