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1、
2012-2021十年全國高考數(shù)學真題分類匯編 數(shù)列大題 （精解精析）
1．(2021年高考全國乙卷理科)記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)求的通項公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
解析：（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于為數(shù)列的前n項積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;
（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
,
,
當n=1時，,
當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴．
【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考
2、查數(shù)列的前n項和與項的關系，數(shù)列的前n項積與項的關系，其中由,得到，進而得到是關鍵一步；要熟練掌握前n項和，積與數(shù)列的項的關系，消和（積）得到項（或項的遞推關系），或者消項得到和（積）的遞推關系是常用的重要的思想方法．
2．(2021年高考全國甲卷理科)已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．
【答案】答案見解析
解析：選①②作條件證明③：
設，則，
當時，；
當時，；
因為也是等差數(shù)列，所以，解得；
所以，所以．
選①③作條件證
3、明②：
因為，是等差數(shù)列，
所以公差，
所以，即，
因為，
所以是等差數(shù)列．
選②③作條件證明①：
設，則，
當時，；
當時，；
因為，所以，解得或；
當時，，當時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列；
當時，，不合題意，舍去．
綜上可知為等差數(shù)列．
【點睛】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項法．
3．(2020年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)設是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．
(1)求的公比；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）設的公
4、比為，為的等差中項，
，
；
（2）設前項和為，，
，①
，②
①②得，
，
．
【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎題．
4．(2020年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)設數(shù)列{an}滿足a1=3，．
(1)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；
(2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．
【答案】（1），，，證明見解析；（2）．
解析：（1）由題意可得，，
由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，即，
證明如下：
當時，成立；
假設時，成立．
那么時，也成立．
則
5、對任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即．
【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項公式以及利用錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題．
5．(2019年高考數(shù)學課標全國Ⅱ卷理科)已知數(shù)列和滿足，，，．
證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；
求和的通項公式．
【答案】見解析；，.
【官方解析】
由題設得，即．
又因為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．
由題設得，即．
又因為，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列．
由知，，．
所以，
．
【分析】可通過題意中的以及對兩式進行相加和相減即可推導出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；
可通過中的
6、結(jié)果推導出數(shù)列以及數(shù)列的通項公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項公式即可得出結(jié)果.
【解析】由題意可知，，，，
所以，即，
所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，，
因為，
所以，數(shù)列是首項、公差為等差數(shù)列，.
由可知，，，
所以，.
【點評】本題考查了數(shù)列的相關性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.
6．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷（理）)(12分)等比數(shù)列中，，
(1)求的通項公式；
(2)記為的前項和，若，求．
(1)或；(2)
【答案】【官方解析
7、】（1）設的公比為，由題設得
由已知得，解得（舍去），或
故或
（2）若，則，由，得，此方和沒有正整數(shù)解
若，則，由，得，解得
綜上，．
【民間解析】（1）設等比數(shù)列的公比為，由，可得，所以
所以
當時，；當時，
（2）由（1）可知
當時，由即，即，所以；
當時，由即，即，無解
綜上可知．
7．(2018年高考數(shù)學課標Ⅱ卷（理）)(12分)記為等差數(shù)列的前項和，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】解析：（1）設的公差為，由題意得．
由得，所以的通項公式為．
（2）由（1）得．
所以當時，取得最小值，最小值為．
8．(2016
8、高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知數(shù)列的前項和,其中.
(Ⅰ)證明是等比數(shù)列,并求其通項公式;
(Ⅱ)若,求.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由題意得,故,,.
由,得,即.
由,得,所以.
因此是首項為,公比為的等比數(shù)列,于是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,解得.
9．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)(本題滿分12分)為等差數(shù)列的前項和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如．
(I)求；(II)求數(shù)列的前1 000項和．
【答案】（1），，；（2）．
【解析】（1）設的公差為，據(jù)已知有，解得．
所以數(shù)列的通項公式為．
，，．
（2）因為
所以數(shù)列的前項和為．
9、
10．(2015高考數(shù)學新課標1理科)(本小題滿分12分)為數(shù)列的前項和．已知
(Ⅰ)求的通項公式：
(Ⅱ)設,求數(shù)列的前項和
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
分析：（Ⅰ）先用數(shù)列第項與前項和的關系求出數(shù)列{}的遞推公式，可以判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可寫出數(shù)列{}的通項公式；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）數(shù)列{}的通項公式，再用拆項消去法求其前項和．
解析：（Ⅰ）當時，，因為，所以=3，
當時，==，即，因為，所以=2，
所以數(shù)列{}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，
所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以數(shù)列{}前n項和為= =．
考點：數(shù)列前n項和與第n項的關系；等差
10、數(shù)列定義與通項公式；拆項消去法
11．(2014高考數(shù)學課標2理科)(本小題滿分12分)
已知數(shù)列滿足=1，．
(Ⅰ)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(Ⅱ)證明：
【答案】解析：（Ⅰ）由，得，且
所以是首相為，公比為的等比數(shù)列。
因此，所以的通項公式為．
（Ⅱ）由（1）知
當時，，所以
于是
所以
考點：（1）等比數(shù)列的證明及通項公式的求法；（2）等比數(shù)列的前項的和
（3）放縮法證明不等式
難度：C
備注：一題多解
12．(2014高考數(shù)學課標1理科)已知數(shù)列的前項和為,,,,其中為常數(shù)．
(1)證明:;
(2)是否存在,使得為等差數(shù)列?并說明理由．
【答案】解析:(1)由題設,,兩式相減
,由于,所以．
(2)由題設,,可得,由(1)知
假設為等差數(shù)列,則成等差數(shù)列,∴,解得;
證明時,為等差數(shù)列:由知
數(shù)列奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是首項為1,公差為4的等差數(shù)列
令則,∴
數(shù)列偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是首項為3,公差為4的等差數(shù)列
令則,∴
∴(),
因此,存在存在,使得為等差數(shù)列．
考點:(1)等差數(shù)列的證明;(2)等差數(shù)列的前項和及綜合應用(3)分類討論思想
難度:C
備注:高頻考點
【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學真題分類匯編 數(shù)列大題（精解精析）
