2018年高考數(shù)學二輪復習 專題3 三角函數(shù)及解三角形 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課后強化訓練
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1、 專題三 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) A組 1.(2017·廣州模擬)已知sinφ=,且φ∈(,π),函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于,則f()的值為 ( B ) A.- B.- C. D. [解析] 由函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于,得到其最小正周期為π,所以ω=2,f()=sin(2×+φ)=cosφ=-=-. 2.(2015·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖像如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ( D ) A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z
2、 D.,k∈Z [解析] 由五點作圖知,k∈Z,可得ω=π,φ=,所以f(x)=cos.令2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,解得2k-<x<2k+,k∈Z,故單調(diào)減區(qū)間為,k∈Z.故選D . 3.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,對任意實數(shù)t都有f(+t)=f(-t),且f()=-3,則實數(shù)m的值等于 ( C ) A.-1 B.±5 C.-5或-1 D.5或1 [解析] 依題意得,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,于是x=時,函數(shù)f(x)取得最值,因此有±2+m=-3,∴m=-5或m=-1,選C. 4.函數(shù)y=cos(x+)+sin(-x)具有性質(zhì) ( B ) A.最
3、大值為1,圖象關(guān)于點(,0)對稱 B.最大值為,圖象關(guān)于點(,0)對稱 C.最大值為1,圖象關(guān)于直線x=對稱 D.最大值為,圖象關(guān)于直線x=對稱 [解析] y=-sinx+cosx-sinx =-(sinx-cosx)=-sin(x-), ∴最大值為,圖象關(guān)于點(,0)對稱. 5.(2017·重慶測試)設(shè)x0為函數(shù)f(x)=sin πx的零點,且滿足|x0|+f(x0+)<33,則這樣的零點有 ( C ) A.61個 B.63個 C.65個 D.67個 [解析] 依題意,由f(x0)=sin πx0=0,得πx0=kπ,k∈Z,x0=k,k∈Z.當k是奇數(shù)時,f(x0
4、+)=sin[π(k+)]=sin(kπ+)=-1,|x0|+f(x0+)=|k|-1<33,|k|<34,滿足這樣條件的奇數(shù)k共有34個;當k是偶數(shù)時,f(x0+)=sin[π(k+)]=sin(kπ+)=1,|x0|+f(x0+)=|k|+1<33,|k|<32,滿足這樣條件的偶數(shù)k共有31個.綜上所述,滿足題意的零點共有34+31=65個. 故選C. 6.(2017·開封市高三一模)已知函數(shù)f(x)=2sin(π+x)sin(x++φ)的圖象關(guān)于原點對稱,其中φ∈(0,π),則φ=____. [解析] 本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性,誘導公式. 因為f(x)=2sin(π+x)si
5、n(x++φ)的圖象關(guān)于原點對稱,所以函數(shù)f(x)=2sin(π+x)sin(x++φ)為奇函數(shù),則y=sin(x++φ)為偶函數(shù),又φ∈(0,π),所以φ=. 7.如果兩個函數(shù)的圖象平移后能夠重合,那么稱這兩個函數(shù)為“互為生成”函數(shù).給出下列四個函數(shù): ①f(x)=sinx+cosx; ②f(x)=(sinx+cosx); ③f(x)=sinx; ④f(x)=sinx+. 其中為“互為生成”函數(shù)的是__①④__.(填序號). [解析] 首先化簡題中的四個解析式可得:①f(x)=sin(x+),②f(x)=2sin(x+),③f(x)=sinx,④f(x)=sinx+,可知③f(
6、x)=sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合,單純經(jīng)過平移不能完成,必須經(jīng)過伸縮變換才能實現(xiàn),所以③f(x)=sinx不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù),同理①f(x)=sin(x+)的圖象與②f(x)=2sin(x+)的圖象也必須經(jīng)過伸縮變換才能重合,而④f(x)=sinx+的圖象向左平移個單位,再向下平移個單位即可得到①f(x)=sin(x+)的圖象,所以①④為“互為生成”函數(shù). 8.已知函數(shù)f(x)=(2cos2 x-1)sin2x+cos 4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值; (2)若α∈,且f(α)=,求a的值. [解析] (1)因為f(x)=(2cos2x-1)si
7、n2x+cos4x =cos2xsin2x+cos4x =(sin4x+cos4x) =sin(4x+) 所以f(x)的最小正周期為,最大值為. (2)因為f(α)=,所以sin(4α+)=1. 因為α∈(,π), 所以4α+∈(,), 所以4α+=,故α=. 9.某同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分數(shù)據(jù),如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式;
8、 (2)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個對稱中心為(,0),求θ的最小值. [解析] (1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A=5,ω=2,φ=-,數(shù)據(jù)補全如下表: ωx+φ 0 π 2π x π Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且函數(shù)解析式為f(x)=5sin(2x-). (2)由(1)知f(x)=5sin(2x-), 則g(x)=5sin(2x+2θ-). 因為函數(shù)y=sin x圖象的對稱中心為(kπ,0),k∈Z. 令2x+2θ-=kπ, 解
9、得x=+-θ,k∈Z. 由于函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點(,0)成中心對稱, 所以令+-θ=, 解得θ=-,k∈Z. 由θ>0可知,當k=1時,θ取得最小值. B組 1.(2016·四川卷)為了得到函數(shù)y=sin(2x-)的圖象,只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點 ( D ) A.向左平行移動個單位長度 B.向右平行移動個單位長度 C.向左平行移動個單位長度 D.向右平行移動個單位長度 [解析] 因為y=sin(2x-)=sin[2(x-)],所以只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度即可,故選D. 2.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
10、0,ω>0,|φ|<)的圖象關(guān)于直線x=對稱,它的最小正周期為π,則函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心是 ( B ) A.(,1) B.(,0) C.(,0) D.(-,0) [解析] 由題意知T=π,∴ω=2, 由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱,得2×+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z). 又|φ|<,∴φ=-, ∴f(x)=Asin(2x-), 令2x-=kπ(k∈Z),則x=+π(k∈Z). ∴一個對稱中心為(,0),故選B. 3.已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-),其中x∈R,則下列結(jié)論中正確的是 ( D ) A.f(x)是最小正周期為π的偶
11、函數(shù) B.f(x)的一條對稱軸是x= C.f(x)的最大值為2 D.將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移得到函數(shù)f(x)的圖象 [解析] f(x)=cos2x+cos(2x-) =cos2x+cos2x+sin2x =sin(2x+),故選D. 4.(2017·張掖一模)定義運算:=a1a4-a2a3.將函數(shù)f(x)=(ω>0)的圖象向左平移個單位,所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù),則ω的最小值是 ( B ) A. B.1 C. D.2 [解析] 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì). 由題意可得f(x)=cosωx-sinωx=2cos(ωx+),將函數(shù)f(x)的圖象向左平移
12、個單位后得到g(x)=2cos[ω(x+)+]=2cos[ωx+]的圖象,g(x)為偶函數(shù),所以=kπ,k∈Z,所以ω的最小值是1,故選B. 5.給出下列四個命題: ①f(x)=sin(2x-)的對稱軸為x=+,k∈Z; ②函數(shù)f(x)=sinx+cosx最大值為2; ③函數(shù)f(x)=sinxcosx-1的周期為2π; ④函數(shù)f(x)=sin(x+)在[-,]上是增函數(shù). 其中正確命題的個數(shù)是 ( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析]?、儆?x-=kπ+,k∈Z, 得x=+(k∈Z),即f(x)=sin(2x-)的對稱軸為x=+,k∈Z,故①正確; ②由
13、f(x)=sinx+cosx=2sin(x+)知, 函數(shù)的最大值為2,故②正確; ③f(x)=sinxcosx-1=sin2x-1,函數(shù)的周期為π,故③錯誤; ④函數(shù)f(x)=sin(x+)的圖象是由f(x)=sinx的圖象向左平移個單位得到的,故④錯誤. 6.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<,x∈R)的圖象的一部分如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為__f(x)=2sin(x+)__. [分析] 觀察圖象,由最高點與最低點確定A,由周期確定ω,由特殊點的坐標確定φ. [解析] 由圖象知A=2,T=8=, 所以ω=,得f(x)=2sin(x+φ)
14、. 由對應點得當x=1時,×1+φ=?φ=. 所以f(x)=2sin(x+). 7.已知函數(shù)f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在(,π)上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是__[,]__. [解析] f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+), 令2kπ+≤ωx+≤2kπ+(k∈Z), 解得+≤x≤+(k∈Z). 由題意,函數(shù)f(x)在(,π)上單調(diào)遞減,故(,π)為函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的一個子區(qū)間, 故有 解得4k+≤ω≤2k+(k∈Z). 由4k+<2k+,解得k<. 由ω>0,可知k≥0, 因為k∈Z,所以k=0,故ω的取值范圍為[,]. 8.已知函
15、數(shù)f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)+2cos2x,x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-,]上的最大值和最小值. [解析] (1)∵f(x)=sin2x·cos+cos2x·sin+sin2x·cos-cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=sin(2x+)+1, ∴f(x)的最小正周期T==π. (2)由(1)知,f(x)=sin(2x+)+1. ∵x∈[-,], ∴令2x+=得x=, ∴f(x)在區(qū)間[-,]上是增函數(shù); 在區(qū)間[,]上是減函數(shù), 又∵f(-)=0,f()=+1,f()=2, ∴函
16、數(shù)f(x)在區(qū)間[-,]上的最大值為+1,最小值為0. 9.(2017·福建質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=sin xcos x+cos 2x. (1)若tan θ=2,求f(θ)的值; (2)若函數(shù)y=g(x)的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象上所有的點向右平移個單位長度而得到,且g(x)在區(qū)間(0,m)內(nèi)是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)m的最大值. [解析] (1)因為tan θ=2, 所以f(θ)=sin θcos θ+cos 2θ =sin θcos θ+(2cos2θ-1) =sin θcos θ+cos2θ- =- =-=. (2)由已知得f(x)=sin 2x+cos 2x =sin(2x+). 依題意, 得g(x)=sin[2(x-)+], 即g(x)=sin(2x-). 因為x∈(0,m), 所以2x-∈[-,2m-], 又因為g(x)在區(qū)間(0,m)內(nèi)是單調(diào)函數(shù), 所以2m-≤,即m≤,故實數(shù)m的最大值為. 10
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