安徽省安慶市重點高中2022屆高三10月月考 數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）

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1、 2022屆高三10月月考數(shù)學(xué)試卷（理數(shù)） 一、單選題（本大題共12小題，共60分） 1. 已知全集，集合，集合，則陰影部分所示集合為 A. B. C. D. 2. 已知命題p：，命題q：若，則，下列命題為真命題的是 A. B. C. D. 3. 設(shè)，，，則 A. B. C. D. 4. 函數(shù)其中e為自然對數(shù)的底數(shù)圖象的大致形狀是 A. B. C. D. 5. 函數(shù)在單調(diào)遞增，求a的取值范圍 A. B. C. D. 6. Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．

2、有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)的單位：天的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為 A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 7. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于 A. B. C. D. 8. 已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時，成立，若，，則a，b，c的大小關(guān)系是? ? ? A. B. C. D. 9. 對任意實數(shù)a，b定義運算““：，設(shè)，若函數(shù)的圖象與x軸恰有三個交點，則k的取值范圍是 A. B. C. D. 10. 已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱，若

3、，則的最小值為 A. 2 B. C. ln2 D. 11. 已知定義域為R的函數(shù)，若關(guān)于x的方程有無數(shù)個不同的實數(shù)解，但只有三個不同的實數(shù)解，，，則 A. B. C. 3 D. 2 12. 對于任意的實數(shù)，總存在三個不同的實數(shù)，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是 A. B. C. D. 二、單空題（本大題共4小題，共20.0分） 13. 已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為a，則______． 14. 已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且滿足，又，，則______． 15. 已知函數(shù)，正實數(shù)m，n滿足，且，若在區(qū)間上

4、的最大值為2，則______． 16. 已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，關(guān)于x的不等式在上有且只有300個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是______． 三、解答題（本大題共7小題，共84.0分） 17. 已知函數(shù)．若的解集為，求實數(shù)k的值； 若，都，使成立，求實數(shù)m的取值范 18. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，平面平面ABCD，點F為棱PD的中點． Ⅰ在棱AB上是否存在一點E，使得平面PCE，并說明理由； Ⅱ當(dāng)二面角的余弦值為時，求直線PB與平面ABCD所成角的余弦值． 19. 設(shè)，函數(shù)為常數(shù)，．若

5、，求證：函數(shù)為奇函數(shù)； (2) 若．用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍． 20. 如圖，A為橢圓的左頂點，過A的直線交拋物線于B、C兩點，C是AB的中點． 求證：點C的橫坐標(biāo)是定值，并求出該定值；若直線m過C點，且傾斜角和直線的傾斜角互補，交橢圓于M、N兩點，求p的值，使的面積最大． 21. 數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)，形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關(guān)于a的方程和關(guān)于b的方程可化為同構(gòu)方程． (1) 求ab的值； 函數(shù)若

6、斜率為k的直線與曲線相交于，兩點，求證：． 選做題 22. 直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度．已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，，曲線C的極坐標(biāo)方程為． 求曲線C的直角坐標(biāo)方程；設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點，當(dāng)變化時，求的最小值． 23. 已知函數(shù)，M為不等式的解集． 求集合M；若a，，求證：． 10月月考（理數(shù)）答案 一、單選題（本大題共12小題，共60.0分） 24. 已知全集，集合，集合，則陰影部分所示集合為 A. B. C.

7、 D. 解：集合，，集合， 圖形陰影部分為，故選：B． 25. 已知命題p：，命題q：若，則，下列命題為真命題的是 A. B. C. D. 解：命題p：，使成立．故命題p為真命題； 當(dāng)，時，成立，但不成立，故命題q為假命題， 故命題，，均為假命題；命題為真命題，故選B．?? 26. 設(shè)，，，則 A. B. C. D. 解：，，，．故選：A．?? 27. 函數(shù)其中e為自然對數(shù)的底數(shù)圖象的大致形狀是 A. B. C. D. 解：，． 為奇函數(shù)，排除A，C；當(dāng)時，，，，排除D，故選：B．?? 28. 函數(shù)在單調(diào)遞增，求a的取值范圍

8、A. B. C. D. 解：令，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，解可得，．故選：C． 29. Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)的單位：天的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為 A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 解：由已知，，當(dāng)時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，可得，解得，兩邊取對數(shù)有，解得，故選：C．?? 30. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于 A. B. C. D. 解：，，令，則， 即，．故選：D．?? 31. 已知函

9、數(shù)滿足，且當(dāng)時，成立，若，，則a，b，c的大小關(guān)系是? ? ? A. B. C. D. 解：令，，，，即為奇函數(shù)， 當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增， 又因為為奇函數(shù)，函數(shù)在R上為增函數(shù)， ，，， 即．．故選：A．?? 32. 對任意實數(shù)a，b定義運算““：，設(shè)，若函數(shù)的圖象與x軸恰有三個交點，則k的取值范圍是 A. B. C. D. 解：當(dāng)時，解得，，， 當(dāng)時，解得或，，或， 函數(shù)的圖象如圖所示： 由圖象得：，函數(shù)與的圖象有3個交點， 即函數(shù)的圖象與x軸恰有三個公共點；故答案選：A．?? 33. 已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于點對稱，若，則的最小值為 A. 2

10、B. C. ln2 D. 解：設(shè)函數(shù)上任意一點，點關(guān)于對稱的點為， 則，即， 依題意，，則，設(shè)，則， 知函數(shù)在單減，在單增，，即最小值為．故選：D． 34. 已知定義域為R的函數(shù)，若關(guān)于x的方程有無數(shù)個不同的實數(shù)解，但只有三個不同的實數(shù)解，，，則 A. B. C. 3 D. 2 解：當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，則關(guān)于x的方程在內(nèi)至多只有兩個解， 所以必為其中一解，即， 故當(dāng)時，，此時由函數(shù)得，， 若關(guān)于x的方程有無數(shù)個不同的實數(shù)解， 則當(dāng)時，也一定滿足方程，此時有， 由可得，，， 當(dāng)時，，由即，得，解得或，解得，或，故選：A． 35. 對于任意的實數(shù)，總存在三個不同

11、的實數(shù)，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是 A. B. C. D. 解：可化為：，設(shè)，則， 即函數(shù)在，為減函數(shù)，在為增函數(shù)， 又，，，設(shè)，， 即函數(shù)在為增函數(shù)，所以， 對于任意的實數(shù)，總存在三個不同的實數(shù)，使得成立， 即對于任意的實數(shù)，總存在三個不同的實數(shù)，使得成立， 即對于任意的實數(shù)恒成立，即，即，故選：B． 二、單空題（本大題共4小題，共20分） 36. 已知函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為a，則______． 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得圖象在點處的切線斜率為， 可得，解得．故答案為：． 37. 已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且滿足，又，，則______．

12、解：，，周期，又，， ，， 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，，又， ，， ，．故答案為2．?? 38. 若函數(shù)，正實數(shù)m，n滿足，且，若在上最大值為2，則______． 解：，且， 若在區(qū)間上的最大值為2， 故答案為： 39. 已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，關(guān)于x的不等式在上有且只有300個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是______． 解：是偶函數(shù)，， ，，的周期為． 當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 又，，且是以8為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x為整數(shù)時，， 在上有300個整數(shù)解， 在上有3個整數(shù)解，顯然這三個整數(shù)解為1，2，3， 即在上有三個整數(shù)解1，2，3．

13、 ，即，解得：．故答案為： 三、解答題（本大題共7小題，共70分） 40. 已知函數(shù)．若的解集為，求實數(shù)k的值； 若，都，使成立，求實數(shù)m的取值范 解：由得，整理得， 因為不等式的解集為，所以方程的兩個根是，；得，即； 由已知，只需， 因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，由于， 所以函數(shù)在上的最小值為， 因為開口向上，且對稱軸為， 故當(dāng)，即時，，解得； 當(dāng)，即時，， 解得或，所以； 當(dāng)，即時，，解得，所以． 綜上所述，m的取值范圍是． 41. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，平面平面ABCD，點F為棱PD的中點．Ⅰ在棱AB上是否存在一點E，

14、使得平面PCE，并說明理由；Ⅱ當(dāng)二面角的余弦值為時，求直線PB與平面ABCD所成的角余弦值． 解：Ⅰ在棱AB上存在點E，使得平面PCE，點E為棱AB的中點． 理由如下：取PC的中點Q，連接EQ、FQ，由題意，且，且， 故AE且．所以，四邊形AEQF為平行四邊形．所以，， 又平面PEC，平面PEC，所以，平面PEC； Ⅱ由題意知為正三角形，所以，亦即，又，所以， 且平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，所以平面ABCD， 故以D為坐標(biāo)原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則由題意知0，，0，，2，，1，， 2，，，設(shè)平面FBC的法向量為y，， 則由令，則，，則，易知平面DFC的

15、法向量0，， 二面角的余弦值為，，解得． 由于平面ABCD，所以PB在平面ABCD內(nèi)的射影為BD，所以為直線PB與平面ABCD所成的角， 題意知中，，從而，所以直線PB與平面ABCD所成的角余弦值為． 42. 設(shè)，函數(shù)為常數(shù)，．若，求證：函數(shù)為奇函數(shù)； 若．定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解：當(dāng)時，函數(shù)，因為，則，所以定義域為， 對任意，，所以是奇函數(shù)． 當(dāng)時，為R上的單調(diào)增函數(shù)，證明如下： 證明：時，恒成立，故函數(shù)定義域為R．任取，且，則， 因為，所以為R上的單調(diào)增函數(shù)．? 設(shè)命題存在，使得成立． 下面研究命題p的否定：恒成立． 若為

16、真命題，由，為R上的單調(diào)增函數(shù)，故恒成立． 設(shè)，，解得． p為真，則假，a的取值范圍為． 43. 如圖，A為橢圓的左頂點，過A的直線交拋物線于B、C兩點，C是AB的中點． 求證：點C的橫坐標(biāo)是定值，并求出該定值； 若直線m過C點，且傾斜角和直線的傾斜角互補，交橢圓于M、N兩點，求p的值，使的面積最大． 解：由題意可知，設(shè)，， 過A的直線l交拋物線于兩點，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l：， 聯(lián)立方程，消去x得，，，， 點C是AB的中點，，，，，，， ，點C的橫坐標(biāo)為定值1； 直線m的傾斜角和直線l的傾斜角互補，所以直線m的斜率和直線l的斜率互為相反數(shù)， 又點，所以設(shè)直線m的

17、方程為：，即，設(shè)，， 聯(lián)立方程，消去x得，，， ，解得，， ， 點C是AB的中點，，設(shè)點到直線MN的距離為d，則， ，令， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立， ，． 44. 數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)，形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關(guān)于a的方程和關(guān)于b的方程可化為同構(gòu)方程．求ab的值；已知函數(shù)若斜率為k的直線與曲線相交于，兩點，求證：． 解：對兩邊取自然對數(shù)，得． 對兩邊取自然對數(shù)，得，即． 因為方程，為兩個同構(gòu)方程，所以，解得． 設(shè)，，則，所以在單調(diào)遞增，故方程的解只有一個． 所以，，故． 由知，． 所以

18、，，要證，即證明，等價于． 令，則只要證即可．由，知，故等價于證． 設(shè)，則，在單增，故，即． 設(shè)，則，即在單調(diào)遞增，故， 即．由可知成立，則． 45. 直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度．已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，，曲線C的極坐標(biāo)方程為． 求曲線C的直角坐標(biāo)方程；設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點，當(dāng)變化時，求的最小值． 解：由，得，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為． 將直線l的參數(shù)方程代入，得．則，， ，當(dāng)時，取最小值2． 46. 若函數(shù)，M為解集．求集合M；若a，，證：． 解： 當(dāng)時，，由解得，； 當(dāng)時，，恒成立，； 當(dāng)時，，由解得， 綜上，的解集； 證明： 由a，得，，，， ，．