《圖形面積的最大值》教案北師版九下

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1、 2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用 第 1 課時 圖形面積的最大值 1．能根據(jù)實際問題列出函數(shù)關(guān)系式， 并根據(jù)問題的實際情況確定自變量取何值時，函數(shù)取得最值； (重點 ) 2．通過建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型解決 實際問題， 培養(yǎng)分析問題、 解決問題的能力， 提高用數(shù)學(xué)的意識， 在解決問題的過程中體 會數(shù)形結(jié)合思想． (難點 ) 一、情境導(dǎo)入 如圖所示，要用長 20m 的鐵欄桿，圍成一個一面靠墻的長方形花圃， 怎么圍才能

2、使圍成的花圃的面積最大？ 如果花圃垂直于墻的一邊長為 xm，花圃的面積為 ym2，那么 y＝x(20－ 2x)．試問： x 為何值時，才能使 y 的值最大？ 二、合作探究 探究點一：二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx＋c 的 最值 已知二次函數(shù) y＝ ax2＋ 4x＋ a－ 1 的最小值為 2，則 a 的值為 ( ) A ． 3 B．－ 1 C． 4 D．4 或－ 1 y＝ ax2＋ 4x＋ a－ 1 解析： ∵ 二次函數(shù) 有最小值 2，∴ a＞ 0， y 最小值 ＝ 4ac－b2 ＝

3、4a 2 4a（ a－ 1）－ 4 ＝ 2，整理，得 a2－ 3a－ 4＝ 4a 0，解得 a＝－ 1 或 4.∵a＞ 0，∴ a＝ 4.故選  C. 方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的最大 (小 )值有三種方法， 第一種是由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第 1 題 探究點二： 利用二次函數(shù)求圖形面積的最大值 【類型一】 利用二次函數(shù)求矩形面積的最大值 如圖，在一面靠墻的空地上用長為 24 米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的 長方形

4、花圃，設(shè)花圃的寬 AB 為 x 米，面積 為 S 平方米． (1) 求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍； (2) 當(dāng) x 取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？ (3) 若墻的最大可用長度為 8 米，則求圍成花圃的最大面積． 解析： (1)根據(jù) AB 為 xm，則 BC 為 (24 － 4x)m，利用長方形的面積公式， 可求出關(guān)系式； (2)由 (1)可知 y 和 x 為二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求圍成的長方形 花圃的最大面積及對應(yīng)的 AB 的長； (3)根據(jù) BC 的長度大于 0 且小于等于 8 列出不等式

5、組求解即可． 解： (1)∵ AB＝ x，∴ BC＝ 24－ 4x，∴ S ＝ AB·BC ＝ x(24 － 4x) ＝－ 4x2 ＋ 24x(0 ＜ x＜ 6)； 2 2 (2) S＝－ 4x ＋ 24x＝－ 4(x－3) ＋ 36，∵ 24－ 4x≤ 8， (3) ∵ ∴ 4≤x＜6. 24－ 4x＞ 0， 第 1頁共4頁 所以，當(dāng) x＝4 時，花圃的面積最大，最大面積為 32 平方米． 方法總結(jié)： 根據(jù)已知條件列出二次函數(shù)式是解題的關(guān)鍵． 但要注意不要漏掉題中自變量的取值范圍． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練

6、優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第 8 題 【類型二】 利用割補(bǔ)法求圖形的最大 面積 在矩形 ABCD 的各邊 AB， BC， CD ， DA 上分別選取點 E，F(xiàn)，G， H，使得 AE ＝AH ＝CF ＝ CG，如果 AB＝ 60，BC＝ 40， 四邊形 EFGH 的最大面積是 ( ) A．1350 B．1300 C．1250 D ．1200解析： 設(shè) AE＝ AH＝ CF＝CG＝ x，四邊 形 EFGH 的面積是 S.由題意得 BE＝ DG ＝60 － x，BF ＝DH ＝ 40－x，

7、則 S△ AHE＝ S△ CGF＝ 1 2 2 ，S△ DGH＝ S△ BEF＝ 1 x (60－x)(40 － x)，所以 2 四邊形 EFGH 的面積為 S＝60× 40－x2－(60 － x)(40 － x)＝－ 2x2＋ 100x＝－ 2(x－ 25)2＋ 1250(0 ＜ x≤ 40)．當(dāng) x＝ 25 時，S 最大值 ＝ 1250. 故選 C. 方法總結(jié)： 考查利用配方法求二次函數(shù)的最值，先配方，確定函數(shù)的對稱軸，再與函數(shù)的自變量的取值范圍結(jié)合即可求出四邊形 EFGH 的面積最大值． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固

8、提升” 第 7 題 【類型三】 動點問題中的最值問題  EF ⊥ DE，垂足為 E， EF 與線段 BA 交于點 F ，設(shè) CE＝ x， BF＝ y. (1) 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式； (2) 若 m＝ 8，求 x 為何值時，y 的值最大，最大值是多少？ 12 (3) 若 y＝ m，要使△ DEF 為等腰三角 形， m 的值應(yīng)為多少？ 解析： (1)利用互余關(guān)系找角相等， 證明 △ BEF ∽△ CDE ，根據(jù)對應(yīng)邊的比相等求函數(shù)關(guān)系式； (2)把 m 的值代入函數(shù)關(guān)系式，再求二次函數(shù)的最大值；(3)∵∠DEF ＝

9、90°，只有當(dāng) DE ＝ EF 時，△ DEF 為等腰三 角形，把條件代入即可． 解： (1)∵ EF ⊥ DE，∴∠ BEF ＝ 90°－ ∠ CED ＝∠ CDE.又∠ B＝∠ C＝ 90°，∴△ BF BE y 8－ x BEF ∽△ CDE，∴ CE ＝ CD ，即 x＝ m ，解 得 y＝ 8x－ x 2 ； m (2) 由 (1)得 y＝ 8x－ x2，將 m＝ 8 代入， m 得 y＝－ 1x2＋ x＝－ 1(x2－ 8x)＝－ 1(x－ 4)2＋ 888 2，所以當(dāng) x＝ 4 時，

10、 y 取得最大值為 2； (3) ∵∠ DEF ＝ 90°，∴只有當(dāng) DE＝ EF 時，△ DEF 為等腰三角形，∴△ BEF ≌△ CDE ，∴ BE＝ CD ＝ m，此時 m＝ 8－ x.解方 2 程 12＝ 8x－ x ，得 x＝6，或 x＝ 2.當(dāng) x＝ 2 時， m m m＝6；當(dāng) x＝6 時， m＝ 2. 方法總結(jié)： 在解題過程中，要充分運(yùn)用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)建立函數(shù)關(guān)系式，是解決問題的關(guān)鍵． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第 5 題 【類型四】 圖形運(yùn)動過程中的最大面積問題 如圖

11、，在矩形 ABCD 中，AB＝ m(m 是大于 0 的常數(shù) )， BC＝ 8，E 為線段 BC 上 的動點 (不與 B、C 重合 )．連接 DE，作 第 2頁共4頁 如圖，有一邊長為 5cm 的正方形 ABCD 和等腰△ PQR， PQ＝ PR＝ 5cm， QR ＝ 8cm，點 B、C、Q、R 在同一條直線 l 上，當(dāng) C、 Q 兩點重合時，等腰△ PQR 以 1cm/ 秒的速度沿直線 l 按箭頭所示方向開始勻速運(yùn)動， t 秒后正方形 ABCD 與等腰△ PQR 重 合部分的面積為 Scm2.解答下列問題： (

12、1)當(dāng) t＝ 3 秒時，求 S 的值； (2)當(dāng) t＝ 5 秒時，求 S 的值； (3)當(dāng) 5 秒≤ t ≤ 8 秒時，求 S 與 t 的函數(shù) 關(guān)系式，并求出 S 的最大值． 解析： 當(dāng) t＝ 3 秒和 5 秒時，利用三角 形相似求出重合部分的面積．當(dāng) 5 秒 ≤t≤8 秒時，利用二次函數(shù)求出重合部分面積的最大值． 解： (1) 如圖①，作 PE⊥ QR， E 為垂 足．∵ PQ＝ PR，∴ QE＝ RE＝ 1 QR＝ 4cm. 2 在 Rt△ PEQ 中， PE＝ 52－ 42＝3(cm) ．當(dāng) t ＝ 3 秒

13、時， QC＝ 3cm.設(shè) PQ 與 DC 交于點 G.∵ PE∥DC ，∴△ QCG∽△ QEP.∴ S ＝ S△QEP 3 2 △ ＝1×4×3＝ 6，∴ S＝( 3 2× 6＝ ( ).∵S QEP 2 ) 4 4 27 2 8 (cm )； (2)如圖②，當(dāng) t＝ 5 秒時， CR＝ 3cm.設(shè) PR 與 DC 交于 G，由△ RCG∽△ REP，可求 出 CG＝ 9，∴ S△RCG＝ 1× 3× 9＝ 27(cm 2)．又 4248 ∵ S△

14、 PQR＝ 1× 8× 3＝12(cm 2)，∴ S＝ S△PQR－ 2 27 69 2 S△ RCG＝ 12－ 8 ＝ 8 (cm )； 圖 ③  (3) 如圖③，當(dāng) 5 秒≤ t≤ 8 秒時， QB＝t － 5，RC＝ 8－ t.設(shè) PQ 交 AB 于點 H， PR 交 CD 于點 G.由△ QBH ∽△ QEP， EQ＝ 4，∴ BQ ∶ EQ ＝ (t－ 5)∶ 4，∴ S△ BQH ∶ S△ PEQ ＝ (t － 5) 2 2 3 2

15、∶ 4 ，又 S△PEQ＝ 6，∴ S△ QBH ＝ (t－5) . 8 3 2 由△ RCG∽△ REP，同理得 S△ RCG＝8(8－ t) ， ∴ S＝ 12－ 3 (t－ 5) 2 3 2 ＝－ 3 2 39 t－ 8 － (8－ t) t ＋ 4 8 4 39 171 4

16、 ＝ 13時， S 最大， S 3 8 .當(dāng) t＝－ ） 2 2×（－ 4 2 的最大值＝ 4ac－ b ＝165 2 )． 4a 16 (cm 方法總結(jié)： 本題是一個圖形運(yùn)動問題，解題的方法是將各個時刻的圖形分別畫出，由 “ 靜 ” 變 “ 動” ，再設(shè)法求

17、解，這種分類畫圖的方法在解動態(tài)的幾何問題時非常有效． 探究點三： 利用二次函數(shù)解決拱橋問題 一座拱橋的輪廓是拋物線形 (如圖 ① )，拱高 6m，跨度 20m ，相鄰兩支柱間的距離均為 5m. (1) 將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中 (如圖② )，求拋物線的解析式； (2) 求支柱 EF 的長度； (3) 拱橋下地平面是雙向行車道 (正中間是一條寬 2m 的隔離帶 )，其中的一條行車道能否并排行駛?cè)v寬 2m、高 3m 的汽車 (汽車間的間隔忽略不計 )？請說明你的理由． 解析： (1)根據(jù)題目可知

18、 A， B， C 的坐 標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解； (2) 設(shè) F 點的坐標(biāo)為 (5，yF)，求出 yF，即可求出支柱 EF 的長度； (3)設(shè) DN 是隔離帶的寬， NG 是三輛車的寬度和．作 GH⊥ AB 交拋物 線于點 H ，求出點 H 的縱坐標(biāo)， 判斷是否大 第 3頁共4頁 于汽車高度即可求解． 使學(xué)生學(xué)會，而且使學(xué)生會學(xué)”的目的. 解： (1)根據(jù)題目條件， A， B， C 的坐 標(biāo)分別是 (－10，0)，(10，0)，(0， 6)．設(shè)拋 物線的解析式為 y＝ ax2 ＋c，將 B，C 的

19、坐標(biāo) 6＝ c， 解 得 代 入 y＝ ax2 ＋ c ， 得 0＝ 100a＋ c， 3 ， y＝－ 3 a＝－ 50 所以拋物線的解析式為 c＝ 6. 50 x 2＋6； (2)可設(shè) F 點的坐標(biāo)為 (5， yF)，于是 yF ＝－ 3 × 52 ＋ 6＝ 4.5，從而支柱 EF 的長度 50 是 10－ 4.5＝ 5.5(米 )； (3)如圖②，設(shè) DN 是隔離帶的寬， NG 是三輛車的寬度和， 則 G 點坐標(biāo)是 (7，0)．過 G 點作 GH ⊥ AB 交拋物線于 H 點，則 yH＝

20、－ 3 × 72＋ 6＝ 3.06＞ 3.根據(jù)拋物線的特點， 50 可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽 車． 方法總結(jié)： 利用二次函數(shù)解決拋物線形 的隧道、大橋和拱門等實際問題時， 要恰當(dāng) 地把這些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直 角坐標(biāo)系中的拋物線上， 從而確定拋物線的 解析式， 通過解析式可解決一些測量問題或 其他問題． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課 后鞏固提升”第 6 題 三、板書設(shè)計 圖形面積的最大值 1．求函數(shù)的最值的方法 2．利用二次函數(shù)求圖形面積的最大值 3．利用二次函數(shù)解決拱橋問題 由于本節(jié)課的內(nèi)容是二次函數(shù)的應(yīng)用問題， 重在通過學(xué)習(xí)總結(jié)解決問題的方法， 故而本 節(jié)課以“啟發(fā)探究式”為主線開展教學(xué)活 動，以學(xué)生動手動腦探究為主， 必要時加以 小組合作討論， 充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和 主動性，突出學(xué)生的主體地位， 達(dá)到“不但 第 4頁共4頁