《圓周角和直徑的關(guān)系及圓內(nèi)接四邊形》教案北師版九下

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1、 3.4 圓周角和圓心角的關(guān)系 第 2 課時(shí) 圓周角和直徑的關(guān)系及圓內(nèi)接四邊形 1．掌握?qǐng)A周角和直徑的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用解決問(wèn)題； (重點(diǎn) ) 2．培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及理解問(wèn)題的 能力，經(jīng)歷猜想、推理、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學(xué)習(xí)方式． (難點(diǎn) ) 一、情境導(dǎo)入 你喜歡看足球比賽嗎？你踢過(guò)足球 嗎？ 如圖②所示， 甲隊(duì)員在圓心 O 處，乙隊(duì)員在圓上 C 處，丙隊(duì)員帶球突破防守到圓上 C 處，依然把球傳給了甲，你知道為

2、什么嗎？你能用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下嗎？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：圓周角和直徑的關(guān)系 【類(lèi)型一】 利用直徑所對(duì)的圓周角是直角求角的度數(shù) 如圖， BD 是⊙ O 的直徑，∠ CBD ＝ 30°，則∠ A 的度數(shù)為 ( ) A． 30° B ． 45° C． 60° D． 75° 解析： ∵ BD 是⊙ O 的直徑，∴∠ BCD ＝ 90° .∵∠ CBD ＝30°，∴∠ D＝ 60°，∴ ∠ A＝ ∠D ＝60° .故選 C. 方法總結(jié)： 在圓中，如果有直徑，一般  要找直徑所對(duì)的圓周角， 構(gòu)造直角三

3、角形解題． 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》 本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 3 題 【類(lèi)型二】 作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題 如圖，點(diǎn) A、B、D、 E 在⊙ O 上，弦 AE、BD 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) C.若 AB 是⊙ O 的直徑， D 是 BC 的中點(diǎn)． (1) 試判斷 AB、AC 之間的大小關(guān)系， 并給出證明； (2) 在上述題設(shè)條件下，當(dāng)△ ABC 為正三角形時(shí)，點(diǎn) E 是否為 AC 的中點(diǎn)？為什么？ 解析： (1)連接 AD，先根據(jù)圓周角定理求出 ∠ ADB ＝ 90°，再根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)判斷

4、； (2)連接 BE，根據(jù)圓周角定理求出 ∠ AEB＝ 90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求解． 解： (1)AB＝ AC.證明如下：連接 AD ， ∵ AB 是⊙ O 的直徑，∴∠ ADB ＝ 90°， 即 AD ⊥ BC.∵ BD＝DC ，∴ AD 垂直平分 BC， ∴ AB＝ AC； (2) 當(dāng)△ ABC 為正三角形時(shí)， E 是 AC 的 中點(diǎn)．理由如下：連接 BE，∵ AB 為⊙ O 的直徑，∴∠ BEA＝ 90°，即 BE⊥ AC.∵△ ABC 為正三角形，∴ AE ＝EC，即 E 是 AC 的中點(diǎn)． 方法總結(jié)： 在解決圓的問(wèn)題時(shí)， 如果有直徑往往考慮作輔助線

5、， 構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角． 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》 本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 6 題 探究點(diǎn)二：圓內(nèi)接四邊形 第 1頁(yè)共3頁(yè) 【類(lèi)型一】 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的運(yùn)用 如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙ O， 點(diǎn) E 是 CB 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， ∠ EBA＝ 125°， 則∠ D＝( ) A．65° B．120° C．125 ° D．130 ° 解析： 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得 ∠ FGD ＝ ∠ ACD ，然后根據(jù)垂徑定理推知 AB 是

6、 CD 的垂直平分線， 則 ∠ADC ＝ ∠ ACD. 故∠FGD ＝∠ADC. 證明： ∵四邊形 ACDG 內(nèi)接于⊙ O，∴ 解析： ∵∠ EBA ＝ 125 °，∴∠ ABC ＝ ∠ FGD ＝∠ ACD.又∵ AB 為⊙ O 的直徑， CF 180°－ 125°＝ 55°.∵四邊形 ABCD 內(nèi)接 ⊥ AB 于 E，∴ AB 垂直平分 CD，∴AC＝ AD， 于 ⊙ O，∴∠ D＋ ∠ ABC＝ 180°，∴∠ D＝ ∴∠ ADC ＝∠ ACD，∴∠ FGD ＝∠ ADC . 180°－ 55°＝ 125°.故選 C. 方

7、法總結(jié)： 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通 方法總結(jié)： 解決問(wèn)題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接 角相等關(guān)系的重要依據(jù)． 四邊形的對(duì)角互補(bǔ)這一性質(zhì)． 【類(lèi)型四】 圓內(nèi)接四邊形、圓周角、 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課 相似三角形和三角函數(shù)的綜合 堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 7 題 如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙ O， 【類(lèi)型二】 圓內(nèi)接四邊形與圓周角的 ︵ 綜合 AB 為⊙ O 的直徑，點(diǎn) C 為 BD 的中點(diǎn)， AC、 如圖，在⊙ O 的內(nèi)接四邊形 ABCD BD 交于點(diǎn) E. 中，∠ BOD＝ 120°，那么∠ BCD 是 ( )

8、(1) 求證：△ CBE ∽△ CAB； A． 120° B． 100° (2) 若 S△CBE ∶ S△CAB ＝1∶ 4，求 sin∠ABD 的值． C． 80° D ． 60° 解析：∵∠ BOD＝ 120°，∴∠ A＝ 60°， ∴∠ C＝ 180°－ 60°＝ 120°，故選 A. 方法總結(jié)： 解決問(wèn)題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和圓周角的性質(zhì)． 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 8 題 【類(lèi)型三】 圓內(nèi)接四邊形與垂徑定理的綜合 如圖，AB 為⊙ O

9、的直徑， CF⊥ AB 于 E，交⊙ O 于 D， AF 交⊙ O 于 G.求證： ∠ FGD ＝∠ ADC .  解析： (1) 利用圓周角定理得出 ∠DBC ＝ ∠ BAC，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等得出兩三角形相似，直接證明即可； (2) 利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方，得出 AC∶ BC＝ BC∶ EC＝ 2∶1，再利用三角形中 位線的性質(zhì)以及三角函數(shù)知識(shí)得出答案． ︵ (1) 證明：∵點(diǎn) C 為 BD 的中點(diǎn)，∴∠ DBC ＝∠ BAC.在△ CBE 與△ CAB 中，∠ DBC ＝ ∠ BAC，

10、∠BCE＝∠ACB，∴△ CBE∽△ CAB； (2) 解：連接 OC交 BD 于 F 點(diǎn)，則 OC 垂直平分 BD .∵ S△CBE∶ S△ CAB＝ 1∶ 4，△ CBE ∽△ CAB，∴ AC∶ BC＝ BC∶ EC＝ 2∶1，∴ 第 2頁(yè)共3頁(yè) AC ＝4EC，∴AE∶EC＝ 3∶ 1.∵ AB 為⊙ O 的 直徑，∴∠ ADB ＝ 90°，∴ AD ∥ OC ，則 AD ∶ FC＝ AE∶ EC＝ 3∶ 1.設(shè) FC＝ a，則 AD ＝ 3a.∵ F 為 BD 的中點(diǎn)， O 為 AB 的中點(diǎn)， 1

11、 ∴ OF 是△ ABD 的中位線，則 OF＝ 2AD ＝ 1.5a，∴ OC＝OF ＋ FC＝ 1.5a＋ a＝ 2.5a，則 AB ＝2OC＝ 5a.在 Rt△ ABD 中， sin∠ ABD ＝ AD ＝ 3a＝ 3. AB 5a 5 方法總結(jié)： 圓內(nèi)接四邊形、圓周角等知 識(shí)都是和角有關(guān)的定理， 在圓中解決這方面 的問(wèn)題時(shí)考慮相等的角． 三、板書(shū)設(shè)計(jì) 圓周角和直徑的關(guān)系及圓內(nèi)接四邊形 1．圓周角和直徑的關(guān)系 2．圓內(nèi)接四邊形的概念和性質(zhì) 本節(jié)課采用問(wèn)題情境——自主探究——拓 展應(yīng)用的課堂教學(xué)模式， 以問(wèn)題為主，配合 多媒體輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效思 考．在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)問(wèn)題串啟發(fā)引導(dǎo)， 學(xué)生自主探究，創(chuàng)設(shè)情境等多種教學(xué)方式， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣， 調(diào)動(dòng)課堂氣氛， 收到了 很好的教學(xué)效果 . 第 3頁(yè)共3頁(yè)