2022年高考數(shù)學一輪復(fù)習專題 專題42 圓錐曲線知識點與典型例題

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1、專題42圓錐曲線知識點與典型例題(解版) 第一、知識儲備： 1.直線方程的形式 (1)直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、微距式、一般式。 (2)與直線相關(guān)的重要內(nèi)容 ①傾斜角與斜率Z = tana,i ￡[0,]) k =——— x2 -x1 ②點 P(Xo，%)到直線 Ax + ￡y + C = O 的距離 d= +￡ Va2 + B2 … /. :y = k.x+b. \k.-kA ③夾角公式：直線? ' 夾角為a, 則tana = |———L l2'.y = k、x+b2 11 + k2k[ | (3)弦長公式 直線y = Ax+6上兩點4與，,),

2、8(工2，月)間的距離 ①|(zhì)+(y2-yl)2 ②|= Jl + 公 \xt-x^ = ^(l + k2)^ +x2)2-4x1x2] ③ |AB| =，1 + 5|弘一、2| (4)兩條直線的位置關(guān)系 /. : y = k,x + h, (1) 1 1 1 /2: y = k2x-^b2 ①11tl2 =及卜2=?1 ②4 〃，2 =占=無2且"l W "2 (H)4：Ax+&y+G=。 I、: A^x + B->y 4- C*2 = 0 ① Z1 _L 11 A Af + = 0 ABC ② /,///-, <=> ^^一人月二0 且w 0 或--=―-w --者(

3、A,B,C)w 0) 4 B] C2 -IC-CJ 距離d =匕2=^^ 兩平行線距離公式 1] : y = kx-^h] l2: y = kx + b2 …14al 距離d = -? J1 + —2 4 : Ar + By + G = 0 /2: Av+ By + C2 =0 二、橢圓、雙曲線、拋物線: 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 1 .到兩定點件,七的距離之 和為定值2a(2a>|FFz|)的 點的軌跡 2 .與定點和直線的距離之 比為定值e的點的軌跡. (0

4、Fzl) 的點的軌跡 2 .與定點和直線的距離之比為 定值e的點的軌跡.(e>l) 與定點和直線的距離相等的 點的軌跡. 軌跡條件 點集:({Ml | MFi+ 1 MF2 1 =2a, I F iF2 1 <2a}. 點集：{M 1 1 MF, 1 - 1 MF2 1 . = ±2a, I FzFz 1 >2a}. 點集｛Ml 到直 線1的距離｝. 圖形 * M 一 qrb 一 31 L ￡ * 1 了一, a, 一 一 方 程 標準 方程 2 2 —-+ 二^ = 1 (a > b >0)

5、a2 b2 v2 V2 —— — 1 (a>0, b>0) a2 h2 y2 = 2px 參數(shù) 方程 [x = acosff [y = Osin。 (參數(shù)以離心角) fx = asecO = Otan。 (參數(shù)處/離心角) lx = ipt' (t 為參數(shù)) [y = 2pt 范圍 -a a, yeR x>0 中心 原點0 (0, 0) 原點0 (0, 0) 頂點 (a,0), (—a,0), (0,b) , (0,—b) (a,0), (—a,0) (0,0) 對稱軸 x軸，y軸； 長軸長2a,短軸長

6、2b x軸，y軸； 實軸長2a,虛軸長2b. X軸 焦點 Fi(c,O), F2(—c,0) Fi(c,O), Fz(—c,0) F(f，O) 2 準線 a2 x=± — c 準線垂直于長軸，且在橢圓 外. a2 x=± — c 準線垂直于實軸，且在兩頂點的 內(nèi)側(cè). _ p x- 2 準線與焦點位于頂點兩側(cè)， 且到頂點的距離相等. 焦距 2c (c=yla2 -h~ ) 2c Cc=\la2 +b2 ) 離心率 e = ￡(O 1) a e=l 焦半徑 P(x。，y。)為圓錐曲線上一點，F(xiàn)? Fz分別為左、右

7、焦點 PFi |=a+exo 1 PF2| =a-exo P在右支時： P在左支時： | PFi =a+exo PFi | 二-a-exo 1 PF21 =-a+ex0 IPF21 =a-ex0 |PF|=xo+E 2 【備注1]雙曲線: ⑶等軸雙曲線：雙曲線/-丫2=±/稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為丫 =出，離心率e =后. ⑷共朝雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共朝雙曲線.W-4 = /l與 a2 b2 互為共朝雙曲線，它們具有共同的漸近線：4-4=0- a2 b2 a2 b2 2 2 2 2 ⑸共漸近線的雙曲線系方程

8、：的漸近線方程為二-二=。如果雙曲線的漸近線為±±2 = 0時, a2 b2 a2 b2 a b 它的雙曲線方程可設(shè)為 a" b~ 【備注2】拋物線: (1)拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標是(§,°)，準線方程X=/，開口向右；拋物線y2=-2px(p〉0)的焦點坐 標是(-3,0),準線方程*=￡,開口向左；拋物線x2=2py(p>0)的焦點坐標是(0, K),準線方程丫=-￡ ,開 2 2 2 2 口向上； 拋物線/=-2py (p>0)的焦點坐標是(0,--),準線方程丫="，開口向下. 2 2 (2)拋物線 y2 =2px(p>0)上的點 M(x0, y0)與

9、焦點 F 的距離 |A/F| = x0 4--^ ；拋物線 y2 =-2px(p>0)上的點 M(xO, yO) 與焦點F的距離 (3)設(shè)拋物線的標準方程為y2=2px(p>0),則拋物線的焦點到其頂點的距離為K,頂點到準線的距離K,焦點 2 2 到準線的距離為p. (4)已知過拋物線y2 =2px(p〉0)焦點的直線交拋物線于A,B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設(shè)A(xl.yl) ,B(x2,y2), 則弦長|A耳=X|+尤2+p或|Aq =」^*(a為直線ab的傾斜角)，y}y2=-p2 -尤氏=?，|af| = x+](|af| 叫做焦半徑). 橢圓典型例題 一、已知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。 例1：已知橢圓的焦點是Q(O, —1)、B(0,D，P是橢圓上一點，并且尸B + PF2=2QB，求橢圓的標準方程。 解：由 FQ + PB=2FiF2=2X2=4,得 2。=4.又 c=1,所以從=3. 所以橢圓的標準方程是'+1=1. 2.已知橢圓的兩個焦點為凡(一 1,0),卬,0)，且2a=10,求橢圓的標準方程. 2 2 解：由橢圓定義知c=L .?"=/=!=弧. ???橢圓的標準方程端+就=1. 二、未知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。