初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) (2)
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1、 初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1、 相反數(shù):只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù),我們說(shuō)其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù),也稱為這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。0的相反數(shù)是0。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為:若a、b互為相反數(shù),則a+b=0即,反之也成立。數(shù)a的相反數(shù)是-a。 2、 倒數(shù):若a、b(a、b均不為0)互為倒數(shù),則ab=1即,反之也成立。a的倒數(shù)是。0沒(méi)有倒數(shù),1和-1的倒數(shù)是它們本身。 3、 有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù),也可分為正實(shí)數(shù)、0、負(fù)實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。 4、 有理數(shù)分為正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù),它們均是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù);也可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù),整數(shù)又分為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù);分?jǐn)?shù)又
2、分為正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)。無(wú)理數(shù)分為正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù),它們都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。 5、 π是無(wú)理數(shù),是分?jǐn)?shù)是小數(shù)是有理數(shù),0是自然數(shù)。 6、 絕對(duì)值的幾何定義:在數(shù)軸上,一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值,數(shù)a的絕對(duì)值記為“|a|”。代數(shù)定義:一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0。于是,|a|=a;|a|=-aa≤0。 7、 任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù),即|a|≥0。 或,或 8、 若|x|=a(a≥0),則x=±a,即絕對(duì)值的原數(shù)的雙值性。 9、 數(shù)軸上兩點(diǎn)A()、B()之間的距離為|AB|=|-|,其中點(diǎn)所表示的數(shù)為。坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(
3、,)、B(,)的距離為:|AB|=,中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,),點(diǎn)A到x軸的距離為||,到y(tǒng)軸的距離為||,到原點(diǎn)的距離為,如果=且≠,則直線AB平行于y軸;如果=且≠,則直線AB平行于x軸。 10、 科學(xué)記數(shù)法:把一個(gè)數(shù)寫成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整數(shù))這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。記數(shù)的方法:(1)確定a;a是只有一位整數(shù)數(shù)位的數(shù);(2)確定n;當(dāng)原數(shù)≥1時(shí),n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1;當(dāng)原數(shù)<1時(shí),n是負(fù)整數(shù),它的絕對(duì)值等于原數(shù)中左起第一個(gè)非零數(shù)字前零的個(gè)數(shù)(含整數(shù)位上的零)。 11、 近似數(shù):按某種接近程度由四舍五入得到的數(shù)或大約估計(jì)數(shù)叫做近似數(shù)。一般地,一個(gè)近似數(shù)四舍五入到
4、哪一位,就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。一個(gè)數(shù)的近似數(shù),常常要用科學(xué)記數(shù)法來(lái)表示。 12、 有效數(shù)字:一個(gè)近似數(shù),從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起,到精確到的位數(shù)止,所有的數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種:(1)精確到哪一位數(shù);(2)保留幾個(gè)有效數(shù)字。近似數(shù)非零數(shù)之間的0和尾巴上的0都是有效數(shù)字。 13、 實(shí)數(shù)大小的比較:在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊總比左邊的大;正數(shù)大于零;負(fù)數(shù)小于零;正數(shù)大于一切負(fù)數(shù);兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小。 14、 實(shí)數(shù)加法法則:(1)同號(hào)兩數(shù)相加,取相同的符號(hào),并把絕對(duì)值相加;(2)異號(hào)兩數(shù)相加,絕對(duì)值相等時(shí),和為0;絕對(duì)值不等時(shí),取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào),并
5、用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。 15、 加法交換律a+b=b+a;加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c) 16、 減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù);即a-b= a +(- b) 17、 減法運(yùn)算的步驟:(1)將減號(hào)變成加號(hào),把減數(shù)的相反數(shù)變成加數(shù);(2)按照加減運(yùn)算的步驟進(jìn)行運(yùn)算。 18、 兩數(shù)相乘,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),并把絕對(duì)值相乘。實(shí)數(shù)乘法與加法運(yùn)算步驟一樣,第一步確定符號(hào),第二步確定絕對(duì)值。零乘以任何數(shù)都得0。 19、 乘法交換律ab=ba;乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc);乘法分配律a(b+c)=ab+ac 20、 兩數(shù)相除,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù),并把絕對(duì)值相除;0除以
6、任何一個(gè)不等于0的數(shù),都得0;除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù),即a÷ b=a· (b≠0) 21、 乘方運(yùn)算的性質(zhì):(1)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù);(2)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù);(3)任何數(shù)的偶次冪都是非負(fù)數(shù);(4)-1的偶次冪是1,-1的奇次冪是-1;(5)1的任何次冪都是1,0的任何非零次冪都是0;(6)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪(7)零指數(shù)冪 22、 列代數(shù)式及代數(shù)式的求值:用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)與表示數(shù)的字母連接而成的式子,叫做代數(shù)式,單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式;代數(shù)式分為有理式、無(wú)理式,有理式又分為整式、分式,整式分為單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。列代數(shù)式時(shí),要注意問(wèn)題的語(yǔ)言敘述所直接或間接表示的
7、運(yùn)算順序。一般來(lái)說(shuō),先讀的先寫;要正確使用表明運(yùn)算順序的括號(hào);列代數(shù)式時(shí),出現(xiàn)乘法時(shí),通常省略乘號(hào),數(shù)與字母相乘,要將數(shù)寫在字母前面;帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù),然后再與字母相乘;數(shù)字與數(shù)字相乘仍用“×”號(hào):出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí),一般按分?jǐn)?shù)的寫法來(lái)寫。代數(shù)式的求值是用代數(shù)值代替代數(shù)式里的字母,按照代數(shù)式指明的運(yùn)算順序計(jì)算出結(jié)果。列代數(shù)式時(shí),如果代數(shù)式后跟單位,應(yīng)該將含有加減運(yùn)算的代數(shù)式用括號(hào)括起來(lái)。 23、 同類項(xiàng):所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng),把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)就叫做合并同類項(xiàng)。合并同類項(xiàng)的法則就是字母及字母的指數(shù)不變,系數(shù)相加。同類項(xiàng)與系數(shù)的大小沒(méi)有關(guān)系。 24、 單項(xiàng)式:數(shù)
8、與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式,單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù),一個(gè)單項(xiàng)式中,所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)非零數(shù)的次數(shù)是0。 25、 多項(xiàng)式:幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。在多項(xiàng)式中,每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng),其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng),一個(gè)多項(xiàng)式中,次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù),叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù),單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。 26、 π是數(shù),是一個(gè)具體的數(shù),而不是一個(gè)字母。0是單項(xiàng)式,也是整式。 27、 整式的加減法則:整式的加減實(shí)質(zhì)上是合并同類項(xiàng)。幾個(gè)整式相加減,通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái),再用加減號(hào)連接起來(lái),一般步驟是:(1)如果遇到括號(hào)
9、,按去括號(hào)法則先去括號(hào);(2)合并同類項(xiàng)。 28、 同底數(shù)冪的乘法法則:同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加,即am·an=am+n(m、n都是正整數(shù)) 29、 冪的乘方與積的乘方法則:冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘,即(am)n =amn(m、n都是正整數(shù));積的乘方,等于把積的每一個(gè)因式分別乘方,再把所得的冪的相乘,即(ab)n =ambn(n是正整數(shù)) 30、 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘,其余字母連同它的指數(shù)不變,作為積的因式。單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘以多項(xiàng)式的每一個(gè)項(xiàng),再把所得的積相加,多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)
10、多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。 31、 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2 32、 完全平方式:a2±2ab+b2,特別注意交叉項(xiàng)的正負(fù)性和2倍。(a+b)2=(a-b)2+4ab 33、 同底數(shù)冪的除法法則:同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減,即am÷an=am-n(a≠0,m、n都是正整數(shù),m>n) 34、 零次冪、負(fù)整數(shù)次冪的意義:a0=1(a≠0);a-p= (a≠0,p是正整數(shù)) 35、 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式:?jiǎn)雾?xiàng)式相除,把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除,作為商的因式,對(duì)于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式
11、。 36、 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式:一般地,多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的商相加。 37、 應(yīng)該注意整式乘法與除法中的符號(hào)運(yùn)算。 38、 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式,多項(xiàng)式的因式分解常用的方法有:提取公因式法、公式法。 39、 分解因式的公式:平方差公式: a2-b2= (a+b)(a-b);完全平方公式:a2±2ab+b2= (a±b)2 40、 分解因式的一般步驟:提公因式;二項(xiàng)考慮平方差公式,三項(xiàng)的考慮完全平方公式或十字相乘法;四項(xiàng)及以上考慮分組分解法。有時(shí)得用換元法(整體考慮)或者比較系數(shù)法。 41、
12、幾個(gè)整式相乘,所有最高次項(xiàng)相乘得最高次項(xiàng),最低次項(xiàng)相乘得最低次項(xiàng)。 42、 分式:如果除式B中含有字母,那么稱為分式。當(dāng)B=0時(shí),分式無(wú)意義;當(dāng)A=0且B≠0時(shí),分式的值為0;當(dāng)B≠0時(shí),分式有意義。 43、 分式的基本性質(zhì):分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變,即。 44、 分式的乘除法:兩個(gè)分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母;兩個(gè)分式相除,把除式的分子與分母顛倒位置后現(xiàn)與被除式相乘。即。 45、 約分:把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去,這種變形叫做分式的約分。 46、 分子、分母和分式三個(gè)符號(hào)的同時(shí)改變兩個(gè),其結(jié)果不變
13、,分?jǐn)?shù)線有時(shí)起著括號(hào)的作用,即。 47、 分式的加減法:同分母的加減,分母不變,把分子相加加減;異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算。即。 48、 分式的乘方: 49、 混合運(yùn)算:先乘方,再乘除,最后加減,有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。 50、 解分式方程的一般步驟:去分母,將分式方程化為整式方程;解這個(gè)整式方程;驗(yàn)根,把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母,若值不為0,則是原方程的根,若值為0,則是原方程的增根,舍去。 51、 分式方程的應(yīng)用:分式方程應(yīng)用題與一元方程應(yīng)用題類似,不同的是注意雙檢驗(yàn):(1)檢驗(yàn)所求的解是不是原方程的解;(2)檢驗(yàn)所求的
14、解是否符合題意。注意已知增根,求待定字母的取值。 52、 分式方程有解的條件為:去分母后的整式方程有解;去分母后的整式方程的解不能都為增根。 53、 當(dāng)結(jié)果中含有根式時(shí),一定要化成最簡(jiǎn)根式。 54、 二次根式的相關(guān)概念:(1)平方根和算術(shù)平方根。一般地,如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根,記為,我們規(guī)定0的算術(shù)平方根是0,即。如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根(也叫二次方根),記為±。一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根;0只有一個(gè)平方根,它是0本身;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算,叫做開平方。(2)立方根。如果一個(gè)數(shù)x的
15、立方等于a,即x3=a,那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根。正數(shù)的立方根是正數(shù);0的立方根是0;負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。 55、 一個(gè)正數(shù)正的平方根叫做它的算術(shù)平方根。 56、 最簡(jiǎn)二次根式:被開方數(shù)的因數(shù)都是整數(shù),因式都是整式;被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。 57、 二次根式的化簡(jiǎn): ;; 58、 二次根式的計(jì)算:;; 59、 二次根式的加減法主要是把根式化成最簡(jiǎn)二次根式后合并同類二次根式。幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后,如果被開方數(shù)相同,這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘,如果它們的積不再含有二次根式,稱這兩個(gè)二次根式互為有理化因式。把分母中的根號(hào)化去
16、,叫做分母有理化。 60、 兩個(gè)式子比較大小的方法有:直接比較法、求差比較法、求商比較法、中間量傳遞;另外還有指數(shù)形式往往把底數(shù)或指數(shù)化為相同;二次根式還有分母有理化或分子有理化; 61、 方程(組)及解的概念:含有未知數(shù)的等式叫做方程。在一個(gè)方程中,只含有一個(gè)未知數(shù)x(元),并且未知數(shù)的指數(shù)是1(次),這樣的方程叫做一元一次方程,其標(biāo)準(zhǔn)形式為。使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。含有兩個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程,叫做二元一次方程組。只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程,并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的方程叫做一
17、元二次方程,其一般形式為。 62、 方程或方程組的解法:(1)等式的性質(zhì):等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)代數(shù)式(或除以同一個(gè)不為0的數(shù)),所得結(jié)果仍是等式。(2)一元一次方程的解:一般要通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、未知數(shù)的系數(shù)化為1,把一個(gè)一元一次方程“轉(zhuǎn)化”成x=a的形式。(3)二元一次方程組的解法:解方程組的基本思路是“消元”——把“二元”變?yōu)椤耙辉薄V饕椒ㄓ写胂ê图訙p消元法。其中代入消元法常用步驟是:要消哪一個(gè)字母,就用含其它字母的代數(shù)式表示出這個(gè)字母,然后用表示這個(gè)字母的代數(shù)式代替另外的方程中的這個(gè)字母即可。(4)一元二次方程的解法有配方法、公式法、分解因式法
18、。(5)一元二次方程的判別式。當(dāng)>0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)=0時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)<0時(shí)沒(méi)有實(shí)數(shù)根。(6)若、是的兩實(shí)數(shù)根,則有,。(7)對(duì)于一元二次方程,方程有一個(gè)根為0;方程有一個(gè)根為1;方程有一個(gè)根為-1; 63、 關(guān)于方程,(1)當(dāng)時(shí),方程有唯一解;(2)當(dāng)a=0,0時(shí),方程無(wú)解;(3)當(dāng)a=0,b=0時(shí),方程的解為全體實(shí)數(shù)。 64、 關(guān)于方程組,(1)當(dāng)時(shí)方程組有唯一解;(2)當(dāng)時(shí)方程組無(wú)解;(3)當(dāng)時(shí)方程組有無(wú)數(shù)組實(shí)數(shù)解。 65、 用公式法解一元二次方程時(shí),首先要將一元二次方程化為一般形式,找出a,b,c的值,即先計(jì)算判別式,再用求根公式;用配方法解一元二次方程時(shí),先
19、將方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后兩邊同時(shí)加上“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”。特別注意別漏掉一個(gè)根。注意換元法的使用。 66、 一元二次方程的近似解的求法,實(shí)質(zhì)是利用夾逼方法進(jìn)行求解的。 67、 列方程、方程組解應(yīng)用題的一般步驟是:審題;設(shè)未知數(shù);列方程或方程組;解方程或方程組;檢驗(yàn)并寫出答案。審題是基礎(chǔ),找出等量關(guān)系,建立方程(組)模型是關(guān)鍵。 68、 利潤(rùn)率==;打a折,即降價(jià)為原來(lái)的。 69、 降次的常用方法是:直接開方降次、分解因式降次,代入降次。 70、 不等式的性質(zhì):(1)基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變;(2)基本性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘以(或除
20、以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變;(3)基本性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向要改變。 71、 不等式和不等式組的解法:(1)能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解,求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式;(2)一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分,叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。求不等式組的解集的過(guò)程,叫做解不等式組。記住多畫畫數(shù)軸。 72、 求一元一次不等式(組)的整數(shù)解的步驟:(1)求出一元一次不等式(組)的解集;(2)找出合適解集范圍的整數(shù)解、非負(fù)數(shù)解、正整數(shù)解或負(fù)整數(shù)解。 73、 已知不等式組的解集,確定不等式中的字母的取值范圍,有以下四種方法:
21、(1)逆用不等式組解;(2)分類討論確定;(3)從反而求解確定;(4)借助數(shù)軸確定。 74、 一次函數(shù),當(dāng)函數(shù)值y>0或y<0時(shí),一次函數(shù)轉(zhuǎn)化成不等式,利用函數(shù)圖象、確定函數(shù)值和自變量的取值范圍。 75、 在平面內(nèi)確定一個(gè)點(diǎn)的位置,通常需要兩個(gè)量,這兩個(gè)量可以是兩個(gè)數(shù),也可以是一個(gè)角度、一個(gè)數(shù)。平面內(nèi),確定物體位置的的方法主要有兩類:(1)定點(diǎn)的位置:①線線相交,用交點(diǎn)的唯一性位置;②方位角+距離:以某一點(diǎn)為觀察點(diǎn),用方位角、目標(biāo)到達(dá)這個(gè)點(diǎn)的距離這兩個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)確定目標(biāo)的位置。(2)定區(qū)域的位置。 76、 平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)特征:(1)平面直角坐標(biāo)系有關(guān)概念;(2)點(diǎn)的坐標(biāo)特征:x軸
22、上的點(diǎn),縱坐標(biāo)為零,y軸上的點(diǎn),橫坐標(biāo)為零。即表示為(a,0)、(0,b)。第一象限點(diǎn)(+,+),第二象限(-,+),第三象限(-,-),第四象限(+,-);(3)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo):P(a,b)關(guān)于x軸,y軸和原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為(a,-b),(-a,b),(-a,-b);P(a,b)關(guān)于y=x,y=-x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為((b,a),(-b,-a);P(a,b)關(guān)于y=y0,x=x0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為((a,2y0-b),(2x0-a,b);(4)象限角平分線上的點(diǎn)的特征:第一、三象限角平分線上的點(diǎn)的特征是(a,a)(直線解析式為y=x);第二、四象限角平分線上的點(diǎn)的特征是(-a,a)或(a,-a)。
23、 77、 圖形的變化: 變化前的點(diǎn)坐標(biāo)(x,y) 坐標(biāo)變化 變化后的點(diǎn)坐標(biāo) 圖形變化 平移 橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)加上(或減去)n(n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度 (x,y+n)或(x,y-n) 圖形向上(或向下)平移了n個(gè)單位長(zhǎng)度 縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)加上(或減去)n(n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度 (x+n,y)或(x-n,y) 圖形向右(或向左)平移了n個(gè)單位長(zhǎng)度 伸長(zhǎng) 橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)擴(kuò)大n(n>1)倍 (x,ny) 圖形被縱向拉長(zhǎng)為原來(lái)的n倍 縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)擴(kuò)大n(n>1)倍 (nx,y) 圖形被橫向拉長(zhǎng)為原來(lái)的n倍 壓縮 橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮小n(n>1)倍 (
24、x,) 圖形被縱向縮短為原來(lái)的 縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小n(n>1)倍 (,y) 圖形被橫向縮短為原來(lái)的 放大 橫縱坐標(biāo)同時(shí)擴(kuò)大n(n>1)倍 (nx ,ny) 圖形變?yōu)樵瓉?lái)的n2倍 縮小 橫縱坐標(biāo)同時(shí)縮小n(n>1)倍 (,) 圖形變?yōu)樵瓉?lái)的 78、 求與幾何圖形聯(lián)系的特殊點(diǎn)的坐標(biāo),往往是向x軸或y軸引垂線,轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng),再根據(jù)點(diǎn)所在的象限,醒上相應(yīng)的符號(hào)。求坐標(biāo)分兩種情況:(1)求交點(diǎn),如直線與直線的交點(diǎn);(2)求距離,再將距離換算成坐標(biāo),通常作x軸或y軸的垂線,再解直角三角形。 79、 一般地,在某一個(gè)變化過(guò)程中,有兩個(gè)變量x和y,如果給定一個(gè)x值,相應(yīng)奪就
25、確定了一個(gè)y值,那么我們稱y是x的函數(shù),其中x是自變量,y是因變量。函數(shù)的表示法有三種:解析法、圖象法、列表法。 80、 把一個(gè)函數(shù)關(guān)系式的自變量x與對(duì)應(yīng)的因變量y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),在平面坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn),所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。即:若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式,則點(diǎn)P在函數(shù)圖象上;反之,若點(diǎn)P在函數(shù)圖象上,則P(x,y)的坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式。描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象的步驟:列表、描點(diǎn)、連線。 81、 要使函數(shù)關(guān)系式有意義: 函數(shù)關(guān)系式形式 自變量取值范圍 整式函數(shù) 全體實(shí)數(shù) 分式函數(shù) 使分母不為零 根式函數(shù) 偶次根式 使被開方數(shù)非負(fù)
26、奇次根式 全體實(shí)數(shù) 零指數(shù)、負(fù)指數(shù)形式函數(shù) 使底數(shù)不為零 82、 正比例函數(shù)與一次函數(shù)的概念:(1)一次函數(shù):形如(k≠0,k,b是常數(shù))的函數(shù)叫做一次函數(shù)。(2)正比例函數(shù):形如,k是常數(shù))的函數(shù)叫做正比例函數(shù)。(3)正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系:正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情形。 83、 一次函數(shù)的圖象和性質(zhì):(1)圖象:一次函數(shù)的圖象是過(guò)點(diǎn)(,0),(0,b)的一條直線,正比例函數(shù)的圖象是過(guò)點(diǎn)(0,0),(1,k)的直線;|k|越大,(1,k)就越遠(yuǎn)離x軸,直線與x軸的夾角越大;|k|越小,(1,k)就離x軸越近,直線與x軸的夾角越??;(2)性質(zhì):k>0時(shí),y隨x增大而增大;k<0
27、時(shí),y隨x增大而減?。唬?)圖象跨越的象限:①k>0,b>0經(jīng)過(guò)一、二、三象限;②k<0,b>0經(jīng)過(guò)一、二、四象限;③k>0,b<0經(jīng)過(guò)一、三、四象限;④k<0,b<0經(jīng)過(guò)二、三、四象限。即k>0,一三;k<0,二四;b>0,一二;b<0,三四。(4)直線和的位置關(guān)系為:;相交于y軸上; b>0 b=0 b<0 增減性 k>0 y O x y O x y O x y隨著x增大而增大 k<0 y O x y O x y O x y隨著x增大而減小 84、 用割補(bǔ)法求面積,基本思想是全面積等于各部分面積之和,在割補(bǔ)時(shí)
28、需要注意:盡可能使分割出的三角形的邊有一條在坐標(biāo)軸上,這樣表示面積較為方便。坐標(biāo)平面內(nèi)圖形面積算法:把圖形分割或補(bǔ)為底邊在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線上的三角形、梯形等。
85、 求函數(shù)的解析式往往運(yùn)用待定系數(shù)法,待定系數(shù)法的步驟:(1)設(shè)出含待定系數(shù)的函數(shù)解析式;(2)由已知條件得出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組),解這個(gè)方程(組);(3)把系數(shù)代回解析式。
86、 仔細(xì)體會(huì)一次函數(shù)與一元一次方程及一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系:(1)一元一次方程kx+b=y0(y0是已知數(shù))的解就是直線上,y=y0這點(diǎn)的橫坐標(biāo);(2)一元一次不等式y(tǒng)1≤kx+b≤y2(y1,y2是已知數(shù),且y1 29、直線上滿足y1≤y≤y2那條線段所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍。(3)一元一次不等式kx+b≤y0(或kx+b≥y0)(y0是已知數(shù))的解集就是直線上滿足y≤y0(或y≥y0)那條線段所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍。
87、 反比例函數(shù)的定義及解析式求法:(1)定義:形如(k≠0,k是常數(shù))的函數(shù)叫做反比例函數(shù),其自變量取值范圍是x≠0;(2)解析式求法:應(yīng)用待定系數(shù)法求k值,由于k=xy,故只需要已知函數(shù)圖象上一點(diǎn),即求出函數(shù)的解析式。
88、 反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì):(1)圖象:反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,當(dāng)k>0時(shí),雙曲線的兩個(gè)分支在第一、三象限;當(dāng)k<0時(shí),雙曲線的兩個(gè)分支在第二、四象限。(2) 30、性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí),在每一象限內(nèi),y隨x的增大而減??;當(dāng)k<0時(shí),在每一象限內(nèi),y隨x的增大而增大;圖象是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形,其對(duì)稱軸為y=x,y=-x。
89、 正、反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)對(duì)比:
k值
函數(shù)性質(zhì)
k>0
k<0
(k≠0)
圖象
y
x
O
(1,k)
y
x
O
(1,k)
性質(zhì)
y隨著x增大而增大
y隨著x增大而減小
(k≠0)
圖象
y
x
O
(1,k)
y
x
O
(1,k)
性質(zhì)
y隨著x增大而減小
y隨著x增大而增大
90、 (1)利潤(rùn)最大、費(fèi)用最 31、低等一類問(wèn)題,往往可通過(guò)建立函數(shù)模型進(jìn)行解決;(2)運(yùn)輸?shù)葐?wèn)題可采用列表或畫圖的方法來(lái)分析其數(shù)據(jù)間的關(guān)系,這樣易于理清錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)據(jù),對(duì)解題有極大的幫助;(3)方案設(shè)計(jì)問(wèn)題,往往先建立不等式,轉(zhuǎn)化為求不等式的整數(shù)解的問(wèn)題。
91、 二次函數(shù)的定義和解析式求法:(1)形如(a、b、c為常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù);(2)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,其解析式有三種形式。一般式:,主要用于已知拋物線上任意三點(diǎn)的坐標(biāo);交點(diǎn)式:,其中(,0)與(,0)是拋物線與x軸的兩點(diǎn)交點(diǎn)的坐標(biāo),主要用于已知與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)或兩點(diǎn)間的距離及對(duì)稱軸;頂點(diǎn)式:,其中(h,k)是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),主要用于已知拋物 32、線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大(?。┲?。
92、 二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,它具有以下性質(zhì):(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(,),對(duì)稱軸是直線;當(dāng)a、b同號(hào)時(shí),對(duì)稱軸在y軸的左側(cè);當(dāng)a、b異號(hào)時(shí),對(duì)稱軸在y軸的右側(cè);當(dāng)b=0時(shí),對(duì)稱軸為y軸。(2)當(dāng)a>0時(shí),開口向上;當(dāng)a<0時(shí),開口向下;|a|決定拋物線開口大??;|a|越大,拋物線開口越?。粅a|越小,拋物線開口越大。(3)當(dāng)a>0,時(shí),y有最小值;當(dāng)a<0,時(shí),y有最大值。(4)增減性:對(duì)于二次函數(shù)。①若a>0,當(dāng)時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)時(shí),y隨x的增大而增大;②若a<0,當(dāng)時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)時(shí),y隨x的增大而減小。(5)拋物線與y軸 33、交點(diǎn)為(0,c),當(dāng)c>0時(shí),交點(diǎn)在y軸的正半軸;當(dāng)c<0時(shí),交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸;當(dāng)c=0時(shí),經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。
93、 對(duì)于拋物線,a的符號(hào)由開口方向確定,b由對(duì)稱軸確定,c由拋物線與y軸的交點(diǎn)確定,2a±b由對(duì)稱軸確定,a-b+c由x=-1時(shí)y的符號(hào)確定,4a-2b+c由x=-2時(shí)y的值確定。即拋物線經(jīng)過(guò)(1,a+b+c)、(-1,a-b+c)、(-2,4a-2b+c)等點(diǎn)。求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),就是把兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立成方程組,求出的解就是交點(diǎn)坐標(biāo)。直線與拋物線的交點(diǎn)有三種情況:當(dāng)方程組有兩解時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn)(△>0);當(dāng)有一個(gè)解時(shí),即有一個(gè)交點(diǎn)(△=0);當(dāng)沒(méi)有解時(shí),即不存在交點(diǎn)(△<0 34、)。
94、 構(gòu)造二次函數(shù)模型,求最大(?。┲怠?
95、 選擇題的解題辦法:數(shù)形結(jié)合的觀察法、特殊值法、驗(yàn)證法、排除法、直解法。
96、 對(duì)于拋物線,與x軸交點(diǎn)A(,0)、B(,0)則(1)|AB|=|-|=,對(duì)稱軸
97、 函數(shù)關(guān)系式點(diǎn)坐標(biāo)線段長(zhǎng)幾何知識(shí)的應(yīng)用。
98、 在統(tǒng)計(jì)中,我們把所要考察對(duì)象的全體叫做總體。總體中每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體。當(dāng)總體中個(gè)體數(shù)目較多時(shí),一般從總體中抽取一部分個(gè)體,這一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。
99、 平均數(shù):(1);(2),其中;(3),其中是數(shù)據(jù)的權(quán)??傮w中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)。樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)叫 35、做樣本平均數(shù)。
100、 眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。眾數(shù):在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最大的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(眾數(shù)不唯一)。中位數(shù):把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,處在最中間位置上的一個(gè)數(shù)據(jù)(或是最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。
101、 方差是反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的特征數(shù),方差越大,這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大。叫做樣本的方差,它可衡量樣本波動(dòng)大?。x散程度);叫做樣本的標(biāo)準(zhǔn)差,也是用來(lái)衡量樣本波動(dòng)大小,樣本標(biāo)準(zhǔn)差與原始數(shù)據(jù)的度量單位一致。另:,
102、 扇形統(tǒng)計(jì)圖及應(yīng)用:(1)扇形統(tǒng)計(jì)圖是表示部分在總體中所占的百分比,它不能直接得到具體的數(shù)量,是 36、用圓代表總體,扇形代表部分。(2)圓心角定義:頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角,圓心角的大小等于該部分百分比乘以3600。(3)畫扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟:計(jì)算百分比,圓心角,畫上扇形,標(biāo)上百分比。(4)兩個(gè)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,在整體數(shù)量相等的情況下,根據(jù)扇形的大小也可判斷部分?jǐn)?shù)量是多還是少。(5)在一個(gè)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,可以得到兩個(gè)部分之間的比例。
103、 條形統(tǒng)計(jì)圖能清晰地表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)量,扇形統(tǒng)計(jì)圖能清晰地表示出各個(gè)部分點(diǎn)總體的百分比。頻數(shù):將一組數(shù)據(jù)按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)分成若干組,每個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。頻率:每個(gè)小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫這一小組的頻率。頻率=。直方圖中小長(zhǎng)方形的高與頻率成正比,因此其高 37、的比即是各小組頻率之比,或各小組頻數(shù)之比。
104、 求一個(gè)樣本的頻率分布情況的步驟:(1)計(jì)算最大值與最小值的差;(2)決定組距與組數(shù);(3)決定分點(diǎn);(4)列頻率分布表;(5)繪制頻率分布直方圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖。
105、 一些性質(zhì)和規(guī)律:
數(shù)據(jù)
平均數(shù)
方差
標(biāo)準(zhǔn)差
106、 一般地,我們把一組數(shù)據(jù)中其值過(guò)大(或過(guò)?。┑臄?shù)據(jù)看作異常值,有異常值的一組數(shù)據(jù)其平均數(shù)會(huì)受到此數(shù)據(jù)的影響,這時(shí)用中位或眾數(shù)來(lái)描述一組數(shù)據(jù)的一般水平比較合適。
107、
108、 在一定條件下,可能出現(xiàn)不同的結(jié)果,究竟出現(xiàn)哪一種 38、結(jié)果,隨機(jī)遇而定,帶有偶然性的現(xiàn)象叫做隨機(jī)現(xiàn)象。在隨機(jī)試驗(yàn)中,如果一件事情可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,則稱它們?yōu)殡S機(jī)事件。在一定的條件下,必然會(huì)發(fā)生的事情叫做必然事件。在一定的條件下,一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做不可能事件。必然事件與不可能事件都是確定的,這些事件稱為確定事件。
109、 一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小叫做該事件發(fā)生的概率,一個(gè)事件發(fā)生的概率取值范圍為0~1。,求概率有樹狀圖和列表法兩種列出所有可能結(jié)果的方法。概率是可以在直線上表示出來(lái)的。
110、 在豐富的圖形世界中,我們常見的幾何體分類為:棱柱體、圓柱體、圓錐體、棱錐體、臺(tái)體與球體。
111、 常見的立體圖形特征:球體是由曲面圍成的 39、,圓錐的底面是圓,側(cè)面是曲面;棱錐的底面是多邊形,側(cè)面是三角形;圓柱的底面是圓,側(cè)面是曲面;棱柱的底面是多邊形,側(cè)面是正方形或長(zhǎng)方形。
112、 點(diǎn)、線、面的關(guān)系:面面相交形成線,線線相交形成點(diǎn),點(diǎn)動(dòng)成線,線動(dòng)成面,面動(dòng)成體。
113、 正方體的展開圖是六個(gè)正方形;棱柱的展開圖是兩多邊形與一個(gè)長(zhǎng)方形;圓錐的展開圖是一個(gè)圓與一個(gè)扇形;圓柱的展開圖是兩個(gè)圓與一個(gè)長(zhǎng)方形。
114、 截面:用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體,截出的面叫做截面。截面的形狀:用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體,截出的截面形狀一般有正方形、長(zhǎng)方形、三角形、梯形與圓等。
115、 我們從不同方向看同一個(gè)物體時(shí),可看到不同的圖形,把從正面 40、看到的圖形叫做主視圖,從左邊看到的圖形叫做左視圖,從上面看到的圖形叫做俯視圖。畫在視圖時(shí),主、俯視圖要求長(zhǎng)對(duì)正,主、左視圖要高平齊,左、俯視圖要寬相等。
116、 物體在光線的照射下,會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子,這就是投影現(xiàn)象。太陽(yáng)光線可以看成平行光線,像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影;當(dāng)投射線與投影面垂直時(shí),這樣形成的投影叫做正投影。在平行投影中,物體是互相平行的,影子也是互相平行的,常把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解。
117、 探照燈、手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的,像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。我們看物體,眼睛的位置稱為視點(diǎn),由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視 41、線,眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。
118、 直線上兩點(diǎn)間的部分叫做線段;在直線上某一點(diǎn)和這一點(diǎn)一旁的部分叫做射線;這一點(diǎn)叫做端點(diǎn)。經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線,即兩點(diǎn)確定一條直線;兩點(diǎn)之間,線段最短;連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)間的距離。應(yīng)該注意用字母表示它們的方法。
119、 三線之間的關(guān)系:
類型
端點(diǎn)的個(gè)數(shù)
延伸性
延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線
直線
0
向兩端無(wú)限延伸
無(wú)
射線
1
向一端無(wú)限延伸
有反向延長(zhǎng)線
線段
2
無(wú)
既有延長(zhǎng)線,也有反向延長(zhǎng)線。
1
2
3
4
5
6
7
8
120、 直角:900的角;平角:1800的角;周角:3600 42、的角。設(shè)一個(gè)角為α,若00<α<900,則α叫銳角;若900<α<1800,則α叫鈍角;
121、 1度=60分;1分=60秒;1周角=2平角=4直角。
122、 如圖,∠1和∠5是同位角;∠2和∠8是內(nèi)錯(cuò)角;∠2和∠5是同旁內(nèi)角;∠4和∠2是對(duì)頂角;∠5和∠8是鄰補(bǔ)角。
123、
124、 把一條線段分為兩條相等的線段的點(diǎn),叫做線段的中點(diǎn)。
125、 若α+β=900,則α與β互余。若α+β=1800,則α與β互補(bǔ)。余角和補(bǔ)角是對(duì)兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系而言的,與兩個(gè)角的位置沒(méi)有多大的關(guān)系,互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角與兩個(gè)角的位置有關(guān)。
126、 從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線,把這個(gè)角分成兩 43、個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的平分線。角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等。到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。在求三角形內(nèi)部所形成的角時(shí)應(yīng)想到三角形內(nèi)心定理。
127、 一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線,這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。對(duì)頂角相等是常用的性質(zhì)。
128、 兩直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角時(shí),我們就說(shuō)這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點(diǎn)叫做垂足。經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有一條而且只有一條直線垂直于已知直線;直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的線段中,垂線段最短。從直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線,這一點(diǎn)和垂足之間的線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn) 44、到直線的距離。
129、 過(guò)線段的中點(diǎn)且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)。線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。和線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。
130、 在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。同位角相等,兩直線平行;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行;平行于同一直線的兩條直線平行;垂直于同一直線的兩條直線平行。
131、 兩直線平行,同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ);兩平行線間的距離處處相等;夾在兩平行線間的平行線段相等;過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這條直線平行。
132、 三角形按邊分類:;三角形按角分類:
133 45、、 三角形任意兩邊的和大于第三邊;三角形任意兩邊的差小于第三邊。三角形的內(nèi)角和等于180度;三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和;三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角;在直角三角形中,兩個(gè)銳角互余;同(等)角的余(補(bǔ))角相等。一般來(lái)說(shuō),較大線段大于另兩線段之和時(shí),就能構(gòu)成三角形。
134、 全等三角形的判定:SAS、ASA、AAS、SSS、HL。全等三角形的性質(zhì):對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)線段(邊,高,中線,角平分線)相等、周長(zhǎng)相等、面積相等。
135、 判定兩個(gè)三角形全等的基本思路:(1)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等時(shí),找夾邊對(duì)應(yīng)相等或任一對(duì)應(yīng)邊相等;(2)有兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí),找夾角對(duì)應(yīng)相等或第 46、三邊相等;(3)有一邊和一角對(duì)應(yīng)時(shí),找等角的另一邊對(duì)應(yīng)相等或另一角對(duì)應(yīng)相等。
136、 等腰三角形的性質(zhì):兩個(gè)底角相等;頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。等腰三角形的判定:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊相等。等邊對(duì)等角;等角對(duì)等邊;大角對(duì)大邊;大邊對(duì)大角。
137、 任何一個(gè)圖形的對(duì)稱軸都是直線。等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱軸只有一條:底邊上的高所在直線。等邊三角形的對(duì)稱軸有三條。等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心重合。
138、 等邊三角形的性質(zhì):三邊都相等,三個(gè)角都相等,每一個(gè)角都等于600。等邊三角形的判定:三條邊都相等的三角形是等邊三角形;三個(gè)角 47、都相等的三角形是等邊三角形;有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形。
139、 三角形的主要線段:
名稱
定義
交點(diǎn)
交點(diǎn)的性質(zhì)
中線
連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段
重心
重心到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍
角平分線
三角形一個(gè)角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段
內(nèi)心
內(nèi)心到三角形三邊的距離相等
高
三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它對(duì)邊所在直線的垂線段
垂心
140、 直角三角形的性質(zhì):兩銳角互余;300角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊的一半。直角三角形的判定:有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形;有一邊的 48、中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形。
141、 涉及與三角形的高有關(guān)的問(wèn)題時(shí),要注意分類討論,主要是分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。
142、 勾股定理:直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的逆定理:若一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方,則這個(gè)三角形是直角三角形。
D
A
B
C
143、 已知直角三角形的兩邊長(zhǎng),要求第三邊時(shí),有兩種情況:第三邊是斜邊或已知兩邊中較大邊為斜邊。對(duì)于含特殊角的三角形,通常作高構(gòu)造直角三角形,然后利用勾股定理和三角形函數(shù)解答。
144、 射影定理,如圖:;;
145、 在平面內(nèi),將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距 49、離,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。平移不改變圖形的形狀和大小。經(jīng)過(guò)平移,對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等。確定一個(gè)圖形平移后的位置,除需知道原來(lái)的位置外,關(guān)鍵條件是平移的方向和平移的距離。
146、 在平面內(nèi),將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn),這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形的大小和形狀不改變;旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等,都等于旋轉(zhuǎn)角。作簡(jiǎn)單的平面圖形繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后的圖形,只要把平面圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)都繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度,然后按原來(lái)的式樣連結(jié) 50、這些點(diǎn)而成。旋轉(zhuǎn)需要知道旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度。常用對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心的連線所夾角確定旋轉(zhuǎn)角,常用兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線交點(diǎn)確定旋轉(zhuǎn)中心。旋轉(zhuǎn)360度的整數(shù)倍時(shí),圖形位置不改變。注意區(qū)別對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是不同的。
147、 多邊形的任何一邊向兩方向延長(zhǎng),如果其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同旁,這樣的多邊形叫做凸多邊形,它的每一個(gè)內(nèi)角均小于1800。n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·1800。任意多邊形的外角和均為3600。
148、 平行四邊形的性質(zhì):對(duì)邊平行;對(duì)邊相等;對(duì)角相等;對(duì)角線互相平分。平行四邊形的判定:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對(duì)邊平 51、行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,但不一定是軸對(duì)稱圖形。
149、 一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的四條邊都相等,兩條對(duì)角線互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形;四條邊都相等的四邊形是平行四邊形。菱形的兩條對(duì)角線把菱形分成全等的等腰三角形或直角三角形。菱形是中心對(duì)稱圖形,也是軸對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱就是它的兩條對(duì)角線所在直線。
150、 有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。矩形的對(duì)邊平行且相等;矩形的四個(gè)角都是直角;矩形的兩條 52、對(duì)角線互相平分且相等。有三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形;對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成全等的直角三角形和等腰三角形。矩形是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱軸是過(guò)對(duì)角線交點(diǎn),平行于邊的兩條直線。
151、 正方形的判定:有一個(gè)角是直角,一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形;一組鄰邊相等的矩形是正方形;一個(gè)角是直角的菱形是正方形;對(duì)角線相等且垂直平分的四邊形。正方形的性質(zhì):除具有平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)外,還具有:對(duì)角線與邊夾角為450;S=a2(a是邊長(zhǎng))。正方形既是中心對(duì)稱圖形,也是軸對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱軸有四條:兩條對(duì)角線所在直線和兩條過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的平行于邊的直線 53、。正方形旋轉(zhuǎn)90度不變。
152、 梯形的性質(zhì):一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊不平行;中位線平行于底邊,且等于兩底和的一半;。等腰梯形另具有:兩腰相等;同一底上的兩底角相等;對(duì)角互補(bǔ);對(duì)角線相等;以兩底的中點(diǎn)連線為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形。直角梯形另具有:一個(gè)底角是直角。
153、 梯形的判定:一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形;兩對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形;兩腰相等的梯形是等腰梯形。有一個(gè)角是直角的梯形是直角梯形。
154、 當(dāng)梯形的兩條對(duì)角線互相垂直時(shí),常常平移對(duì)角線創(chuàng)造直角三角形。作高構(gòu)造直角三角形,是梯形中常用的輔助線。梯形有問(wèn)題常常平移一對(duì)角 54、線把梯形轉(zhuǎn)化為三角形。梯形中常見的輔助作法:(虛線表示輔助線)平移腰
作高
延腰
平移對(duì)角線
過(guò)一腰中點(diǎn)延交
上底中點(diǎn)
155、 三角形兩邊中點(diǎn)的連線叫做三角形的中位線;三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。連結(jié)梯形的兩腰中點(diǎn)的連線叫做梯形的中位線;梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半。梯形中位線與梯形兩對(duì)角線的交點(diǎn)間的距離等于兩底差的一半。
156、 尺規(guī)作圖。要求掌握下列基本作圖的作法:作一條線段等于已知線段;作一個(gè)角等于已知角;作已知角的平分線;作已知線段的點(diǎn)垂線(即垂直平分線)
157、 尺規(guī)作圖。已知三邊作三角形;已知兩邊及其夾角作三角形;已知兩角 55、及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高作等腰三角形。
158、 尺規(guī)作圖。會(huì)過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓。
159、 對(duì)于尺規(guī)作圖題,會(huì)寫已知、求作、和作法。有時(shí)還需要證明。
160、 如果沿著一條直線對(duì)折,兩個(gè)圖形能夠互相重合,那么這兩個(gè)圖形叫做以這條直線為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形;如果沿著一條直線對(duì)折,一個(gè)圖形在這條直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形。軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等;對(duì)稱軸垂直平分對(duì)稱點(diǎn)的連線;兩個(gè)圖形關(guān)于某一條直線對(duì)稱,它們的對(duì)應(yīng)線段或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上;兩個(gè)圖形的對(duì)稱點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。軸對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形 56、的關(guān)系,而軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形。當(dāng)兩個(gè)圖形關(guān)于某直線成軸對(duì)稱時(shí),如果把這兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體(即一個(gè)圖形),則它也是軸對(duì)稱圖形。常見的軸對(duì)稱圖形有:直線、射線、線段、角、等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形等。鏡子里的圖象與物體之間成軸對(duì)稱關(guān)系,此時(shí),我們稱之為鏡面對(duì)稱,它和軸對(duì)稱及軸對(duì)稱圖形是有區(qū)別的。物體翻折形成軸對(duì)稱。
161、 把一個(gè)圖形繞著某點(diǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1800后,如果它與另一個(gè)圖形重合,就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱,這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。如果一個(gè)圖形繞著中心旋轉(zhuǎn)1800后,能夠與自身重合,那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等的;關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形,對(duì)稱點(diǎn) 57、連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心,并且被對(duì)稱中心平分,這個(gè)性質(zhì)的逆命題也成立。
162、 用相同的正多邊形密鋪的條件是:周角3600為正多邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的整數(shù)倍時(shí),用這樣的正多邊形進(jìn)行密鋪。幾種正多邊形的組成,各取其中一個(gè)內(nèi)角相加恰好為一個(gè)周角3600時(shí),這樣的正多邊形的組合能進(jìn)行平面圖形的密鋪。(當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾外多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí),即能進(jìn)行密鋪。)
163、 四條線段a,b,c,d中,如果,那么a,b,c,d叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段。在比例式(或a:b=b:c)中,b叫做a和c的比例中項(xiàng)。
164、 比例的基本性質(zhì):ad=bc;
165、 合比性質(zhì):;
166 58、、 等比性質(zhì):
167、 若線段AB上一點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)(即AC2=AB·BC),則稱線段AB被C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),其中
168、 兩條線段的比與單位的選擇無(wú)關(guān),但在求線段的比時(shí)一定要用同一長(zhǎng)度單位。
169、 兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似;兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似;三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似;如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似。全等三角形是相似三角形的特例,位似圖形也是特殊的相似圖形。證明線段等積或比例式的常用方法 59、是:設(shè)法找出比例式(或轉(zhuǎn)化后)所蘊(yùn)含的幾個(gè)字母,看是否存在可由“三點(diǎn)”確定的兩個(gè)相似三角形。相似應(yīng)該注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段。
170、 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等;相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例;相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比,面積比等于相似比的平方。
171、 利用相似三角形面積比求相似比是常用技巧;測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,構(gòu)造相似三角形,利用其性質(zhì)解答是常用方法。
172、 證明等積式或比例式時(shí),如果不能直接找到相似三角形,則用以下方法尋找過(guò)渡量。尋找中間比;利用等長(zhǎng)線段轉(zhuǎn)化;等積轉(zhuǎn)化。
173、 各角對(duì)應(yīng)相等、各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形,相似多邊 60、形的比叫做相似比。相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例;相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比,面積比等于相似比的平方。
174、 比例尺是圖上長(zhǎng)度與實(shí)際長(zhǎng)度的比值,也就是圖上圖形與實(shí)際圖形的相似比。相似三角形的面積比等于周長(zhǎng)比的平方。
175、 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,這時(shí)的相似比又稱位似比。位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。
176、 將一個(gè)多邊形放大或縮小,一般利用位似定義;位似中心可取在多邊形內(nèi)或在一條邊上或在某一頂點(diǎn)上或多邊形外。位似圖形是特殊位置上的相似圖形,所以位似圖形具 61、有相似圖形的所有性質(zhì)。
177、 銳角三角函數(shù)的定義:正弦、余弦、正切、余切。求幾何圖形中銳角的三角函數(shù)值,必須在直角三角形中求解,若沒(méi)有直角三角形,需先構(gòu)造。
178、 銳角三角函數(shù)的增減性:當(dāng)角度在00~900間變化時(shí),正弦、正切值隨著角度的增大(或減?。┒龃螅ɑ驕p小);余弦、余切值隨著角度的增大(或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?。銳角三角函數(shù)都不可取負(fù)值,當(dāng)00<α<900時(shí),0< sinα<1,0< cosα<1,
179、 特殊角的三角函數(shù)值:
α
sinα
cosα
tanα
cotα
300
450
1
1
600
1 62、80、 互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系:若∠A為銳角,則有sinA=cos(900-A)、cos A=sin (900-A)、tanA=cot(900-A)、cotA=tan(900-A),即換名函數(shù)。
181、 同角三角函數(shù)之間的關(guān)系:若∠A為銳角,則有sin2A+cos2A=1、tanA·cotA=1,,
182、 由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的過(guò)程,叫做解直角三角形。(可用銳角三角函數(shù)的定義,勾股定理,直角三角形兩銳角互余等進(jìn)行求解。)對(duì)于含特殊角的斜三角形的計(jì)算問(wèn)題,通常轉(zhuǎn)化為直角三角形解決,轉(zhuǎn)化的方法就是作斜三角形的高構(gòu)造直角三角形;已知三角形兩邊和其中一邊的 63、對(duì)角的問(wèn)題,解答時(shí)一般需分類討論。利用銳角三角函數(shù)值巧妙設(shè)元(未知數(shù)),從而求出相應(yīng)邊長(zhǎng)是常見技巧,也是平面幾何其他類型計(jì)算題的常見技巧。求多邊形的面積通常轉(zhuǎn)化為求三角形面積。注意四邊形中直角三角形的構(gòu)造。
水平線
視線
視線
鉛
垂
線
仰角
俯角
183、 在測(cè)量時(shí),視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的叫仰角,在水平線下方的叫俯角。如圖
h
α
l
184、 坡面的垂直高度h和水平寬度l的比叫做坡度i或坡比),即,其中坡角α是坡面與水平線的夾角。如圖
185、 方向角:指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于900的角,叫做方向角。東北方向指北偏東4 64、50方向,東南方向指南偏東450方向,西北方向批北偏西450方向,西南方向指南偏西450方向。
186、 對(duì)于不能直接求解的問(wèn)題,要設(shè)法找到與之過(guò)渡的線段長(zhǎng)或角的度數(shù),特別是兩個(gè)三角形的公共角或公共線段。運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)鑰匙時(shí),盡量選擇用乘法計(jì)算的關(guān)系式,可歸納為“有斜用弦,無(wú)斜用切;求對(duì)用正,求鄰用余,寧乘勿除”。
187、 解面積問(wèn)題常用的兩種思維方法:(1)切割法,把圖形分割成一個(gè)或幾個(gè)直角三角形與其他特殊圖形的組合;(2)粘貼法,此法大都通過(guò)延長(zhǎng)線段來(lái)實(shí)現(xiàn)。
188、 判斷一件事情的語(yǔ)句,叫做命題;每個(gè)命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成;命題分為真命題和假命題兩種;正確的命題叫做真命 65、題,錯(cuò)誤的命題叫做假命題;兩個(gè)命題的條件和結(jié)論互換,稱這兩個(gè)命題為互逆命題,其中一個(gè)命題是另一個(gè)的逆命題。
189、 公認(rèn)的真命題稱為公理;除了公理外,其他命題的正確性都通過(guò)推理的方法證實(shí),推理的過(guò)程稱為證明;經(jīng)過(guò)證明的真命題稱為定理。要說(shuō)明一個(gè)命題是假命題,只需舉一個(gè)反例即可。
190、 證明兩條直線平行主要是從“角”方面去考慮,即找同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ),證明時(shí)選擇哪一類需用由條件決定;運(yùn)用平行線的性質(zhì)解題時(shí),若“三線八角”不完整,一般需通過(guò)作輔助線補(bǔ)充完整。在幾何證明中出現(xiàn)線段的垂直平分線時(shí),一般存在等腰三角形。
191、 在證明兩條線段的和等于第三條線段時(shí),常用“截 66、長(zhǎng)”法或“補(bǔ)短”法,若在較長(zhǎng)的線段上截取一段等于某已知線段之一,再證余下的部分等于另一已知線段,此法為“截長(zhǎng)”法。反之,為“補(bǔ)短”法。
192、 當(dāng)待證結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方和或平方差時(shí),應(yīng)考慮構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來(lái)處理。
193、 構(gòu)造平行四邊形,依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明線段相等、角相等是常見方法。證明線段的倍分關(guān)系,常借助于矩形性質(zhì)的推論——直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。利用正方形中的直角構(gòu)成的直角三角形,通過(guò)勾股定理及其逆定理的計(jì)算來(lái)證明垂直也是常用方法。
194、 圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。
195、 點(diǎn)和圓有三種位置關(guān)系,即在圓外、在圓上、在圓內(nèi)。點(diǎn)到圓心的距離(d)與圓的半徑(r)的大小決定了點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系,反之亦然。即d>r點(diǎn)在圓外;d=r點(diǎn)在圓上;d
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