9、，n>|=.求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.
6.【2017山東，理17】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點.
（Ⅰ）設(shè)是上的一點，且，求的大??；
（Ⅱ）當，，求二面角的大小.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.
思路二：
以為坐標原點，分別以，，所在的直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
寫出相關(guān)點的坐標，求平面的一個法向量，平面的一個法向量
計算即得.
（Ⅱ）解法一：
取的中點，連接，，.
因為，
所以四邊形為菱形，
所以.
取中點，連接，，.
則，，
10、所以為所求二面角的平面角.
又，所以.
在中，由于，
由余弦定理得，
所以，因此為等邊三角形，
故所求的角為.
解法二：
以為坐標原點，分別以，，所在的直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
因此所求的角為.
【考點】1.垂直關(guān)系.2. 空間角的計算.
【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，明確角的構(gòu)成.立體幾何中角的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本
11、運算能力等.
7.【2017北京，理16】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（I）求證：M為PB的中點；
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）詳見解析：（Ⅱ） ；（Ⅲ）
【解析】
（III）由題意知，，.
設(shè)直線與平面所成角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
【考點】1.線線，線面的位置關(guān)系；2.向量法.
【名師點睛】本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，
12、全面考查立體幾何中的證明與求解，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問題是一種成熟的方法，要注意建立適當?shù)目臻g直角坐標系以及運算的準確性.
8.【2017天津，理17】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2.
（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；
（Ⅲ）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.
【答案】 （1）證明見解析（2） （3） 或
試題解析：如圖，以A為原點，分別以，，方向
13、為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得
A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.
（Ⅰ）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量，
則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得.
因為平面BDE，所以MN//平面BDE.
【考點】直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角
【名師點睛】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準，
14、特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點到平面的距離都很容易.
9．【2016高考新課標2理數(shù)】如圖，菱形的對角線與交于點，，點分別在上，，交于點．將沿折到位置，．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.
【解析】
試題分析：（Ⅰ）證，再證，最后證；（Ⅱ）用向量法求解.
試題解析：（I）由已知得，，又由得，故.
因此，從而.由,得.
由得.所以，.
于是，，
故.
又，而，
所以.
（II）如圖，以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，
則，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，
所以可
15、以取.設(shè)是平面的法向量，則，
即，
所以可以取.于是， .
因此二面角的正弦值是.
考點：線面垂直的判定、二面角.
【名師點睛】證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α?b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性質(zhì)．線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直．
求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．
10．【2016高考山東理數(shù)】在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺的一條母線.
（I）已知G,H分別
16、為EC，F(xiàn)B的中點，求證：GH∥平面ABC；
（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
【解析】
試題分析：（Ⅰ）根據(jù)線線、面面平行可得與直線GH與平面ABC平行；（Ⅱ）立體幾何中的角與距離的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，其中解法一建立空間直角坐標系求解；解法二則是找到為二面角的平面角直接求解.
試題解析：
（I）證明：設(shè)的中點為,連接,
在,因為是的中點，所以
又所以
在中，因為是的中點，所以，
又,所以平面平面，
因為平面，所以平面.
（II）解法一：
連接,則平面，
又且是圓的直
17、徑，所以
以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意得，，過點作于點，
所以
可得
故.
設(shè)是平面的一個法向量.
由
可得
可得平面的一個法向量
因為平面的一個法向量
所以.
所以二面角的余弦值為.
解法二：
連接，過點作于點，
則有,
又平面，
所以FM⊥平面ABC,
可得
過點作于點，連接，
可得,
從而為二面角的平面角.
又,是圓的直徑，
所以
從而，可得
所以二面角的余弦值為.
考點：1.平行關(guān)系；2. 異面直線所成角的計算.
【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平
18、面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，給出規(guī)范的證明.立體幾何中的角與距離的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運算能力等.
11．【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分13分）
如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.
（I）求證：EG∥平面ADF；
（II）求二面角O-EF-C的正弦值；
（III）設(shè)H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.
【答案】（
19、Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
試題分析：（Ⅰ）利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，利用法向量與直線方向向量垂直進行論證（Ⅱ）利用空間向量求二面角，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角相等或互補關(guān)系求正弦值（Ⅲ）利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角互余關(guān)系求正弦值
試題解析：依題意，，如圖，以為點，分別以的方向為軸，軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意可得，.
（I）證明：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得，又，可得，又因為直線，所以.
20、
（II）解：易證，為平面的一個法向量.依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得.
因此有，于是，所以，二面角的正弦值為.
（III）解：由，得.因為，所以，進而有，從而，因此.所以，直線和平面所成角的正弦值為.
考點：利用空間向量解決立體幾何問題
12．【2016年高考北京理數(shù)】（本小題14分）
如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，
，，.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，
【解析】
試題分析：（1）由面面垂直性質(zhì)定
21、理知AB⊥平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知，再由線面垂直判定定理可知平面；（2）取的中點，連結(jié)，，以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點共線，設(shè)，根據(jù)平面，即，求的值，即可求出的值.
試題解析：（1）因為平面平面，，
所以平面，所以，
又因為，所以平面；
（2）取的中點，連結(jié)，，
因為，所以.
又因為平面，平面平面，
所以平面.
因為平面，所以.
因為，所以.
如圖建立空間直角坐標系，由題意得，
.
設(shè)平面的法向量為，則
即
令，則.
所以.
又，所以.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
22、
（3）設(shè)是棱上一點，則存在使得.
因此點.
因為平面，所以平面當且僅當，
即，解得.
所以在棱上存在點使得平面，此時.
考點：1.空間垂直判定與性質(zhì)；2.異面直線所成角的計算；3.空間向量的運用.
【名師點睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用：當兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而可以證明線線垂直(必要時可以通過平面幾何的知識證明垂直關(guān)系)，構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點到面的距離等.
13．【2016高考新課標3理數(shù)】如圖，四棱錐中，地面，，，，為線段上一點，，為的中點．
（I）證明平面；
（II）求直線與平面所成
23、角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．
【解析】
試題分析：（Ⅰ）取的中點，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（Ⅱ）以為坐標原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，然后通過求直線的方向向量與平面法向量的夾角來處理與平面所成角．
試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，.
又，故，四邊形為平行四邊形，于是.
因為平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）取的中點，連結(jié)，由得，從而，且.
以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由題意知，，，，，
，，.
設(shè)為平面的法向量，則，即，可取，
24、
于是.
考點：1、空間直線與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、棱錐的體積．
【技巧點撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求解空間中的角和距離常常可通過建立空間直角坐標系，利用空間向量中的夾角與距離來處理．
14．【2016高考浙江理數(shù)】(本題滿分15分)如圖,在三棱臺中,平面平面
,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求證：EF⊥平面ACFD；
(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
【答案】（I）證明見解析；（II）．
【解析】
試題分析：（I
25、）先證，再證，進而可證平面；（II）方法一：先找二面角的平面角，再在中計算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空間直角坐標系，再計算平面和平面的法向量，進而可得二面角的平面角的余弦值．
試題解析：（I）延長，，相交于一點，如圖所示．
因為平面平面，且，所以，
平面，因此，
．
又因為，，，所以
為等邊三角形，且為的中點，則
．
所以平面．
（II）方法一：
過點作，連結(jié)．
因為平面，所以，則平面，所以．
所以，是二面角的平面角．
在中，，，得．
在中，，，得．
所以，二面角的平面角的余弦值為．
方法二：
如圖，延長，，相交于一點，則為等邊三角形
26、．
取的中點，則，又平面平面，所以，平面．
以點為原點，分別以射線，的方向為，的正方向，
建立空間直角坐標系．
由題意得
，，，
，，．
因此，
，，．
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為．
由，得，??；
由，得，?。?
于是，．
所以，二面角的平面角的余弦值為．
考點：1、線面垂直；2、二面角．
【方法點睛】解題時一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯誤．證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線．
15.【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分）
如圖，在四棱
27、錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E為邊AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.
（Ⅰ）在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；
（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.
【解析】
試題分析：（Ⅰ）探索線面平行，根據(jù)是線面平行的判定定理，先證明線線平行，再得線面平行，而這可以利用已知的平行，易得CD∥EB；從而知為DC和AB的交點；（Ⅱ）求線面角，可以先找到這個角，即作出直線在平面內(nèi)的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知圖形中的垂直建
28、立空間直角坐標系，用向量法求出線面角（通過平面的法向量與直線的方向向量的夾角來求得）．
試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.
延長AB，DC，相交于點M（M∈平面PAB），點M即為所求的一個點.理由如下：
由已知，BC∥ED，且BC=ED.
所以四邊形BCDE是平行四邊形.，所以CD∥EB
從而CM∥EB.
又EB平面PBE，CM平面PBE，
所以CM∥平面PBE.
（說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）
（Ⅱ）方法一：
由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，
所以CD⊥平面PAD.
從而CD⊥PD.
所以
29、∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以∠PDA=45°.
設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.
過點A作AH⊥CE，交CE的延長線于點H，連接PH.
易知PA⊥平面ABCD，
從而PA⊥CE.
于是CE⊥平面PAH.
所以平面PCE⊥平面PAH.
過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE.
所以∠APH是PA與平面PCE所成的角.
在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，
所以AH=.
在Rt△PAH中，PH== ，
所以sin∠APH= =.
方法二：
由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，
所以CD⊥平面PAD.
于是
30、CD⊥PD.
從而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以∠PDA=45°.
由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.
設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.
作Ay⊥AD，以A為原點，以 ,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，
所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）
設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，
由 得 設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1).
設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα= = .
所以直線PA與平面P
31、CE所成角的正弦值為 .
考點：線線平行、線面平行、向量法.
【名師點睛】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計算能力.證明線面平行時，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線，而這條平行線一般是由過面外的直線的一個平面與此平面相交而得，證明時注意定理的另外兩個條件（線在面內(nèi)，線在面外）要寫全，否則會被扣分，求線面角（以及其他角），一種方法可根據(jù)定義作出這個角（注意還要證明），然后通過解三角形求出這個角．另一種方法建立空間直角坐標系，用向量法求角，這種方法主要是計算，不需要“作角、證明”，關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可．
16．【2015高考四川
32、，理14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點.設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 .
【答案】
【解析】建立坐標系如圖所示.設(shè)，則.設(shè)，則，由于異面直線所成角的范圍為，所以. 令，則，當時取等號.所以，當時，取得最大值.
【2018年高考命題預(yù)測】
縱觀2017各地高考試題，高考對立體幾何的考查，可以發(fā)現(xiàn)均以規(guī)則幾何體為背景，這樣建立空間直角坐標系較為容易，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力以及基本運算能力. 從高考試題來看，空間向量的坐標及運算，空間向量的應(yīng)用，重點
33、考查空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離.課本淡化了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度，題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考查，但有時選擇題、填空題也涉及，難度中等偏高，從高考試題來看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱點，題型主要為解答題，難度屬于中等，主要考查向量的坐標運算，以及向量的平行與垂直的充要條件，如何用向量法解決空間角問題等，同時注重考查學(xué)生的空間想象能力、運算能力．立體幾何題型一般是一個解答題，1至2個填空或選擇題．解答題一
34、般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點是考查空間想象能力和推理運算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來求解．立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力 ，近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問題.預(yù)測2017年高考，可能以錐體為幾何背景，第一問以線面平行，面面平行為主要考查點，第二問可能給出一個角，計算角的問題，常見的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類試題有一定的難度和需要
35、一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；求距離，試題中常見的是點與點之間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，直線與直線的距離，直線到平面的距離，要特別注意解決此類問題的轉(zhuǎn)化方法，有可能求點的位置或設(shè)置一個探索性命題，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問題、解決問題的能力．復(fù)習(xí)建議：空間圖形中的角與距離，先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機統(tǒng)一.解題時注意各種角的范圍.異面直線所成角的范圍是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和補形法；直線與平面所成角的范圍是0°≤θ≤90°，其解法是作垂線、找射影；二面角0°≤θ≤180
36、°.平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題，要對照翻折（或展開）前后兩個圖形，分清哪些元素的位置（或數(shù)量）關(guān)系改變了，哪些沒有改變.
【2018年高考考點定位】
對立體幾何中的向量方法部分，主要以解答題的方式進行考查，而且偏重在第二問或者第三問中使用這個方法，考查的重點是使用空間向量的方法進行空間角和距離等問題的計算，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的運算問題．
【考點1】空間向量
【備考知識梳理】
1．空間向量的概念
向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量.如位移、速度、力等
相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的
37、有向線段表示同一向量或相等的向量.
說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；②平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移.
2．向量運算和運算率
，，
加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：
說明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立
3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.平行于記作∥.
注意：當我們說、共線時，對應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也
38、可能是平行直線；當我們說、平行時，也具有同樣的意義.
共線向量定理：對空間任意兩個向量（≠）、，∥的充要條件是存在實數(shù)使＝
注：⑴上述定理包含兩個方面：①性質(zhì)定理：若∥（≠0），則有＝，其中是唯一確定的實數(shù).②判斷定理：若存在唯一實數(shù)，使＝（≠0），則有∥（若用此結(jié)論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點不在（或）上）.
⑵對于確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為 ||，當>0時與同向，當<0時與反向的所有向量
⑶若直線l∥，，P為l上任一點，O為空間任一點，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo)的表達式.
推論：如果 l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的
39、充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式 ①
其中向量叫做直線l的方向向量
在l上取，則①式可化為 ②
當時，點P是線段AB的中點，則 ③
①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點公式.
4．向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作∥.注意：向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別.
共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量
共面向量定理 如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y，使①
注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面.
推論：
40、空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使
④
或?qū)臻g任一定點O，有⑤
在平面MAB內(nèi)，點P對應(yīng)的實數(shù)對（）是唯一的.①式叫做平面MAB的向量表示式
又∵代入⑤，整理得
⑥
由于對于空間任意一點P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點P就在平面MAB內(nèi)；對于平面MAB內(nèi)的任意一點P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個向量、（或不共線三點M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點共面的充要條件
5．空間向量基本定理：如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的
41、有序?qū)崝?shù)組，使
說明：⑴由上述定理知，如果三個向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{，，}叫做空間的一個基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底；⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；⑷由于可視為與任意非零向量共線.與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是.
推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使
6．數(shù)量積
（1）夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點O，作，，則角∠AOB叫做向
42、量與的夾角，記作
說明：⑴規(guī)定0≤≤,因而=；
⑵如果=，則稱與互相垂直，記作⊥；
⑶在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖（3）、（4）中的兩個向量的夾角不同，
圖（3）中∠AOB=，
圖（4）中∠AOB=,
從而有==.
（2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模.
（3）向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作.即=，
向量:
（4）性質(zhì)與運算率
⑴，⑵⊥=0，⑶
（4），（5）=，（6）
7．空間向量的坐標表示及運算
(1)數(shù)量積的坐標運算
設(shè)，，則①；
②；③.
(2)共線與垂直的坐標表示
設(shè)，，
則，
43、
(均為非零向量)．
(3)模、夾角和距離公式
設(shè)，，則，.
設(shè)，則.
【規(guī)律方法技巧】
1．將四點共面問題，轉(zhuǎn)化為三個向量共面問題，利用共面向量定理來解決．
2．利用向量共線說明兩線平行時注意說明四點不共線，否則不一定正確．
3. 立體幾何中的向量方法
(1)直線的方向向量與平面的法向量的確定
①直線的方向向量：是空間一直線，是直線上任意兩點，則稱→(AB)為直線的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線的方向向量．
②平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)是平面內(nèi)兩不共線向量，為平面的法向量，則求法向量的方程組為.
4.易錯點：（1）共線向量定理中∥?存在實數(shù)使＝易忽視≠0
44、.（3）共面向量定理中，注意有序?qū)崝?shù)對()是唯一存在的．（3）一個平面的法向量有無數(shù)個，但要注意它們是共線向量，不要誤為是共面向量．
5.如何建立適當?shù)淖鴺讼担焊鶕?jù)幾何體本身的幾何性質(zhì)，恰當建立空間直角坐標系最為關(guān)鍵，如果坐標系引入的恰當，合理，即能夠容易確定點的坐標，需要總結(jié)一些建系方法.常見建系方法：
（1）借助三條兩兩相交且垂直的棱為坐標軸，如正方體，長方體等規(guī)則幾何體，一般選擇三條線為三個坐標軸，如圖1、2；
（2）借助面面垂直的性質(zhì)定理建系，若題目中出現(xiàn)側(cè)面和底面垂線的條件，一般利用此條件添加輔助線，確定z軸，如圖3；
（3）借助棱錐的高線建系等.對于正棱錐，利用定點在底面的
45、射影為底面的中心，可確定z軸，然后在底面確定互相垂直的直線分別為x，y軸.如圖4.
【考點針對訓(xùn)練】
1.一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體直觀圖．
【答案】見解析．
【解析】由已知可作出示意圖．
2. 有以下命題：①如果向量、與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個基底，那么、的關(guān)系是不共線；②為空間四點，且向量，，不構(gòu)成空間的一個基底，那么點一定共面；③已知向量，，是空間的一個基底，則向量也是空間的一個基底．其中正確的命題是____.
【答案】②③
【解析】 對于①，“如果向量、與任何向量不
46、能構(gòu)成空間向量的一個基底，那么、的關(guān)系一定是共線”，所以①錯誤．②③正確．
【考點2】空間角，距離的求法
【備考知識梳理】
1．空間的角
(1)異面直線所成的角
如圖，已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線.則把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)．異面直線所成的角的范圍是.
(2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．
①直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；②直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是的角．直線與平面所成角的范圍是.
(3)二面角的平面角
如圖在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內(nèi)分別
47、作垂直于棱的射線和，則叫做二面角的平面角．二面角的范圍是.
(4)等角定理
如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等.
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.
2．空間向量與空間角的關(guān)系
(1)設(shè)異面直線和的方向向量分別為和，則與的夾角滿足.
(2)設(shè)直線的方向向量和平面的法向量分別為，則直線與平面的夾角滿足.
(3)求二面角的大小
(ⅰ)如圖①，是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大?。?
(ⅱ)如圖②③，分別是二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足或．
3.空間距離
48、:
（1）兩條異面直線的距離
兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離；常有求法①先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長即可．②找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離．③找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離．④根據(jù)異面直線間的距離公式EF ＝（“±”符號由實際情況選定）求距離.
（2）點到平面的距離
點Ｐ到直線的距離為點Ｐ到直線的垂線段的長，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為Ａ，過Ａ作的垂線，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線定理可得線段ＰＢ即為點Ｐ到直線的距離.在直角三角形ＰＡＢ中求
49、出ＰＢ的長即可.常用求法①作出點Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長；②轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為，則點Ａ，Ｂ到平面的距離之比也為．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時，點Ａ，Ｂ到平面的距離相等；③體積法
（3）直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；
（4）平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離.
【規(guī)律方法技巧】
1．空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角.
（1）異面直線所成的角的范圍是.求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把
50、異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決
具體步驟如下：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用三角形來求角; ④補形法：將空間圖形補成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ.
（2）直線與平面所成的角的范圍是.求線面角方法:
①利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑.
②利用三棱錐的等體積，省去垂足,
在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時可以利用求點面
51、距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因為垂線段的長度實際就是點面距h,利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進行求解.
③妙用公式，直接得到線面角
課本習(xí)題出現(xiàn)過這個公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個公式在求解一些選擇填空題時，可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個角的位置，不能張冠李戴.
④萬能方法，空間向量求解不用找角
設(shè)AB是平面的斜線，BO是平面的垂線，AB與平面所成的角,向量與的夾角，則.
注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若θ為線面角，α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；
52、
（3）確定點的射影位置有以下幾種方法：
①斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；
②如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個角的平分線上；
③兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上；
④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點在底面上的射影的位置：
a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心；
b. 如果頂點到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點落在
53、底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；
c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
（4）二面角的范圍，解題時要注意圖形的位置和題目的要求.求二面角的方法:
①直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個角就是所求二面角的平面角,然后再計算這個角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角,自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂
54、足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角, 自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角；③利用定義確定平面角, 在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；
②射影面積法.利用射影面積公式＝ ；此方法常用于無棱二面角大小的計算；對于無棱二面角問題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等.
③空間向量法:法一: 是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大?。?
法二：設(shè),是二面角的兩個半平面的法向量，其
55、方向一個指向內(nèi)側(cè)，另一個指向外側(cè)（同等異補），則二面角的平面角或.
2. 求距離的關(guān)鍵是化歸.即空間距離向平面距離化歸，具體方法如下：
（1）求空間中兩點間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形.
（2）求點到直線的距離和點到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法.
（3）求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點點距、點線距或點面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積
56、等積法計算求之.異面直線上兩點間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為q ，它們的公垂線AA′的長度為d ，在a 上有線段A′E ＝m ，b 上有線段AF ＝n ，那么EF ＝（“±”符號由實際情況選定）
3.求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點：
①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置.
②作線面角的方法除平移外，補形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理.
③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種：
根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線
57、定理（或其逆定理）作，難點在于找到面的垂線.解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面.作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則.此外在解答題中一般不用公式“＝ ”求二面角否則要適當扣分.
④求點到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點在面內(nèi)的射影，此時?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì).而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法.
⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離.
【考點針對訓(xùn)練】
1.已知平行六面體ABCD - A1B1C1D1中，底面
58、ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，則異面直線AC1與A1D所成角的余弦值_____________.
【答案】
【解析】設(shè)向量 ，則，，
.
2.在梯形中，，，，，如圖把沿翻折，使得平面平面.
（Ⅰ）求證:平面；
（Ⅱ）若點為線段中點,求點到平面的距離．
【解析】（Ⅰ）證明:因為,，,,所以,，, ,所以.因為平面平面,平面平面,所以平面．
(Ⅱ)由（Ⅰ）知.以點為原點，所在的直線為軸,所在直線為軸，如圖建立空間直角坐標系.則,,,,．所以,,．設(shè)平面的法向量為,則且,所以令,得平面的一個法向量為 ，所以點到平面的距離為．
59、【考點3】空間向量的應(yīng)用
【備考知識梳理】
1. 直線的方向向量：是空間一直線，是直線上任意兩點，則稱→(AB)為直線的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線的方向向量．
2. 如何確定平面的法向量
（1）首先觀察是否與存在于面垂直的法向量，若有可直接確定，若不存在，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法；
（2）待定系數(shù)法：由于法向量沒有規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，于是可把法向量的某個坐標設(shè)為1，再求另兩個坐標.由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的兩條相交向量，設(shè)由解方程組求得.
【規(guī)律方法技巧】
1.用向量證明空間中的平行關(guān)系
①設(shè)直線和的方向向量分別為和，則∥ (或與重
60、合)? ∥.
②設(shè)直線的方向向量為，與平面共面的兩個不共線向量和，則∥或??存在兩個實數(shù)，使.
③設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則l∥α或l?α?⊥.
④設(shè)平面和的法向量分別為，，則α∥β?∥.
2.用向量證明空間中的垂直關(guān)系
①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為和，則l1⊥l2?⊥?.＝0.
②設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，則⊥?∥
③設(shè)平面和的法向量分別為和，則α⊥β?⊥?·＝0.
3.用法向量球距離：
（1）用法向量求異面直線間的距離：如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點E∈a，F(xiàn)∈b，則異面直線 a與b之間的距離是 ；
（2）用法向量求
61、點到平面的距離
如右圖所示，已知AB是平面α的 一條斜線，為平面α的法向量，則 A到平面α的距離為；
（3）用法向量求直線到平面間的距離
首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點到平面的距離問題
（4）用法向量求兩平行平面間的距離
首先必須確定兩個平面是否平行，這時可以在一個平面上任取一點，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點到平面的距離問題.
4. 用法向量求角
（1）用法向量求二面角
如圖，有兩個平面α與β，分別作這兩個平面的法向量與，則平面α與β所成的角跟法向量與所成的角相等或互補，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角.
（2）法向量求直線
62、與平面所成的角
要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個平面α的法向量與直線a的夾角的余弦，易知θ=或者.
5.利用空間向量坐標運算求解問題的方法：用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理；求兩點間距離或某一線段的長度，一般用向量的模來解決；解決垂直問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進行轉(zhuǎn)化．
6.易誤警示：利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補，這是利用向量求二面
63、角的難點、易錯點．
異面直線所成角范圍是(0°，90°]，若異面直線a，b的方向向量為m，n，異面直線a，b所成角為θ，則cos θ＝|cos〈m，n〉|.解題過程是：(1)建系；(2)求點坐標；(3)表示向量；(4)計算．
(1)異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系．
(2)直線與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化，所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．
求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．
【考點針對訓(xùn)練
64、】
1.如圖，在多面體ABCDEF中，正方形與梯形所在平面互相垂直，已知，，.
（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值.
【解析】（Ⅰ）在梯形中，取CD中點H，連接BH，因為，，所以四邊形ADHB為正方形，又，，所以，所以，又平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD ，，又，故平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABCD，，所以DE,DA,DC兩兩垂直.以D為坐標原點建立如圖所示直角坐標系，則，，，，，， ，設(shè)為平面BMC的法向量，則，即，可取， 又，所以 ，直線與平面所成的角的正弦值為 .
2.如圖，在中，已知在上，且又平面.
（Ⅰ）求證
65、：⊥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【解析】（Ⅰ）設(shè)，
由平面，知⊥平面.從而，在中為直角三角形，故 ,又，又平面平面，平面，故∵∴平面
（Ⅱ）以所在射線分別為軸，建立直角坐標系如圖，則由（Ⅰ）知，, ，由（Ⅰ）知平面是平面的一個法向量，
設(shè)平面的法向量為，令，則， ，由圖可知，二面角的余弦值為.
【兩年模擬詳解析】
1. 【2017年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】如圖，在四棱錐中，棱兩兩垂直，且長度均為1，
（1）若，求直線與平面所成角的正弦值；
（2）若二面角的大小為，求實數(shù)的值.
【解析】（1）以為一組基底建立如圖所示的空間直角坐標系，
66、
因為，所以，
依題意，，
所以，
平面的一個法向量為，則,所以，
取得
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（2）依題意，，，
設(shè)平面的一個法向量，
則,即，取得，
設(shè)平面的一個法向量
則,即，取得，
所以，
解得或.
因為，所以.
2. 【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測卷03（江蘇卷）】在四棱錐中，直線兩兩垂直，且．
（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；
（Ⅱ）求鈍二面角的大?。?
【解析】不妨設(shè)，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
則P（0，0，2），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），
（Ⅰ）則---------（2分）
因此異面直線與所成角的余弦值為．------------------------------------（4分）
3. 【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測卷01（江蘇卷）】（本小題滿分10分）
底面是正方形的四棱錐中中，側(cè)面底面，且是等腰直角三角形，其中，分別為線段的中點，問在線段上是否存在點，使得二面角的余弦值為，若存在，請求出點的位置；若不存在，請說明理由.
（江蘇專用）2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做01 空間向量與立體幾何試題（含解析）.doc
