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1、第第9 9章章 習(xí)題課習(xí)題課(2)(2)主要內(nèi)容主要內(nèi)容典型例題典型例題其中其中 iiiniivfvzyxfI ),(limd),(10 是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值是各小閉區(qū)域的直徑中的最大值.定義定義空間有界閉區(qū)域空間有界閉區(qū)域上三元有界函數(shù)上三元有界函數(shù)z = f (x, y , z)的三重積分的三重積分一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容三重積分的定義三重積分的定義三重積分的幾何意義三重積分的幾何意義設(shè)被積函數(shù)設(shè)被積函數(shù), 1),( zyxf vVd1則空間立體則空間立體的體積為的體積為0),( zyx vzyxMd),( 為空間立體為空間立體 的密度函數(shù)的密度函數(shù)則空間立體則空間立體 的質(zhì)量為的
2、質(zhì)量為設(shè)設(shè)三重積分的物理意義三重積分的物理意義三重積分化為三重積分化為 次定積分計算次定積分計算三重積分的計算三重積分的計算 直角坐標(biāo)下計算直角坐標(biāo)下計算柱坐標(biāo)下計算柱坐標(biāo)下計算 vzyxfd),( 先先z后后xy先先 xy后后z zyxzyxfddd),(球坐標(biāo)下計算球坐標(biāo)下計算當(dāng)二重積分用極坐標(biāo)計算時當(dāng)二重積分用極坐標(biāo)計算時 dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf先先r再再后后積分積分 依然遵循后積先定限依然遵循后積先定限(域域)三重積分的奇偶對稱性三重積分的奇偶對稱性,)0(對對稱稱坐坐標(biāo)標(biāo)面面 zxy關(guān)于關(guān)于 若若域域 vzyxfd),(則則,d),( vzy
3、xf, 0為為f的的偶偶函函數(shù)數(shù)z 的奇函數(shù)的奇函數(shù)z為為f21xy在在為為其中其中 1坐標(biāo)面的上半部區(qū)域坐標(biāo)面的上半部區(qū)域. .),(),(zyxfzyxf ),(),(zyxfzyxf xyzzyxzyxfddd),(xzzyyx,輪換性質(zhì)輪換性質(zhì) yzxxzyxzyfddd),(稱稱滿足輪換對稱性滿足輪換對稱性，若若yzxxyz ，若若),(),(xzyfzyxf 稱稱f(x,y,z)滿足輪換對稱性滿足輪換對稱性可利用可利用或或f(x,y,z)的輪換對稱性簡化計算的輪換對稱性簡化計算重積分在幾何上的應(yīng)用重積分在幾何上的應(yīng)用 DS d平面區(qū)域平面區(qū)域D的面積為的面積為: :空間空間區(qū)域區(qū)域
4、 的體積為的體積為: : vVd曲面面積曲面面積: :設(shè)曲面的方程為設(shè)曲面的方程為),(yxzz yxzzSyxdd122 xyD重積分在物理上的應(yīng)用重積分在物理上的應(yīng)用平面區(qū)域的質(zhì)量平面區(qū)域的質(zhì)量 Dx,yM )d(空間區(qū)域的質(zhì)量空間區(qū)域的質(zhì)量 vx,y,zM)d( 平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)當(dāng)薄片是當(dāng)薄片是均勻均勻的的, ,d),(d),( DDyxyxxx DDyxyxyy d),(d),(,d1 DxSx DySy d1 DS d其中其中質(zhì)心稱為質(zhì)心稱為 形心形心. .D的面積的面積. .,d),(d),( vzyxvzyxxx 則得則得形心形心坐標(biāo)坐標(biāo),dVvxx vVd立
5、體的體積立體的體積. .空間立體的質(zhì)心空間立體的質(zhì)心 當(dāng)物體是當(dāng)物體是均勻均勻的的, ,dVvyy Vvzz d其中其中,d),(d),( vzyxvzyxyy vzyxvzyxzzd),(d),( 平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量 DyyxI d),( DxyxI d),( DyxI d),( 02y2x)(22yx vzyxIxd),( )(22zy 立體的轉(zhuǎn)動慣量立體的轉(zhuǎn)動慣量 vzyxIyd),( )(22zx vzyxIzd),( )(22yx vzyxId),(0 )(222zyx ,d),(3 Dryxxk,d),(3 Dryxyk)d),(3 Dryxkaxy平面薄片對位于
6、平面薄片對位于(0,0,(0,0,a) )位置處的單位質(zhì)點的引力位置處的單位質(zhì)點的引力),(zyxFFFF 222ayxr ,d)(,(30vrxxzyxk ,d)(,(30vryyzyxk )d)(,(30vrzzzyxk 立體對位于處的單位質(zhì)點的引力立體對位于處的單位質(zhì)點的引力),(zyxFFFF 202020)()()(zzyyxxr 其中其中),(0000zyxP二、典型例題二、典型例題例例所所圍圍成成的的與與由由其其中中，計計算算222211d)(yxzyxzvzx 解解 vzxd)(oxyz22yxz 2211yxz 2 vzvxdd vzd0 vzd法法1由由 222211yxz
7、yxz所以所以, ,:xyDxOy面面的的投投影影域域在在 122 yx vzd zzyxddd(先先z后后 xy)xyD22yx 2211yx :得得消消z122 yx122 yxyxxyDoxyz22yxz xyD2211yxz 2 vzd zzyxdddxyD22yx 2211yx 122 yxyxxyDyxyxyxxyD dd)()11(2122222rrrrd)11(d212210220 67 極極vzd 法法2( (先先 xy后后z) ) zzd yxdd)1(zD01222)1(:zyxDz zzd yxdd)2(zD12222)2() 1(1: zyxDz1oxyz22yxz
8、2211yxz 2 102dzzz 212d)1(1 zzz 67 ,cos2 r222zyx ,4 采用球坐標(biāo)采用球坐標(biāo) 2222cossinrr cossinsincossinrzryrxrddd cosr sin2r 0 204 0 cos2 dddsind2rrv vzd 法法31oxyz22yxz 2211yxz 2zzyx2222 cos22rr 67 例例22yxz )0(22 aaxyx因曲面方程為因曲面方程為,22yxxzx 22yxyzy 所以所以2 d2 DS2)2(2a oxzy22yxz axyx 2222yxz 解解221yxzz 截下的截下的有限曲面片有限曲面片的
9、面積的面積. .被柱面被柱面求曲面求曲面a),(yxzz yxzzSyxdd122 xyDxyD軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成繞繞是由曲線是由曲線設(shè)設(shè)zzyx 202圍圍成成的的空空間間區(qū)區(qū)域域，的的曲曲面面與與平平面面4 z,22zyx 解解 zyx202由曲線由曲線zyx222 例例旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程為,軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成繞繞z 4xyzO其體密度為其體密度為其立體的質(zhì)量。其立體的質(zhì)量。vzyxMd)(22 vzyxMd)(22 22r480 20 3256 8:22 yxDxyzyx222 旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程 zzyxyxd)(dd22222yx 4 zzrrrd)
10、(dd2 xyD 4xyzO(先先z后后 xy)例例.d)()(21dd )d)(02000 xxvuttftxvuttf證明證明 證證 思路：從改變積分次序入手思路：從改變積分次序入手 vuttfu00d)(d vttftv0,d)()( xvuvuttf000dd )d)( uttfd)d( xvttftvv00d)()(dout),(vvvut D0vtv xxvuttftxvuttf02000d)()(21dd )d)( xvuvuttf000dd )d)( xxtttvtf02d)(21 xvttftvv00d)()(dovt),(xxxvt D vtvttf)d()d(0 xtx.
11、d)()(2102 xttftx. . 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域 與與 0 , 1 : zyxxyz xyxzzyxfyx 01 01 0d),(dd雙曲拋物面雙曲拋物面(馬鞍面馬鞍面),ddd ),( 化化為為三三次次積積分分將將zyxzyxfI 解解例例（先（先z后后xy）上下面上下面含含z由由:xyD, 1 yx圍圍成成 , 0 , 0 yx,),(時時且且當(dāng)當(dāng)xyDyx ,0 xyz 0 xyxyD11, 1 yx xyDzzyxfyxIxy0d),(dd，方程共圍方程共圍與無與無消消含含xyDzzz.0:,ddd)753(222222yxRzzyxzyxI 其中其中計算計算 2222
12、ddd)753(21222RzyxzyxzyxI 2222ddd27532Rzyxzyxx解解例例xyzOddd7ddd5ddd321222222222222222 RzyxRzyxRzyxzyxzzyxyzyxx 222222222222ddddddddd222RzyxRzyxRzyxzyxzzyxyzyxx 2222ddd27532Rzyxzyxx 2222ddd)(31215222Rzyxzyxzyx52 R rrrRdsindd25022020 xyzO 222222222222ddddddddd222RzyxRzyxRzyxzyxzzyxyzyxxaxy 2),(aa),(aa ax
13、 例例所所圍圍圖圖形形對對直直線線及及直直線線求求由由)0(2 aaxaxy).1( 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量ayay oyx),(yx 解解 Id由微元法由微元法 aaaayxayy2d)(d22 DayI d)(2.584a 1 DDayay d2)d(22 Day d)(22 d 2)(ay 某城市受地理限制呈直角三角形分布某城市受地理限制呈直角三角形分布, , 解解 d)1020( DyxL試計算該市總的稅收收入試計算該市總的稅收收入. .OxyD臨一條河臨一條河. . 斜邊斜邊和和12km, 12km, 由于交通關(guān)系由于交通關(guān)系, , 城市發(fā)展城市發(fā)展不太平衡不太平衡, ,這一點這一點可
14、從稅收狀況反映出來可從稅收狀況反映出來. .若以兩直角邊為坐標(biāo)軸建立若以兩直角邊為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系, ,則位于則位于x軸和軸和y軸上的城市長度各為軸上的城市長度各為16km且稅收情況與地理位置的關(guān)系大體為且稅收情況與地理位置的關(guān)系大體為11216 yx總稅收收入為總稅收收入為例例1216)/(1020),(平方千米平方千米萬元萬元yxyxR 面積為面積為 d )d10(20yx 由微元法由微元法范圍的稅收收入為范圍的稅收收入為yyxd)1020( 14080 d)1020( DyxLOxyDx4312 0 xd01611216 yx總稅收收入為總稅收收入為( (萬元萬元).).1
15、216 解解 veMzd| 102d)1(2zezz 2 ,1222zyx 上上vezd2 yxezzddd2:zD0 xyzO1111zD.1:. 1222的質(zhì)量的質(zhì)量的立體的立體求密度為求密度為 zyxez 先先 xy后后z,ddd)(1lim, 0)0(0)(. 222240zyxzyxftfxxft 求極限求極限處可導(dǎo)，且處可導(dǎo)，且在在設(shè)設(shè).:2222tzyx 其中其中解解zyxzyxfddd)(222 球球rrfrd)(dsind2 rrfrtd)(402 0t 00 2xyzOtttzyxzyxfttddd)(1lim22240 4020d)(4limtrrfrtt 3204)(4
16、limttftt 0)0()(lim0 tftft )0(f 00ttft)(lim0 0)0(0)( fxxf處可導(dǎo)，且處可導(dǎo)，且在在 001)(lim0tft 求求立立體體的的質(zhì)質(zhì)心心，其其體體密密度度為為所所圍圍成成與與由由zxyxzyxz ,1. 32222 解解 vzxMd)( 1024020dsincosddrrr 8 vzd oxyz22yxz 221yxz 1,d),(d),( vzyxvzyxxx ,d),(d),( vzyxvzyxyy vzyxvzyxzzd),(d),( 球球Mvzxxx d)( vx d82 1022224020dsincossindd8rrr 324
17、2532 8 M oxyz1Mvzxyy d)(0 Mvzxzz d)( vz d82 102224020dsincosdd8rrr 15241516 8 M oxyz1質(zhì)心質(zhì)心)3242532, 0,15241516( yeyzxIzyzxxd)1(dd. 42)1(101010 計計算算 zxzyDyeyzxIxz10)1(d)1 (dd2 解解 直接積分困難，考慮改變積分次序直接積分困難，考慮改變積分次序OxxzD1 zx1z1 veyzyd)1 (2)1(還原為先還原為先y后后 xz)x0z y1111 zyx veyzyd)1 (2)1(先先x后后y z)x0z y1111 zyx
18、zyzyDxeyzyyz10)1(d)1 (dd2OyzD1 zy1z1y yzyzezyyy1 0)(110d)1)(1(d2 yzDzyzyezyydd)1 ( )1 (2)1(先先z后后 y)e41 yeyyd)1(212)(110 zxyO解解由由對稱性對稱性由由 yyx222 22yyx 求交線求交線 求柱面求柱面yyx222 222zxy 222222zxyyyx截下的截下的有限曲面片有限曲面片的面積的面積. .被被錐面錐面 外面部分外面部分例例yz22 yz22 zyO2yzD14AA 第一卦限部分第一卦限部分zxyOL,212yyyxy , 0 zx),(zyxx zyxxSz
19、ydd122 yzDzyyd212 yd, 4 1641 SS zyyySyzDdd2121 0y202yz22 zyO2yzD,212yyyxy , 0 zxzyxxSzydd1d221 zyyydd212 yyd2220 ( (先先 z后后y) )例例Rzyxo分析分析 2222222222ddd243432323yxRyxRRxRxRRRzzyxI計算計算 222222ddd2yxRyxRRDzzyxIxy22243Ryx yxxyD222yxRRz 222yxRz 被積函數(shù)為被積函數(shù)為 z2,采用先采用先xy后后z計算簡便計算簡便 zz d22R(還原為先還原為先z后后 xy) 采用球
20、坐標(biāo)？采用球坐標(biāo)？ 也不好！也不好！ zD1zD2Rzyxo2R yxddzzzRzRd)2(2022 zz d2 zzRzRRd)(2222 548059R 解解先先xy后后z zzId2222yxRRz 222yxRz 02RzD1 yxddzz d2 2RzD2R2222zRzyx 2222zRyx 111 1 ,2 , 12222yxzyxz 且且由由求求密密度度為為解解 由對稱性由對稱性0 y zyxVddd, 0 xxyD1, 1, 1, 1 yxyxyxyx所圍立體的質(zhì)心坐標(biāo)所圍立體的質(zhì)心坐標(biāo). .yxO例例Vvzz d zyxdddxyD222yx 22yx xyDyxyxdd222 1dd2422Dyxyx第一向限部分第一向限部分（先（先z后后xy） 1dd2422DyxyxV第一向限部分第一向限部分111 1 xyD1 yxyxO yxxdd420 x 11031 zyxzddd zzyxdddxyD222yx 22yx xyDyxyxdd8)(3222 1dd8)(34222Dyxyx yyxxd)(d232220 x 1102021 Vddd zyxzz).207, 0 , 0(所以所以, ,質(zhì)心坐標(biāo)為質(zhì)心坐標(biāo)為207 1dd42Dyxx
微積分：第9章習(xí)題課(4)
