高中數(shù)學(xué)：第3章 三角函數(shù)的應(yīng)用 素材（蘇教版必修4）

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1、12 有一個人，無論你到哪里都舍不下對你的牽掛，她愿把自己的一生無私地奉獻給你；有一種愛，它讓你肆意地索取和享用，卻不要你任何的回報這一個人叫“母親”，這一種愛叫“母愛”. 走進附中，走近北大走進附中，走近北大.3 三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用.1 .在下圖中，點在下圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為為3cm，周期為周期為3s，且物體向右運動到，且物體向右運動到距離平衡位距離

2、平衡位置最遠時開始計時置最遠時開始計時.(1)求物體對平衡位置的位移求物體對平衡位置的位移x(cm)和時間和時間t(s)之間的之間的函數(shù)關(guān)系；函數(shù)關(guān)系；(2)求該物體在求該物體在t=5s時的位置時的位置.解解 (1)設(shè)設(shè)x和和t之間的函數(shù)關(guān)系為之間的函數(shù)關(guān)系為: x=Asin(t+)(0，02). 1.3.4 三角函數(shù)的應(yīng)用三角函數(shù)的應(yīng)用O4即即 當當t=0時，有時，有 x=3sin=3，即即sin=1.又又02，故故可可得得 = ，2所求的函數(shù)關(guān)系為所求的函數(shù)關(guān)系為: :22x = 3sin(t +)x = 3cost.323(2)令令t=5，得得x=3cos =1.5，該該該該物物體體在在

3、t=5s 時時的的位位置置在在點點O的的左左側(cè)側(cè)且且距距O點點1.5cm處處.1 03則由則由22T = 3 =.3 由題設(shè)知振幅為由題設(shè)知振幅為3cm，所以所以A=3，且物體向右運動到距離平衡位置最遠時開始計時且物體向右運動到距離平衡位置最遠時開始計時.5OPP023 2. 一半徑為一半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心的水輪如圖所示，水輪圓心O 距離距離水面水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，如果當水輪上圈，如果當水輪上點點P 從水中浮現(xiàn)時從水中浮現(xiàn)時(圖中點圖中點P0)開始計算時間開始計算時間.(1)將點將點P距離水面的高度距離水面的高度z(m)表示時間表示時間t(s)

4、的函數(shù)的函數(shù);(2)點點P第一次達到最高點大約要多長時間？第一次達到最高點大約要多長時間？xy解解 (1)不不妨妨設(shè)設(shè)水水輪輪沿沿逆逆時時針針方方向向旋旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)，如如圖圖所所示，示，建建立立平平面面直直角角坐坐標標系系. 設(shè)設(shè)角角 ( 0)是是以以O(shè)x為為始始邊，邊，OP0為為終終邊邊的的角角.2由由OP在在ts內(nèi)所轉(zhuǎn)過內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角的角為為 ，可知以，可知以O(shè)x為始邊，為始邊， OP為終邊為終邊的角為的角為42 2 ()t= t6 01 52 t+1 5 ，6則則2z3sin(t + )2.15 當當t = 0時時，z =0，可得可得2sin.3 因為因為 ，所以，所以0.73， 02故所求函

5、數(shù)關(guān)系式為故所求函數(shù)關(guān)系式為2z = 3sin(t0.73)+2.15(2)令令 得得2z3sin(t0.73)2515 ，2sin(t0.73)1.152t0.73152，取取解得解得t5.5.答答 點點P第一次達到最高點大約需要第一次達到最高點大約需要5.5s.2t +15故故P點縱坐標為點縱坐標為3sin( )，7 3. 海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫現(xiàn)象叫潮汐潮汐，一般的早潮叫，一般的早潮叫潮潮，晚潮叫，晚潮叫汐汐，在通，在通常情況下，船在漲潮時候駛進航道，靠近船塢；常情況下，船在漲潮時候駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋，

6、下面給出了某港在某季卸貨后落潮時返回海洋，下面給出了某港在某季節(jié)每天幾個時刻的水深節(jié)每天幾個時刻的水深. (1)選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點時的水深的近與時間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點時的水深的近似值似值;時刻時刻水深水深/m時刻時刻水深水深/m時刻時刻水深水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.08(2) 一條貨船的吃水深度一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離船底與水面的距離)為為4m，安全條例規(guī)定至少要有安全條

7、例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙的安全間隙(船底與海船底與海底的距離底的距離)，該船何時能進入港口？，該船何時能進入港口？(3) 若船的吃水深度為若船的吃水深度為4m，安全間隙為，安全間隙為1.5m的的 ，該船在該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m的的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？將船駛向較深的水域？分析分析 (1)考察數(shù)據(jù)，可選用正弦函數(shù)，再利用待定考察數(shù)據(jù)，可選用正弦函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解；系數(shù)法求解； (2)在涉及三角不等式時，可利用圖象求解在涉及三角不等式時，可利用圖象求

8、解. 解解 (1)可設(shè)所求函數(shù)為可設(shè)所求函數(shù)為f(x)=Asinx+k，由已知數(shù)由已知數(shù)據(jù)求得據(jù)求得A=2.5，k=5，T=12，故故f(x)=2.5sin( x)+5.62 =T6，xyO241261839152152.57.59在整點時的水深近似為在整點時的水深近似為:1:00；5:00；13:00；17:00為為 6.3m；2:00；4:00；14：00；16:00為為 7.2m；7:00；11:00；19:00；23:00為為 3.7m；8:00；10:00；20:00；22:00為為 2.8m；(2) 由由2.5sin( x)+55.5，得得6s in 0 .26x畫畫出出y=sin

9、( x)的的圖圖象象，(如如圖圖所所示示)由由圖圖象象可可得得65101520 xyO1-1y=sin( x)6y=0.2 0.4 x5.6， 或或 12.4x17.6.TT105101520 xyO1-1y=sin( x)6y=0.12x+0.44故該船在故該船在0：24至至5：36和和12：24至至17：36期間可期間可以進港以進港.(3) 若若2x24, x時刻吃水深度為時刻吃水深度為h(x)=40.3(x2)，由由f(x)h(x)+1.5，得得sin x 0 .4 40 .1 2 x .6 畫畫出出y=sin 和和y=0.440.12x的的圖圖象象(如如圖圖)，6x 由圖象可知當由圖象

10、可知當x=6.7時，即時，即6：42時，該船必須停時，該船必須停止卸貨，將船駛向較深的水域止卸貨，將船駛向較深的水域.11 (04年湖北卷年湖北卷)設(shè)設(shè)y=f(t)是某港口的水的深度是某港口的水的深度y(cm)關(guān)于時間關(guān)于時間t(h)的函數(shù)的函數(shù)，其中其中0t24 ，下表是該港口下表是該港口某一天從某一天從0時至時至24時記錄的時間時記錄的時間t與水深與水深y的關(guān)系：的關(guān)系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1A經(jīng)長時間觀察，函數(shù)經(jīng)長時間觀察，函數(shù)y=f(t)的圖像可以近似地看作的圖像可以近似地看作成函數(shù)成函數(shù)y=Asin(x+)+k的圖像，下面函數(shù)中，最的圖像，下面函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是能近似表示表中數(shù)據(jù)間的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是 ( )6 A. y=3sin t+12 ，t0，24 B. y=3sin( t+ )+12，t0 ，24 C. y=3sin t+12，t0 ，24 D. y=3sin( t + )+12 ，t0，24612122要有挖山不要有挖山不止的精神！止的精神！12