（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 3個附加題專項強(qiáng)化練（一）選修4系列 理

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1、 3個附加題專項強(qiáng)化練(一)　選修4系列(理科) A組 1．本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答 A．[選修4－1：幾何證明選講] 如圖，已知圓O的直徑AB＝4，C為AO的中點，弦DE過點C且滿足CE＝2CD，求△OCE的面積． 解：設(shè)CD＝x，則CE＝2x. 因為CA＝1，CB＝3， 由相交弦定理，得CA·CB＝CD·CE， 所以1×3＝2x2，解得x＝. 取DE的中點H，連結(jié)OH， 則OH⊥DE. 因為EH＝CD＝， 所以O(shè)H2＝OE2－EH2＝22－2＝，所以O(shè)H＝. 又因為CE＝2x＝， 所以△OCE的面積S＝OH·CE＝××＝. B．[選修4

2、－2：矩陣與變換] 已知a，b是實數(shù)，如果矩陣A＝所對應(yīng)的變換T把點(2,3)變成點(3,4)． (1)求a，b的值； (2)若矩陣A的逆矩陣為B，求B2. 解：(1)由題意，得＝， 即解得 (2)由(1)，得A＝. 由矩陣的逆矩陣公式得B＝＝. 所以B2＝＝. C．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標(biāo)方程． 解：(1)由ρ2＝x2＋y2，且得圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4， 由ρ2－2ρcos＝2， 得ρ

3、2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝2， x2＋y2－2(x＋y)＝2， 故圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)聯(lián)立方程兩式相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x＋y－1＝0， 該直線的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ－1＝0. D．[選修4－5：不等式選講] 解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2. 解：當(dāng)x≤－2時，不等式化為(2－x)＋x(－x－2)＞2，即－x2－3x>0，解得－3＜x≤－2； 當(dāng)－2＜x＜2時，不等式化為(2－x)＋x(x＋2)＞2， 即x2＋x>0，解得－2＜x＜－1或0＜x＜2； 當(dāng)x≥2時，不等式化為(x－2)＋x

4、(x＋2)＞2，即x2＋3x－4>0，解得x≥2. 所以原不等式的解集為{x|－3＜x＜－1或x＞0}． 2．本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答 A．[選修4－1：幾何證明選講] 如圖，圓O是△ABC的外接圓，點D是劣弧BC的中點，連結(jié)AD并延長，與以C為切點的切線交于點P，求證：＝. 證明：連結(jié)CD，因為CP為圓O的切線， 所以∠PCD＝∠PAC， 又∠P是公共角， 所以△PCD∽△PAC， 所以＝， 因為點D是劣弧BC的中點， 所以CD＝BD，即＝. B．[選修4－2：矩陣與變換] 已知矩陣A＝，若A＝，求矩陣A的特征值． 解：因為A＝＝＝， 所以

5、 解得所以A＝. 所以矩陣A的特征多項式為f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4， 令f(λ)＝0，解得矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝4. C．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：(t為參數(shù))與橢圓C：(θ為參數(shù)，a＞0)的一條準(zhǔn)線的交點位于y軸上，求實數(shù)a的值． 解：由題意，直線l的普通方程為2x＋y＝9， 橢圓C的普通方程為＋＝1(0＜a＜3)， 橢圓C的準(zhǔn)線方程為y＝±， 故＝9，解得a＝2(負(fù)值舍去)． D．[選修4－5：不等式選講] 求函數(shù)y＝3sin x＋2的最大值． 解：y＝3sin x＋2＝3sin x

6、＋4， 由柯西不等式得 y2＝(3sin x＋4)2≤(32＋42)(sin2x＋cos2x)＝25， 當(dāng)且僅當(dāng)4sin x＝3|cos x|，即sin x＝，|cos x|＝時等號成立，所以ymax＝5. 所以函數(shù)y＝3sin x＋2的最大值為5. 3．本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答 A．[選修4－1：幾何證明選講] 如圖，△ABC的頂點A，C在圓O上，B在圓外，線段AB與圓O交于點M. (1)若BC是圓O的切線，且AB＝8，BC＝4，求線段AM的長度； (2)若線段BC與圓O交于另一點N，且AB＝2AC，求證：BN＝2MN. 解：(1)設(shè)AM＝t，則

7、BM＝8－t(0

8、令θ＝，得ρ＝4sin＝2，即所求弦長為2. 法二：以極點O為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系． 直線θ＝(ρ∈R)的直角坐標(biāo)方程為y＝x，① 曲線ρ＝4sin θ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＝0，② 由①②得或 故直線θ＝(ρ∈R)被曲線ρ＝4sin θ所截弦長的端點坐標(biāo)分別為(0,0)，(2,2)， 所以直線θ＝(ρ∈R)被曲線ρ＝4sin θ所截得的弦長為＝2. D．[選修4－5：不等式選講] 已知a≠b，求證：a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)． 證明：a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2) ＝a4＋6a2b2＋b4－4a3b－4b

9、3a ＝a4－4a3b＋6a2b2－4b3a＋b4 ＝(a－b)4， ∵a≠b，∴a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2)>0， ∴a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)． 4．本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答 A．[選修4－1：幾何證明選講] 如圖，AB是圓O的直徑，弦CA，BD的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F，連結(jié)FD. 求證：∠DEA＝∠DFA. 證明：連結(jié)AD，∵AB是圓O的直徑， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADE＝90°， 又EF⊥FB， ∴∠AFE＝90°， ∴A，F(xiàn)，E，D四點共圓， ∴∠DEA＝∠DFA. B

10、．[選修4－2：矩陣與變換] 已知矩陣M＝的一個特征值λ＝－1及對應(yīng)的特征向量e＝，求矩陣M的逆矩陣． 解：由題知，＝＝－1·＝，即 解得M＝. ∴det(M)＝＝1×2－2×3＝－4， ∴M－1＝. C．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝3cos θ，試判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系． 解：由題意知，直線l的普通方程為2x－y－2＝0， 由ρ2＝x2＋y2，且得曲線C的直角坐標(biāo)方程為2＋y2＝，它表示圓． 由圓心到直線l的距離d＝＝＜，得直線l與曲線C相交． D．[選修4－5：不等式選講] 設(shè)x，y，z均為正實

11、數(shù)，且xyz＝1，求證：＋＋≥xy＋yz＋zx. 證明：∵x，y，z均為正實數(shù)，且xyz＝1， ∴＋＋＝＋＋， ∴由柯西不等式可得(xy＋yz＋zx)≥2＝2＝(xy＋yz＋zx)2. ∴＋＋≥xy＋yz＋zx. B組 1．本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答 A．[選修4－1：幾何證明選講] 如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，連結(jié)AO并延長交⊙O于點D，∠ACB＝∠ADC. 求證：AD·BC＝2AC·CD. 證明：∵∠ACB＝∠ADC，AD是⊙O的直徑， ∴AD垂直平分BC，設(shè)垂足為E， ∵∠ACB＝∠EDC，∠ACD＝∠CED， ∴△ACD∽△CED， ∴

12、＝， ∴AD·BC＝AC·CD， ∴AD·BC＝2AC·CD. B．[選修4－2：矩陣與變換] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點A(－1,2)在矩陣M＝對應(yīng)的變換作用下得到點A′，將點B(3,4)繞點A′逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點B′，求點B′的坐標(biāo)． 解：設(shè)B′(x，y)， 依題意，由＝，得A′(1,2)． 則＝(2,2)，＝(x－1，y－2)． 記旋轉(zhuǎn)矩陣N＝， 則＝，即＝， 得 所以點B′的坐標(biāo)為(－1,4)． C．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù))．設(shè)P為曲線C上的動點，求點

13、P到直線l的距離的最小值． 解：直線l的普通方程為x－2y＋8＝0. 因為點P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2s)， 從而點P到直線l的距離 d＝＝. 當(dāng)s＝時，dmin＝. 因此當(dāng)點P的坐標(biāo)為(4,4)時，曲線C上點P到直線l的距離取到最小值. D．[選修4－5：不等式選講] 已知a，b，c∈R,4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值． 解：由柯西不等式，得[(2a)2＋b2＋(c)2]·≥(2a＋b＋c)2. 因為4a2＋b2＋2c2＝4，所以(2a＋b＋c)2≤10. 所以－≤2a＋b＋c≤， 所以2a＋b＋c的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝，c＝時等號成立．

14、 2．本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答 A．[選修4－1：幾何證明選講] 如圖，AB是圓O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點E，過E作BA的延長線的垂線，垂足為F. 求證：AB2＝BE·BD－AE·AC. 證明：如圖，連結(jié)AD，因為AB為圓O的直徑，所以AD⊥BD. 又EF⊥AB，則A，D，E，F(xiàn)四點共圓， 所以BD·BE＝BA·BF. 連結(jié)BC，則∠AFE＝∠ACB，∠BAC＝∠EAF， 得△ABC∽△AEF， 所以＝， 即AB·AF＝AE·AC， 所以BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·(BF－AF)＝AB2. B．[選修4－2：

15、矩陣與變換] 已知二階矩陣M有特征值λ＝8及對應(yīng)的一個特征向量e1＝，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(－1,2)變換成(－2,4)． (1)求矩陣M； (2)求矩陣M的另一個特征值． 解：(1)設(shè)M＝， 由題意，M＝＝8， M＝＝， ∴解得即M＝. (2)令特征多項式f(λ)＝＝(λ－6)·(λ－4)－8＝0， 解得λ1＝8，λ2＝2.矩陣M的另一個特征值為2. C．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．求直線l與曲線C的交點P的直角坐標(biāo)． 解：由

16、題意得，直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝x，① 曲線C的普通方程為y＝x2(x∈[－2,2])，② 聯(lián)立①②解方程組得或(舍去)． 故P點的直角坐標(biāo)為(0,0)． D．[選修4－5：不等式選講] 已知a，b，c為正實數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 證明：法一：(基本不等式) ∵a＋≥2b，b＋≥2c，c＋≥2a， ∴a＋＋b＋＋c＋≥2a＋2b＋2c， ∴＋＋≥a＋b＋c. 法二：(柯西不等式) 由柯西不等式得(a＋b＋c)≥(b＋c＋a)2，∴＋＋≥a＋b＋c. 3．本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答 A．[選修4－1：幾何證明選講] 如圖，已知AB為圓O的一

17、條弦，點P為弧AB的中點，過點P任作兩條弦PC，PD分別交AB于點E，F(xiàn). 求證：PE·PC＝PF·PD. 證明：連結(jié)PA，PB，CD，BC. 因為點P為弧AB的中點， 所以∠PAB ＝∠PBA. 又因為∠PAB ＝∠PCB， 所以∠PCB ＝∠PBA. 又∠DCB ＝∠DPB， 所以∠PFE ＝∠PBA＋∠DPB ＝∠PCB＋∠DCB ＝∠PCD， 所以E，F(xiàn)，D，C四點共圓． 所以PE·PC＝PF·PD. B．[選修4－2：矩陣與變換] 已知曲線C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩陣A＝所對應(yīng)的變換T把曲線C變換成曲線C1，求曲線C1的方程． 解：設(shè)曲線C上的任意一

18、點P(x，y)，點P在矩陣A＝所對應(yīng)的變換T作用下得到點Q(x′，y′)． 則＝，即所以 代入x2＋2xy＋2y2＝1，得y′2＋2y′·＋22＝1，即x′2＋y′2＝2， 所以曲線C1的方程為x2＋y2＝2. C．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在極坐標(biāo)系中，已知點A，點B在直線l：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上．當(dāng)線段AB最短時，求點B的極坐標(biāo)． 解：以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系， 則點A的直角坐標(biāo)為(0,2)，直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝0. AB最短時，點B為直線x－y＋2＝0與直線l的交點， 解得所以點B的直角坐標(biāo)為(－1

19、，1). 所以點B的極坐標(biāo)為. D．[選修4－5：不等式選講] 求函數(shù)f(x)＝5＋的最大值． 解：易知函數(shù)f(x)的定義域為[0,4]，且f(x)≥0. 由柯西不等式得[52＋()2][()2＋()2]≥(5·＋·)2， 即27×4≥(5·＋·)2， 所以5＋≤6. 當(dāng)且僅當(dāng)×＝5，即x＝時取等號． 所以函數(shù)f(x)＝5＋的最大值為6. 4．本題包括A、B、C、D四個小題，請任選二個作答 A．[選修4－1：幾何證明選講] 如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點． 證明：∠OCB＝∠D. 證明：因為B，C是圓O上的兩點， 所以O(shè)B＝OC. 故

20、∠OCB＝∠B. 又因為C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點， 故∠B，∠D為同弧所對的兩個圓周角， 所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D. B．[選修4－2：矩陣與變換] 已知矩陣A＝，設(shè)曲線C：(x－y)2＋y2＝1在矩陣A對應(yīng)的變換下得到曲線C′，求C′的方程． 解：設(shè)P(x0，y0)為曲線C上任意一點，點P在矩陣A對應(yīng)的變換下得到點Q(x，y)， 則＝，即 解得 又(x0－y0)2＋y＝1， ∴2＋y2＝1，即＋y2＝1， ∴曲線C′的方程為＋y2＝1. C．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點O為極點，

21、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ.設(shè)P為直線l上一動點，當(dāng)P到圓心C的距離最小時，求點P的直角坐標(biāo)． 解：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 從而有x2＋y2＝2y， 所以x2＋(y－)2＝3. 設(shè)P，又C(0，)， 則PC＝＝， 故當(dāng)t＝0時，PC取得最小值，此時點P的直角坐標(biāo)為(3,0)． D．[選修4－5：不等式選講] 已知a，b，c，d是正實數(shù)，且abcd＝1，求證：a5＋b5＋c5＋d5≥a＋b＋c＋d. 證明：因為a，b，c，d是正實數(shù)，且abcd＝1, 所以a5＋b＋c＋d≥4＝4a.① 同理b5＋c＋d＋a≥4b，② c5＋d＋a＋b≥4c，③ d5＋a＋b＋c≥4d，④ 將①②③④式相加并整理， 得a5＋b5＋c5＋d5≥a＋b＋c＋d. 當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b＝c＝d＝1”時等號成立． 11