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1、第第1616講講等腰三角形等腰三角形20112015年中考試題統計與命題展望考點一考點二考點三考點一等腰三角形考點一考點二考點三考點二等邊三角形定義 三邊都相等的三角形叫做等邊三角形. 性質 (1)三邊相等; (2)三角相等而且每一個角都等于60; (3)是軸對稱圖形,有三條對稱軸 判定 (1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形 ; (2)三個角都相等的三角形是等邊三角形 ; (3)有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形 考點一考點二考點三考點三線段垂直平分線考法1考法2考法3考法4考法1等腰三角形的概念和性質有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形具有性質:等腰三角形的兩腰相等;等腰三角
2、形的兩個底角相等;等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.注意:在等腰、底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線四個元素中,任意取出兩個元素當成條件,就可以得到另外兩個元素作為結論.考法1考法2考法3考法4例1已知:如圖所示,在ABC中,AB=AC,BD=DC,CAF是ABC的外角,AEBC.求證:(1)AE平分FAC;(2)AEAD.分析:(1)利用“等邊對等角”和平行線的性質可證明1=2;(2)要證AEAD,由等腰三角形的“三線合一”,得ADBC.再由AEBC,得到AEAD.考法1考法2考法3考法4證明:(1)AB=AC,B=C.又AEBC,1=B,2=C,1=2,AE平分F
3、AC.(2)AB=AC,BD=DC,ADBC.又AEBC,AEAD.規(guī)律總結等腰三角形“三線合一”的性質,既涉及角相等又涉及線段相等和垂直,為證明線段和角的關系增添了又一理論根據.考法1考法2考法3考法4考法2等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等.注意:等腰三角形是一個軸對稱圖形,它的定義既可作為性質,又可作為判定辦法.等腰三角形的判定和性質互逆.判定定理在同一個三角形中才能適用.例2已知:如圖,在RtABC中,C=90,過點B作BDAC,且BD=2AC,連接AD.試判斷ABD的形狀,并說明理由.考法1考法2考法3考法4解:ABD是等腰三角形.理由:如圖,在B
4、D上取點E,使BE=DE,連接AE,則BE= BD.BD=2AC,BE=AC.BDAC,四邊形ACBE是平行四邊形.C=90,四邊形ACBE是矩形,AEB=90,即AEBD.AB=AD,ABD是等腰三角形.考法1考法2考法3考法4考法3等邊三角形的判定和性質(1)等邊三角形是一種非常特殊的幾何圖形,它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎,它的邊角性質為證明線段、角相等提供了便利條件.同時等邊三角形又是特殊的等腰三角形,同樣具備三線合一的性質,解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用.(2)等邊三角形的特性如下:三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30角的直角三角形、連接三
5、邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等.(3)等邊三角形的判定較復雜,在應用時要抓住已知條件的特點,選取恰當的判定方法,一般地,若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定;若從等腰三角形出發(fā),則想辦法獲取一個60的角判定.考法1考法2考法3考法4例3已知:如圖所示,點C為線段AB上一點,ACD,CBE是等邊三角形,AE與CD交于點M,BD與CE交于點N,AE交BD于點O.求證:(1)AE=DB;(2)CMN是等邊三角形.分析:(1)因為線段AE和DB不在同一個三角形內,所以要證AE=DB,可把這兩條線段分別放到兩個全等的三角形中;(2)要證明CMN是等邊三角形可利
6、用“有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形”來證明.考法1考法2考法3考法4證明:(1)ACD,CBE是等邊三角形,AC=DC,BC=EC,ACD=BCE=60.又點C為線段AB上一點,ACE=180-BCE=120.同理,DCB=120,ACE=DCB,DCE=180-60-60=60.ACE DCB(SAS),AE=DB.考法1考法2考法3考法4(2)ACE DCB,EAC=BDC,即MAC=NDC.ACM DCN(ASA),CM=CN.又MCN=DCE=60,CMN是等邊三角形.規(guī)律總結解決與等邊三角形有關的問題時應注意挖掘等邊三角形所隱含的相等的邊和角的關系.考法1考法2考法3考法4考
7、法4線段垂直平分線的性質和判定定義:經過某一條線段的中點,并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線,簡稱“中垂線”.性質:線段的垂直平分線垂直且平分線段.線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點,該點叫三角形的外心,并且這一點到三個頂點的距離相等.判定:到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.考法1考法2考法3考法4例4如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,對角線AC的中點為O,過點O作AC的垂線分別與AD,BC相交于點E,F,連接AF.求證:AE=AF.分析:由ADBC,可證EAC=ACF,AEO=OFC.又EF垂直平分AC,得AO=OC,由“AAS”證明AOE COF,得AE=FC.再由EF是AC的垂直平分線,可以證明AF=FC,即可得AE=AF.考法1考法2考法3考法4證明:ADBC,EAO=FCO,AEO=CFO.EF垂直平分AC,AO=CO,FA=FC.AOE COF(AAS),AE=CF,AE=AF.規(guī)律總結線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等,因此,解決有關線段垂直平分線的題目時,常連接線段的端點和線段垂直平分線上的點,構造等腰三角形得到線段或角相等.
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