北師大版七年級下冊 數(shù)學(xué)《平行間的折線與拐角

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1、 《平行線間折線拐角題》說 題 稿 原題再現(xiàn)： 如圖，AB∥DE，測得∠B=60°.∠D＝40 o，求∠BCD的度數(shù) A B C D E 一、 說背景： 1、說知識 本題選自初一下冊第二單元測驗卷第19題。意在考查學(xué)生對平行線的性質(zhì)、平行線的判定等知識的綜合運用，及學(xué)生讀圖、分析的能力。 二、 說價值： 1、 說知識 在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線稱為平行線，平行線是初中平面幾何最基本的，也是非常重要的圖形，在解某些平面幾何問題時，若能根據(jù)解題需要，巧加恰當(dāng)?shù)钠叫芯€，則能使證明流暢，簡潔。同時此題有多解，以創(chuàng)新方式來解決問題，可培

2、養(yǎng)學(xué)生思維的開闊性、發(fā)散性和靈活性。 2、 說本題滲透數(shù)學(xué)思想方法 本題蘊含解幾何的基本解題思想：建立分散的角與角之間的聯(lián)系，平行線是最好的橋梁之一。在有關(guān)圖形的計算和推理中，常見一類“折線”，“拐角”型問題，要解決這類問題，必然掌握與“剖分”思想及分類與轉(zhuǎn)化的思想，經(jīng)過拐點，運用平行線將一個角剖分成兩個角，從而化“未知”為“可知”，這樣的解題思想也為今后解決為一類型的題目，如何寫好幾何證明題提供了思想方法。 三、說題目： （一）、說題目的主要特點 本題由圖形可以看出，兩條平行線AB，ED之間出現(xiàn)了一個折角∠BCD，這個折點就是解決問題的關(guān)鍵所在，是這類型題目的主要特征。受這點啟

3、發(fā)，必然會想到在這里做文章。 （二）說題目的已知條件 本題的已知條件是：AB∥DE，測得∠B=60°.∠D＝40 o。 （三）、要求證的結(jié)論是什么 求∠BCD的度數(shù)。 四、 說解法： 主要教會學(xué)生如何觀察圖形，分析幾何題的具體思路。 （一） 首先從條件入手，條件能推出什么？ 我習(xí)慣于讓學(xué)生先說有多少個條件，每個條件能夠推出什么？條件中AB∥DE，由平行的性質(zhì)，我們可以聯(lián)想到同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補等，但圖中并不存在由它們的同位角、內(nèi)錯角及同旁內(nèi)角。那些，作為題目最為關(guān)鍵的一個條件，卻不能直接得到什么出來，是不是說明這個條件沒有用呢？顯然不是的。而同時，思考題目給出的

4、∠B=60°，∠D＝40 o又將如何利用呢？與問題∠BCD這三個者沒有直接聯(lián)系。此時遇到的一個關(guān)卡，恰可以從題目的特點出發(fā)，利用平行，從折角處找到突破口作平行線，將問題∠BCD與條件∠B、∠D關(guān)聯(lián)起來，把“未知”轉(zhuǎn)化為“可知”。 M N A B C D E （二） 聯(lián)系條件和結(jié)論的橋梁是什么？ 由上題對條件的分析，接著讓學(xué)生思考如何將問題求∠BCD 與條件①AB∥DE，②∠B=60°③∠D＝40 o關(guān)聯(lián)起來呢？ 學(xué)生自然會想到，利用平行，從折角處找到突破口， 在折角頂點C處過點C作直線MN//AB（如圖所示）,即可將問題的 ∠

5、BCD拆分成兩個角，分別是∠BCN與∠DCN，也就是說要求 ∠BCD，先求∠BCN與∠DCN。 （三） 解決此類型問題的一般方法是什么？ 那么如何求∠BCN與∠DCN呢？這兩個角與條件AB∥DE及添加的輔助線MN//AB又有什么聯(lián)系呢？學(xué)生自然會想到求角的一般方法是利用平行線的性質(zhì)得到相應(yīng)的內(nèi)錯角相等，即由MN//AB得∠BCN＝∠B，再由平行線的判定方法“平行于同一條現(xiàn)行的兩條直線平行”，即由MN//AB，AB∥DE得到MN//ED，從而∠DCN＝∠D，這樣就充分地完全的利用了所有的條件，從而問題∠BCD＝∠DCN+∠BCN也得到了完美的解決。 （四） 能否用自己語言來描述問題的本質(zhì)

6、？ 得到以上的分析后，再交由學(xué)生親自將思路寫下來，在不斷的修正中學(xué)習(xí)如何分析問題，如何寫好證明。 （五） 分析學(xué)生的易錯點 （1） 學(xué)生在表述添加輔助線時會直接說MN//AB，MN//CD，于是很快得到∠BCN＝∠B，∠DCN＝∠D。這里就沒有把條件全部用上，忽略了題目條件AB//CD的作用，必須提醒學(xué)生過直線然一點只能作一條直線與已知直線平行，而這條直線是否還和另外一條直線平行呢？不知道，需要證明。即過直線外一點作一條直線同時與兩條直線平行這是無法實現(xiàn)的。 （2） 學(xué)生會以為∠D與∠B是同旁內(nèi)角或內(nèi)錯角，此時及時復(fù)習(xí)三線八角的八角都應(yīng)該有“公共邊”，即可排除此錯誤。 （六） 有

7、沒有更好的解法？ 除了以上的解法外，還有以下幾種解法： 解法一：延長BE到F，BF與CD相交于點F，構(gòu)造△EFD,利用三角形內(nèi)角和180°. 證明略 解法二：延長BE到F，BF與CD相交于點F。構(gòu)造△EBF,利用三角形內(nèi)角和180°。 證明略 解法三：連接BD，構(gòu)造△BED,利用三角形內(nèi)角和180°。 證明略 所以輔助線的作法有時有多種，或作同一條線，有不同的幾何描述，不同作法和同一條線的不同幾何描述影響證題的基本思路和書寫格式，這點我們要認(rèn)真領(lǐng)會，掌握其證法本質(zhì). 五、 說推廣 （一） 同類拓展變題 增加拐點的數(shù)

8、量 1、 如圖,若AB∥CD,則∠B，∠E ,∠F, ∠G,∠D的關(guān)系又如何?請說明理由. B A E F G D D （二）同類逆向變題 1、如圖，若∠B+∠D＝∠E，則AB//CD嗎？試作說明 A B C D E （三）異型發(fā)散變題 改變拐點位置 1、如圖所未 AB//CD，∠B，∠D，∠E之間有何關(guān)系？ E E E E C D A B E 圖1 A C D B

9、 分析:本題是一道探究性問題,問題中的三個角與已知條件沒有直接聯(lián)系,根據(jù)以上的經(jīng)驗，可通過作輔助線,構(gòu)造平行線,使它們之間建立聯(lián)系,使問題得到解決. 如圖1,可過E作ME∥AB,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,得∠B +∠BED=,又因為AB∥CD, ME∥CD,根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行，所以CD∥ME∥AB,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,得∠D +∠CDE=,故∠B+∠D+∠BED=. 2、除了以上圖形變化外，還可以將圖形進(jìn)行怎樣的變化？你能否提出新的問題？ A B O1 O2 O3 D C 如圖，已知AB//CD,探究∠B、∠O1、∠O2、∠

10、O3、∠D之間的關(guān)系 A B O1 O2 O3 D C （四）方法應(yīng)用反饋 1、如圖1, ∠CAB=,AC⊥CD, ∠CDE=，求證:AB∥ED. 分析:AB與ED是沒有直接關(guān)聯(lián)的角,故需作輔助線進(jìn)行過渡,作CF平行于AB,再說明CF∥DE,,然后得到AB∥ED. D E F C B A 130 40 圖1 D E F C B A 130 40 圖1 3、某自然保護(hù)區(qū)給一些小動物搭建了小木屋，其側(cè)面如圖所示，小亮見了也想回家給自己的小狗做一個同樣的小木屋，他用量角器測出∠A=123°, ∠C=135°，由于小亮個子太矮，屋頂?shù)摹螧測不到，哥哥看到后說，不用測量，我也能算出∠B，你知道哥哥是怎樣算出∠B的嗎？說出你的方案 六、 總結(jié) 本題通過一道平行線中的“折線”“拐角”問題，以及通過“順勢”的變式提出了多種拐點模型，讓學(xué)生掌握基本方法即過“折點”作輔助錢構(gòu)造平行線來順利解決問題。以平行線的性質(zhì)與判定為知識線，以提出解題的方法為方法線，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)“剖分”與“轉(zhuǎn)化”的思想線。 教學(xué)課要注重知識教學(xué)與思維教學(xué)的統(tǒng)一，要重視課堂的效率，又要注意對學(xué)生思維的培養(yǎng)，力求使學(xué)生主動學(xué)習(xí)，對學(xué)生罹難的邏輯性與知識性的統(tǒng)一，讓學(xué)生學(xué)會舉一反三。