備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 解答題高分寶典 專題03 概率與統(tǒng)計(jì)（核心考點(diǎn)）文

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1、 專題03概率與統(tǒng)計(jì) 核心考點(diǎn)一古典概型 古典概型是高考考查熱點(diǎn)，但一般不單獨(dú)出現(xiàn)在解答題中，常與統(tǒng)計(jì)及其他知識結(jié)合在一起考查，難度中等或中等以下. 【經(jīng)典示例】（2017山東卷文16）某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家,,和3個(gè)歐洲國家,,中選擇2個(gè)國家去旅游. （1）若從這6個(gè)國家中任選2個(gè),求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率； （2）若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國家包括但不包括的概率. 答題模板 第一步，判斷試驗(yàn)是否為古典概型； 第二步，利用列舉法或排列組合知識求出總的基本事件總數(shù)與事件包含的基本事件數(shù)； 第三步，利用公式，求出事件的概率.含有至多至少類型的概

2、率問題，可考慮其對立事件的概率，用求解． 【滿分答案】(1)由題意知,從6個(gè)國家中任選2個(gè)國家,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有： 共15個(gè), 所選2個(gè)國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：,共3個(gè), 則所求事件的概率為. (2) 從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè),其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：,共9個(gè),包括但不包括的事件所包含的基本事件有：共2個(gè).則所求事件的概率為. 【解題技巧】1.利用古典概型求事件A的概率,關(guān)鍵是要分清基本事件總數(shù)n與事件A包含的基本事件數(shù)m.如果基本事件的個(gè)數(shù)比較少,可用列舉法把古典概型試驗(yàn)所含的基本事件一一列舉出來,然后再求出事件A中的基本事件數(shù)

3、,利用公式P(A)＝求出事件A的概率。對于古典概型的概率計(jì)算問題,常見錯(cuò)誤是基本事件數(shù)列舉重復(fù)或遺漏,導(dǎo)致計(jì)數(shù)錯(cuò)誤,避免此類錯(cuò)誤發(fā)生的最有效方法是按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行列舉,如果基本事件個(gè)數(shù)比較多,可借助于列表法或樹形圖. 2.對于復(fù)雜概率的計(jì)算一般要先設(shè)出事件,準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì),常見的處理方法有： ①轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解； ②采用間接法,先求事件A的對立事件的概率,再由P(A)＝1－P()求事件A的概率. 模擬訓(xùn)練 1．某園林基地培育了一種新觀賞植物，經(jīng)過一年的生長發(fā)育，技術(shù)人員從中抽取了部分植株的高度(單位：厘米)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照

4、[50,60)，[60,70，)[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖(圖中僅列出了高度在[50,60)，[90,100]的數(shù)據(jù))． (1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值； (2)在選取的樣本中，從高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中隨機(jī)抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]內(nèi)的概率． 【解析】(1)由題意可知，樣本容量n＝＝50，y＝＝0.004， x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030. 其中2株的高度都不在[90,100]內(nèi)的情況有10種，分

5、別為：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)． 所以所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]內(nèi)的概率P＝1－＝. 核心考點(diǎn)二頻率分布直方圖與莖葉圖 頻率分布直方圖及莖葉圖一直是高考考查的熱點(diǎn)，這類問題大多緊密結(jié)合社會實(shí)際,以現(xiàn)實(shí)生活為背景設(shè)置試題,注重知識的綜合應(yīng)用與實(shí)際應(yīng)用,作為考查實(shí)踐能力的重要載體,命題者要求考生會收集、整理、分析數(shù)據(jù),能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息,建立數(shù)學(xué)模型,再應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題.該類問題閱讀量一般比較大,但難度

6、多為中等或中等偏易. 【經(jīng)典示例】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年位居民每人的月均用水量（單位：噸）,將數(shù)據(jù)按照,,,分成組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖. （1）求直方圖中的值； （2）設(shè)該市有萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于噸的人數(shù),請說明理由； （3）若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸）,估計(jì)的值,并說明理由. 答題模板 第一步，讀懂題意，確定各組頻率；

7、. 第二步，利用概率之和為1，求的值； 第三步，用頻率分別直方圖估計(jì)平均數(shù). 第四步，用樣本數(shù)據(jù)對總體進(jìn)行估計(jì)代換. 【滿分答案】（1）由頻率分布直方圖知,月均用水量在中的頻率為,同理,在,,,,,中的頻率分別為,,,,,. 由,解得. （2）由（1）,位居民每人月均用水量不低于噸的頻率為. 由以上樣本的頻率分布,可以估計(jì)全市萬居民中月均用水量不低于噸的人數(shù)為. （3）因?yàn)榍敖M的頻率之和為, 而前組的頻率之和為, 所以由,解得. 【解題技巧】 1.解決頻率分布直方圖問題時(shí)要抓?。? (1)直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)直方圖中縱軸表示,故每組樣本的頻率為組距×

8、,即矩形的面積．(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總體數(shù)． 2.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系： (1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即平均數(shù)=． 模擬訓(xùn)練 2．某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民．根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分(評分越高表明市民的評價(jià)越高)，繪制莖葉圖如下： (1)分別估計(jì)該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù)； (2)分別估計(jì)該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率； (3)

9、根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價(jià)． 【解析】(1)由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計(jì)值是75. 50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故樣本中位數(shù)為＝67，所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計(jì)值是67. 核心考點(diǎn)三平均數(shù)與方差的應(yīng)用 平均數(shù)和方差是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的闡述．平均數(shù)描述總體的平均水平,方差反映了數(shù)據(jù)偏離于平均數(shù)的程度,它們從整體和全局上刻畫了總體特征,是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)

10、, 【經(jīng)典示例】某公司計(jì)劃購買1臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖. 記表示臺機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，表示臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元），表示購機(jī)的同時(shí)購買的易損零件數(shù)． （1）若，求與的函數(shù)解析式； （2）若要求 “需更換的易損零件數(shù)不大于”的頻率不小于，求的最小值； （3）假設(shè)這臺機(jī)器在購機(jī)的同時(shí)每臺都

11、購買個(gè)易損零件，或每臺都購買個(gè)易損零件，分別計(jì)算這臺機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買臺機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買個(gè)還是個(gè)易損零件？ 答題模板 第一步，用分段函數(shù)表示與的函數(shù)解析式；. 第二步，由柱狀圖確定更換易損零件數(shù)的頻率； 第三步，根據(jù)購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)的大小進(jìn)行選擇. 【滿分答案】（1）當(dāng)時(shí)，（元）； 當(dāng)時(shí)，（元）， 所以． （2）由柱狀圖可知更換易損零件數(shù)的頻率如表所示. 更換的易損零件數(shù) 16 17 18 19 20 21 頻率 0.06 0.16 0.24 0.24 0.20 0.10 所以更換易損零件數(shù)不

12、大于18的頻率為：， 更換易損零件數(shù)不大于19的頻率為：，故最小值為． （3）若每臺都購買個(gè)易損零件，則這臺機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為： （元）； 若每臺都夠買個(gè)易損零件，則這臺機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為： （元）. 因?yàn)椋再徺I臺機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買個(gè)易損零件． 【解題技巧】 1.利用平均數(shù)與方差進(jìn)行決策，一般先比較平均數(shù),若平均數(shù)相同,再用方差來決定． 2.平均數(shù)、方差公式的推廣：若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a，方差為m2s2. 模擬訓(xùn)練 3.某公司為了解用戶對其產(chǎn)品

13、的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分，得出A地區(qū)用戶滿意評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表. B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表 滿意度評分分組 [50,60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 頻數(shù) 2 8 14 10 6 (1)在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）. (2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個(gè)等級： 滿意度評分 低于70分 70分到89

14、分 不低于90分 滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意 估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由. 【解析】(1)通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評分比較分散. 核心考點(diǎn)四回歸分析 高考對回歸分析的考查方向比較固定，即先根據(jù)數(shù)據(jù)確定回歸方程，再根據(jù)散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)判斷相關(guān)性的強(qiáng)弱，最后根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測，此類問題運(yùn)算量一般較大，要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性. 【經(jīng)典示例】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）

15、的折線圖 （1）由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明 （2）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到）,預(yù)測年我國生活垃圾無害化處理量. 參考數(shù)據(jù)：,,,. 參考公式：相關(guān)系數(shù) 回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： 答題模板 第一步，利用散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù)r,確定兩個(gè)變量的相關(guān)程度的高低； 第二步，用最小二乘法求回歸直線方程＝x＋； 第三步，利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)； 第四步，對于非線性(可線性化)的回歸分析,一般是利用條件及我們熟識的函數(shù)模型,將題目中的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系進(jìn)行分析,最后還原． 【滿分答案】（1）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參

16、考數(shù)據(jù)得,,, ,. 因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為,說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系. （1）變量與的相關(guān)系數(shù), 又,,,,, 所以,故可用線性回歸模型擬合變量與的關(guān)系. （2）,,所以, ,所以線性回歸方程為. 當(dāng)時(shí),.因此,我們可以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理億噸. 【解題技巧】線性回歸分析問題的類型 (1)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測，把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值． (2)利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)；決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù). (3)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)． 模

17、擬訓(xùn)練 4．某品牌手機(jī)廠商推出新款的旗艦機(jī)型，并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機(jī)上市時(shí)間 (x個(gè)月)和市場占有率(y%)的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù)： x 1 2 3 4 5 y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18 (1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程； (2)根據(jù)上述回歸方程，分析該款旗艦機(jī)型市場占有率的變化趨勢，并預(yù)測自上市起經(jīng)過多少個(gè)月，該款旗艦機(jī)型市場占有率能超過0.5%(精確到月)．附：＝，＝－. 所以線性回歸方程為＝0.042x－0.026. (2)由(1)中的回歸方程可知，上市時(shí)間與市場占有率正相關(guān)，即上市時(shí)間每增加1

18、個(gè)月，市場占有率約增加0.042個(gè)百分點(diǎn)．由＝0.042x－0.026>0.5，解得x≥13， 故預(yù)計(jì)上市13個(gè)月時(shí)，該款旗艦機(jī)型市場占有率能超過0.5%. 核心考點(diǎn)五獨(dú)立性檢驗(yàn) 在高考中獨(dú)立性檢驗(yàn)常與抽樣方法、樣本對總體的估計(jì)等知識結(jié)合在一起考查，難度多為中等或中等以下，屬于得分題. 【經(jīng)典示例】某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)

19、件數(shù)分成5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖 (1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率； (2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？ 附：K2＝ P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 答題模板 第一步，假設(shè)兩個(gè)分類變量

20、x與y沒有關(guān)系； 第二步，計(jì)算出K2的觀測值,其中K2＝； 第三步，把K2的值與臨界值比較,作出合理的判斷． 【滿分答案】(1)由已知得,樣本中有25周歲以上組工人60名,25周歲以下組工人40名,所以,樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有60×0.05＝3(人),25周歲以下組工人有40×0.05＝2(人),從5名工人中隨機(jī)抽取2人有C＝10種情形,每種情形都是等可能出現(xiàn)的,其中至少抽到一名“25周歲以下組”工人有CC＋C＝7種,故所求概率P＝. (2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25＝15(人),“

21、25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375＝15(人),據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如圖所示： 生產(chǎn)能手 非生產(chǎn)能手 合計(jì) 25周歲以上組 15 45 60 25周歲以下組 15 25 40 合計(jì) 30 70 100 所以K2＝＝＝≈1.79. 因?yàn)?.79<2.706,所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)” . 【解題技巧】 (1)在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及相關(guān)值的確定,不可混淆． (2)在實(shí)際問題中,獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述,得到的結(jié)論有一定的概率出錯(cuò)． (3)對判斷結(jié)果進(jìn)行描述時(shí),注意對象的選取要準(zhǔn)確無誤,應(yīng)是對假

22、設(shè)結(jié)論進(jìn)行的含概率的判斷,而非其他． 模擬訓(xùn)練 5.某公司為評估兩套促銷活動方案（方案1運(yùn)作費(fèi)用為5元/件；方案2的運(yùn)作費(fèi)用為2元/件）,在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn)（每個(gè)試點(diǎn)網(wǎng)點(diǎn)只采用一種促銷活動方案）,運(yùn)作一年后,對比該地區(qū)上一年度的銷售情況,制作相應(yīng)的等高條形圖如圖所示． （1）請根據(jù)等高條形圖提供的信息,為該公司今年選擇一套較為有利的促銷活動方案（不必說明理由）； （2）已知該公司產(chǎn)品的成本為10元/件（未包括促銷活動運(yùn)作費(fèi)用）,為制定本年度該地區(qū)的產(chǎn)品銷售價(jià)格,統(tǒng)計(jì)上一年度的8組售價(jià)（單位：元/件,整數(shù)）和銷量（單位：件）（）如下表所示： 售價(jià) 33 35 37 39 41 43 45 47 銷量 840 800 740 695 640 580 525 460 ① 請根據(jù)下列數(shù)據(jù)計(jì)算相應(yīng)的相關(guān)指數(shù),并根據(jù)計(jì)算結(jié)果,選擇合適的回歸模型進(jìn)行擬合； ② 根據(jù)所選回歸模型,分析售價(jià)定為多少時(shí)？利潤可以達(dá)到最大. 49428.74 11512.43 175.26 124650 （附：相關(guān)指數(shù)） 因?yàn)?所以采用回歸模型進(jìn)行擬合最為合適. ②由（1）可知,采用方案1的運(yùn)作效果較方案2好, 故年利潤, , 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減,故當(dāng)售價(jià)時(shí),利潤達(dá)到最大. 13