高等數學試卷：高等數學期末答案

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1、03級高等數學（上,非電）期終試卷參考答案 一、填空題（3’×6=18’） 1、e 2、 3、α> 4、 5、 6、 二、單項選擇題（4’×4=16’） 1、C 2、B 3、D 4、C.. 三、（6’ ×6=36’） 1、 2、 x u 另解：原式= 3、 4、令 則 原式= 另解：原式= 5、 6、 另解：令y=ux，則原方程化為 四、（8’）1° 2°設 代入方程，求得 3° 由初始條件得 0

2、 x y y=x 1 2 . 五、（8’） 法一： 法二： V= 六、（7’） 0 x 2 y 七、（7’） ，η在0與x之間. 有介值定理，至少一點 因而 . 04-05-2高等數學期末試卷答案 一、 填空題　　1．0,　一； 　 2． ； 3． ； 4． 1； 5． 。 二、 單項選擇題　　　1． A; ２．Ｂ 　　 3． D; 4．C. 三、　1. 2.

3、(略) 3. 4. 　　5.　 　　因此是在上的唯一的極小值點,故是最小值點. 五、設,原不等式等價于, 即等價于 　，　 　,且等號當且僅當時成立。因此單增, 　從而單增,,原不等式得證. 六、由題設知,所給方程可變形； 　兩端對求導整理得，求二階微分方程得；　由得，單減；而所以當時,,對 有。 七、 記,則在上可導,且． 若在內無零點,不妨設， 矛盾說明在內至少存在一個零點．對在上分別使用Rolle定理知存在,使得即． 高等數學05-06-2（A、B）期末試卷（A、B）參考答案及評分標準 06。1。19 一．填空題（本題共9小題，每小

4、題4分，滿分36分） 1（3）．；2（1）．；3（4）．；4（6）．；5．；6（8）．；7（2）．；8（9）．；9（7）．非充分非必要。 二．計算下列各題（本題共4小題，每小題7分，滿分28分） 1．令， 2． 3（4）． 4（3）．令， 三．（本題滿分9分）設為切點， 令，當時，，當時，，是唯一的極大值點，因而是最大值點，。 四．（本題共2小題，滿分14分） 1．（本題滿分6分）（1分）， 2．（本題滿分8分），解得一特解，解得一特解，， 由得， 五．（本題滿分7分）（1）設 嚴格單增，所以方程存在唯一實根。 （2）， ，

5、 六．（本題滿分6分）設為正整數，， 三邊積分得，左邊關于相加得： ，右邊關于相加得： ，所以 學號 姓名 06-07-2高數A、B期末參考答案及評分標準 一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分） 1．； 2．曲線在對應的點處的切線方程為； 3．函數在區(qū)間內嚴格單調遞減； 4．設是由方程所確定的隱函數，則； 5． ； 6．設連續(xù)，且，已知,則； 7．已知在任意點處的增量，當時，是的 高階無窮小，已知，則； 8．曲線的斜漸近線方程是；

6、 9．若二階線性常系數齊次微分方程有兩個特解，則該方程為 二.計算題（本題共4小題，每小題7分，滿分28分） 1．計算不定積分 解： 2．計算定積分 解： 3．計算反常積分 解： 4．設 ，求 解： 三．（本題滿分7分）求曲線自到一段弧的長度。 解： 四．（本題共2小題，第1小題7分，第2小題9分，滿分16分） 1．求微分方程的通解。 解： 2．求微分方程的特解，使得該特解在原點處與直線相切。 解：， 由題設條件得 ，求得，于是 五．（本題滿分7分）設，求積分的最大值。 解： 令 ，得為唯一駐點， ，為在上的最小值

7、，而最大值只能在端點取得。 ，，所以 六．（本題滿分6分）設函數在上存在二階連續(xù)導數，且，證明：至少存在一點，使得 。 證：，，， 由于在上連續(xù)，在上存在最大值和最小值，故 ， ， 即 ，由介值定理知至少存在一點，使得 07-08-2高數（AB）期末試卷A參考答案及評分標準08.1.15 一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分） 1．； 2．設，則； 3．已知，則； 4．對數螺線在對應的點處的切線方程是； 5．設是由方程確定的隱函數，則的單

8、調增加區(qū)間是，單調減少區(qū)間是； 6．曲線的拐點坐標是，漸進線方程是； 7．； 8． ； 9．二階常系數線性非齊次微分方程的特解形式為 . 二.計算下列積分（本題共3小題，每小題7分，滿分21分） 10. 解 （2分） （）（1+1分） （3分） 11． 解 ，（2分） 令，， （1+3分）原式（1分） 12。 解 （3+3分）（1分） 三（13）．（本題滿分8分）設，. （1）問是否為在內的一個原函數？為什么？（2）求. 解 （1）不是在內的一個原函數，因為， 在內不連續(xù).（1+2分） （2）

9、（2+3分） 四（14）．（本題滿分7分）設，求. 解 令，（2+3+2分） 五（15）．（本題滿分6分）求微分方程的通解. 解 ，（1分） （2+1分） （2分） 六（16）．（本題滿分8分）設、滿足，且，求. 解 由已知條件得，（1分），（3分） （4分） 七（17）．（本題滿分8分） 設直線與拋物線所圍成的圖形面積為，它們與直線所圍成的圖形面積為.（1）試確定的值，使達到最小，并求出最小值.（2）求該最小值所對應的平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積. 解 (1) （3分） 令，得，又，則 是唯一的極小值即最小值. （2分） （2） ==.（3分）

10、八（18）．（本題滿分6分）設，求證：當時，. 證 令， （1+1分） （1分） （2+1分） 08-09-2高數（AB）期末A參考答案 一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分） 1．函數的單調增加區(qū)間為； 2．已知，則； 3．曲線的拐點是； 4．曲線的斜漸近線的方程是； 5．二階常系數線性非齊次微分方程的特解形式是； 6．設是常數，若對，有，則； 7．； 8．設是連續(xù)函數，且，則； 9．設，則. 二.按要求計算下列各題（本題共5小題，每小題6

11、分，滿分30分） 10． 解 11. 解 （） 12．已知的一個原函數為，求 解 13．設，求常數、、，使得 。 解 由 得 ，由得 （2分），由得，。 14。 解 三（15）．（本題滿分8分）求微分方程滿足初始條件， 的特解. 解 齊次微分方程的通解為，非齊次微分方程 的一個特解為于是原微分方程的通解為代入初始條件得 四（16）．（本題滿分7分）設函數在區(qū)間上連續(xù)，且恒取正值，若對, 在上的積分(平)均值等于與的幾何平均值，試求的表達式. 解 ，，，等式兩端對 求導

12、，記，，令，， ，。 五（17）．（本題滿分7分） 在平面上將連接原點和點的線段（即區(qū)間）作等分，分點記作，，過作拋物線的切線，切點為，（1）設三角形的面積為，求；（2）求極限. 解 （1）設，，切線方程，切線過，解得 （2） 六（18）．（本題滿分6分）試比較與的大小，并給出證明. （注：若通過比較這兩個數的近似值確定大小關系，則不得分） 解 設當時， ， 七（19）．（本題滿分6分）設在區(qū)間上連續(xù)可導，，求證： . 解 09-10-2高數（AB）期末A卷參考答案 1．函數的定義域是，值域是； 2．設，當時，在處連續(xù)； 3．曲線的斜漸進線的方程是； 4．；

13、 5．函數的極大值點是； 6．； 7．設是由所確定的函數，則； 8．曲線族（,為任意常數）所滿足的微分方程是 ； 9．. 二.按要求計算下列各題（本題共5小題，每小題6分，滿分30分） 10． 解 。 11. 解 。 12． 解 。 13． 解 。 14。設，，計算. 解 三（15）．（本題滿分8分）求微分方程滿足初始條件， 的特解. 解 方程的通解為， 根據初值條件得，于是特解為 四（16）．（本題滿分8分）設函數在區(qū)間上可導，在內恒取正值，且滿足，又由曲線與直線所圍成的圖形的面積為，求函

14、數的表達式，并計算圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積. 解 解方程，得通解， 由題設得，于是，。 。 五（17）．（本題滿分6分） 已知方程在區(qū)間內存在兩個互異的實根，試確定常數的取值范圍. 解 設，令，得唯一駐點，當時，，當時，，因此，，即常數的取值范圍是：。 六（18）．（本題滿分6分）設在區(qū)間上非負、連續(xù)，且滿足, 證明：對，有. 證：令,則,不等式兩邊對積分,得,即。 七（19）．（本題滿分6分）設，在處可導，且， （1）求證：，使得 （2）求極限. 證（1）記，在上可導，,由中值定理得知，，使得 ，此即。 （2），于是 ，由于，所以。