《圓的對稱性》教案北師版九下

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1、 3.2 圓的對稱性 1．理解圓的旋轉(zhuǎn)不變性； (重點 ) 2．掌握圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系的定理； (重點 ) 3．能應(yīng)用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解決問題． (難點 ) 一、情境導(dǎo)入 我們知道圓是一個旋轉(zhuǎn)對稱圖形， 無論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度， 它都能與自身重合， 對 稱中心即為其圓心．將圖中的扇形 AOB(陰 影部分 )繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)某個角度，畫出 旋轉(zhuǎn)之后的圖形，比較前后兩個圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么？ 二、合作探

2、究 探究點：圓心角、弧、弦之間的關(guān)系【類型一】 利用圓心角、弧、弦之間 的關(guān)系證明線段相等 ︵ ︵ 如圖，M 為⊙ O 上一點，MA＝ MB， MD ⊥OA 于 D， ME⊥OB 于 E，求證： MD ＝ ME . 解析：連接 MO ，根據(jù)等弧對等圓心角，則 ∠ MOD ＝ ∠MOE ，再由角平分線的性質(zhì)，得出 MD ＝ME. ︵ ︵ 證明： 連接 MO ，∵ MA＝ MB，∴∠  MOD ＝∠ MOE ，又∵ MD ⊥OA 于 D，ME ⊥ OB 于 E，∴ MD＝ME. 方法總結(jié)： 圓

3、心角、弧、弦之間相等關(guān)系的定理可以用來證明線段相等． 本題考查了等弧對等圓心角，以及角平分線的性質(zhì)． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第 7 題 【類型二】 利用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系證明弧相等 如圖，在⊙ O 中，AB、CD 是直徑， ︵ ︵ CE∥ AB 且交圓于 E，求證： BD＝ BE. 解析： 首先連接 OE，由 CE∥ AB，可證得 ∠DOB ＝ ∠ C，∠ BOE＝ ∠ E，然后由OC＝ OE，可得 ∠ C＝ ∠E，繼而證得 ∠DOB ︵ ︵ ＝ ∠ BOE，則可證得 BD

4、 ＝ BE. 證明： 連接 OE，∵ CE∥ AB，∴∠ DOB ＝∠ C，∠ BOE ＝∠ E.∵OC＝ OE，∴∠ C＝ ︵ ︵ ∠ E，∴∠ DOB ＝∠ BOE，∴ BD＝ BE. 方法總結(jié)： 此類題主要運用了圓心角與弧的關(guān)系以及平行線的性質(zhì)． 注意掌握輔助線的作法及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第 8 題 【類型三】 綜合運用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系進行計算 如圖，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，∠ B＝ 36°，以 C 為圓心， CA 為半 ︵ 徑的圓交 AB 于點 D，交

5、BC 于點 E.求 AD 、 ︵ DE 的度數(shù)． 第 1頁共3頁 解析： 連接 CD，由直角三角形的性質(zhì) 求出 ∠ A 的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形及三角 形內(nèi)角和定理分別求出 ∠ACD 及∠DCE 的 ︵ 度數(shù)，由圓心角、 弧、弦的關(guān)系即可得出 AD、 ︵ DE 的度數(shù)． 解：連接 CD ，∵△ ABC 是直角三角形， ∠ B＝ 36°，∴∠ A＝ 90°－ 36°＝ 54° .∵ AC ＝DC，∴∠ ADC＝∠ A＝ 54°，∴∠ ACD ＝

6、180°－∠ A －∠ ADC ＝ 180 °－ 54°－ 54°＝ 72°，∴∠ BCD ＝∠ ACB－∠ ACD ＝ 90°－ 72°＝ 18° .∵∠ ACD 、∠ BCD 分別是 ︵ ︵ ︵ AD ，DE 所對的圓心角， ∴ AD的度數(shù)為 72°， ︵ DE 的度數(shù)為 18° . 方法總結(jié)： 解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第 8 題 【類型四】 有關(guān)圓心角、弧、弦之間關(guān)系的探究性問題 如圖，直線 l 經(jīng)過⊙ O 的圓心 O，且與⊙ O 交于 A、B 兩點，點 C

7、 在⊙ O 上，且∠ AOC＝30°，點 P 是直線 l 上的一個動點 (與圓心 O 不重合 )， 直線 CP 與⊙ O 相交于點 Q.是否存在點 P ，使得 QP ＝ QO ？若存在，求出相應(yīng)的 ∠ OCP 的大??；若不存在，請簡要說明理由． 解析： 點 P 是直線 l 上的一個動點，因而點 P 與線段 OA 有三種位置關(guān)系： 點 P 在線段 OA 上，點 P 在 OA 的延長線上，點 P  在 OA 的反向延長線上．分這三種情況進行討論即可． 解： 當點 P 在線段 OA 上 (如圖① )，在 △

8、QOC 中， OC＝ OQ，∴∠ OQC ＝∠ OCP. 在△ OPQ 中，QP＝ QO，∴∠ QOP ＝∠ QPO. 又 ∵∠ AOC＝ 30° .∴ ∠QPO ＝ ∠OCP ＋ ∠ AOC ＝∠ OCP ＋ 30° . 在△ OPQ 中，∠ QOP＋∠ QPO＋∠ OQC ＝ 180°，即(∠OCP ＋ 30°)＋ (∠OCP ＋30° )＋ ∠OCP＝ 180°，整理得 3∠OCP＝ 120°，∴∠ OCP ＝ 40°； 當 P 在線段 OA 的延長線上 ( 如圖② )，

9、∵ OC＝OQ，∴∠OQP＝(180°－ ∠ QOC)× 12＝ 90°－ 12∠ QOC.∵ OQ＝ PQ， ∴∠ OPQ ＝ (180 °－∠ OQP) × 1＝ 45°＋ 1 2 4 ∠ QOC. 在 △OQP 中， 30° ＋ ∠QOC ＋ ∠ OQP ＋∠ OPQ＝ 180°，∴ 30°＋∠ QOC ＋ 90° － 1∠ QOC ＋ 45° ＋ 1∠ QOC ＝ 2 4 180°，∴∠ QOC ＝ 20°，則∠ OQP ＝ 80°， ∴∠ OCP＝ 100°； 當 P 在線段 OA 的反

10、向延長線上 (如圖 ③ )，∵ OC＝ OQ ， ∴∠ OCP＝ ∠OQC ＝ (180 °－∠ COQ)× 1 ＝ 90°－ 1∠ COQ.∵ 2 2 1 OQ＝ PQ ，∴∠ OPQ＝∠ POQ＝ 2∠ OQC ＝ 1 45°－ 4∠ COQ .∵∠ AOC＝ 30°，∴∠ COQ 第 2頁共3頁 ＋∠ POQ ＝ 150°，∴∠ COQ ＋ 45°－ 14∠ COQ ＝150°，∴∠ COQ ＝140°，∴∠ OCP ＝ (180 °－ 140°)× 12＝ 20° . 方法

11、總結(jié)： 本題通過同圓的半徑相等， 將圓的問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形的問題， 是一 種常見的解題方法， 還要注意分類討論思想 的運用． 三、板書設(shè)計 圓的對稱性 1．圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 2．應(yīng)用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解 決問題 本節(jié)課的教學(xué)策略是通過學(xué)生自己動手畫 圖疊合、觀察思考等操作活動， 讓學(xué)生親身 經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展及其探求過程，再通 過教師演示動態(tài)教具引導(dǎo)， 讓學(xué)生感受圓的 旋轉(zhuǎn)不變性，并得出圓心角、弧、弦三者之 間的關(guān)系， 能用這一關(guān)系定理， 解決圓的計 算證明問題， 同時注重培養(yǎng)學(xué)生的探索能力 和邏輯推理能力，力求體驗數(shù)學(xué)的生活性、 趣味性 . 第 3頁共3頁