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1、一、映射一、映射 如果按照某種對應法則如果按照某種對應法則 f, 對于集合對于集合 A 中的任何一個元素中的任何一個元素, 在在集合集合 B 中都有唯一的元素和它對應中都有唯一的元素和它對應, 那么這種對應叫做那么這種對應叫做集合集合A 到集合到集合 B 的映射的映射, 記作記作 f: AB. 二、一一映射二、一一映射 如果如果 f: AB 是集合是集合 A 到集合到集合 B 的映射的映射, 對于集合對于集合 A 中的不中的不同元素同元素, 在集合在集合 B 中有不同的象中有不同的象, 且且 B 中的每一個元素都有原中的每一個元素都有原象象, 那么這種映射叫做那么這種映射叫做一一映射一一映射.
2、 若若 aA, bB, 且且 a 和和 b 對應對應, 則稱則稱 b 是是 a 的的象象, a 是是 b 的的原象原象. 三、函數(shù)三、函數(shù) 設設 A, B 是兩個非空數(shù)集是兩個非空數(shù)集, 如果按照某種對應法則如果按照某種對應法則 f, 對于集合對于集合 A 中的任何一個數(shù)中的任何一個數(shù) x, 在集合在集合 B 中都有唯一確定的數(shù)和它對應中都有唯一確定的數(shù)和它對應, 那么稱那么稱 f: AB 為為集合集合 A 到到 B 的一個函數(shù)的一個函數(shù). 變量變量 x 叫做自變量叫做自變量, x 取值的集合取值的集合 A 叫做函數(shù)的叫做函數(shù)的定義域定義域; 與與 x 的值對應的的值對應的 y 的值叫做的值叫
3、做函數(shù)值函數(shù)值, 函數(shù)值的集合叫做函數(shù)函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的的值域值域. 解決一切函數(shù)問題必須認真確定該函數(shù)的定義域解決一切函數(shù)問題必須認真確定該函數(shù)的定義域, 函數(shù)的定義域包含三種形式函數(shù)的定義域包含三種形式: 表示函數(shù)的對應法則有表示函數(shù)的對應法則有解析法解析法、列表法列表法與與圖象圖象法法, 其中解析法是最基本、最重要的方法其中解析法是最基本、最重要的方法, 中學數(shù)學學習的函中學數(shù)學學習的函數(shù)基本上都能用解析法表示數(shù)基本上都能用解析法表示.四、函數(shù)的三要素四、函數(shù)的三要素1.對應法則對應法則 若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間, 而每個子區(qū)間的而每個
4、子區(qū)間的解析式不同解析式不同, 這種函數(shù)叫做這種函數(shù)叫做分段函數(shù)分段函數(shù). 若一個函數(shù)的自變量又是另一個變量的函數(shù)若一個函數(shù)的自變量又是另一個變量的函數(shù): y=f(u), u=g(x), 即即 y=fg(x), 這種函數(shù)叫做這種函數(shù)叫做復合函數(shù)復合函數(shù). 對應法則、定義域、值域是函數(shù)的三要素對應法則、定義域、值域是函數(shù)的三要素, 其中起決定作用其中起決定作用的是對應法則和定義域的是對應法則和定義域.2.定義域定義域 自然型自然型: 指使函數(shù)的解析式有意義的自變量指使函數(shù)的解析式有意義的自變量 x 取值的集合取值的集合( (如如: 分式函數(shù)的分母不為零分式函數(shù)的分母不為零, 偶次根式函數(shù)的被開方
5、數(shù)為非負偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)數(shù), 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù), 等等等等) ); 限制型限制型: 指命題的條件或人為對自變量指命題的條件或人為對自變量 x 的限制的限制, 這是函這是函數(shù)學習中的重點數(shù)學習中的重點, 往往也是難點往往也是難點, 有時這種限制比較隱蔽有時這種限制比較隱蔽, 容容易出錯易出錯; 實際型實際型: 解決函數(shù)的綜合問題與應用問題時解決函數(shù)的綜合問題與應用問題時, 應認真考察應認真考察自變量自變量 x 的實際意義的實際意義.3.值域值域配方法配方法( (將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)) );判別式法判別式法( (將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程將函數(shù)轉(zhuǎn)
6、化為二次方程) ); 不等式法不等式法( (運用不等式的各種性質(zhì)運用不等式的各種性質(zhì)) );中學數(shù)學要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域中學數(shù)學要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域: 注注: 運用初等方法求函數(shù)的值域經(jīng)常要對函數(shù)的解析式進行運用初等方法求函數(shù)的值域經(jīng)常要對函數(shù)的解析式進行變換變換, 但必須保證變換的等價性但必須保證變換的等價性. 否則可能引起所求值域的擴否則可能引起所求值域的擴大或縮小大或縮小. 另外另外, 求函數(shù)的值域必須認真考察函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域必須認真考察函數(shù)的定義域, 如如果定義域是閉區(qū)間果定義域是閉區(qū)間, 則先求得函數(shù)的最大值則先求得函數(shù)的最大值, 最小值最小值
7、, 得函數(shù)的得函數(shù)的值域值域. 函數(shù)法函數(shù)法( (運用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)運用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì), 或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等數(shù)圖象等) ).1.求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域: 典型例題典型例題 2.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x) 的定義域為的定義域為 - - , , 求函數(shù)求函數(shù) y=f(x2- -x- - ) 的的定義域定義域. 121212 3.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x) 的定義域是的定義域是 a, b, 且且 a+b0, 求下列函數(shù)的定求下列函數(shù)的定義域義域: (1) f(x2); (2)g(x)=f(x)- -f(- -x); (3)h(x)=f(x+m)+f(x
8、- -m) (m0). 4.當當 k 為何值時為何值時, 函數(shù)函數(shù) y=lg(kx2+4kx+3) 的定義域為的定義域為 R? 又當又當 k 為何值時為何值時, 值域為值域為 R?( , 1)(1, )( , 2321232-5, - - )(- - , )( , 5 2 3 23 22 值域為值域為 R 時時, 定義域又如何定義域又如何? (1) y= +(3- -2x)0 ; 2x- -x2lg(2x- -1)(2) y= 25- -x2 +lgcosx. , 0 1, 1- - 521+ 5 23. (1): 3. (2): a, - -a( (a0 時原式不定義函數(shù)時原式不定義函數(shù))
9、) 3. (3): a+m, b - -m( (m時時, 原式不定義函數(shù)原式不定義函數(shù)) ) b- -a2 4.當當 k 為何值時為何值時, 函數(shù)函數(shù) y=lg(kx2+4kx+3) 的定義域為的定義域為 R? 又當又當 k 為何值時為何值時, 值域為值域為 R?0k0, 求下列函數(shù)的定求下列函數(shù)的定義域義域: (1) f(x2); (2)g(x)=f(x)- -f(- -x); (3)h(x)=f(x+m)+f(x- -m) (m0).- - b , b (a0 時時) ); - - b , - - a a , b (a0 時時) ). 5.求函數(shù)求函數(shù) y=loga(ax- -k2x) (
10、a0 且且 a1) 的定義域的定義域.解解: 要使函數(shù)有意義要使函數(shù)有意義, 必須必須 ax- -k2x0, 得得: ( ) k(a0 且且 a1). a2x(1) 若若 k0, ( ) 0, xR; a2x 當當 a=2 時時, 若若 k1, 則則 xR; 若若 k1, 則則 x 不存在不存在. 綜上所述綜上所述: 當當 k0 或或 時時, 定義域為定義域為R; 0k0 0a0 a2 a2(2) 若若 k0, 當當 a2 時時, xlog k; a2 當當 0a2 且且 a1時時, x0 且且 , 1), 請把請把 y 表示成表示成 x 的函數(shù)并求的函數(shù)并求其定義域和值域其定義域和值域.解解: 原方程即為原方程即為: lg2z- -2lgz+3x=0 (x0).由已知可得由已知可得: =4- -12x0, x 且且 x0. 13lg +lg =2, lg lg =3x, y=log +log = + lg lg lg lg (lg +lg )2- -2lg lg lg lg = . 3x 4- -6x 即即 y= - -2, 3x4其定義域為其定義域為(-(-, 0)()(0, ; 13其值域為其值域為(-(-, - -2)2, +) ).
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