新編人教版高中數(shù)學選修11課時跟蹤檢測十二 拋物線的簡單幾何性質 含解析

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1、新編人教版精品教學資料 課時跟蹤檢測（十二） 拋物線的簡單幾何性質 層級一　學業(yè)水平達標 1．已知拋物線的對稱軸為x軸，頂點在原點，焦點在直線2x－4y＋11＝0上，則此拋物線的方程是(　　) A．y2＝－11x　　　　　　 　B．y2＝11x C．y2＝－22x D．y2＝22x 解析：選C　在方程2x－4y＋11＝0中， 令y＝0得x＝－， ∴拋物線的焦點為F， 即＝，∴p＝11， ∴拋物線的方程是y2＝－22x，故選C． 2．過點(2,4)作直線l，與拋物線y2＝8x只有一個公共點，這樣的直線l有(　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條

2、解析：選B　可知點(2,4)在拋物線y2＝8x上，∴過點(2,4)與拋物線y2＝8x只有一個公共點的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條與拋物線的對稱軸平行． 3．設O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上一點，若·＝－4，則點A的坐標為(　　) A．(2，±2 ) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2) 解析：選B　設A(x，y)，則y2＝4x，① 又＝(x，y)，＝(1－x，－y)， 所以·＝x－x2－y2＝－4．② 由①②可解得x＝1，y＝±2． 4．過點(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，則弦AB的長為(　　)

3、 A．2　　　　　　　 　B．2 C．2 D．2 解析：選B　設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由題意知AB的方程為y＝－2(x－1)， 即y＝－2x＋2． 由得x2－4x＋1＝0， ∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1． ∴|AB|＝ ＝＝＝2． 5．設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為(　　) A． B． C． D． 解析：選D　易知拋物線中p＝，焦點F，直線AB的斜率k＝，故直線AB的方程為y＝，代入拋物線方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0．設A(x1，y1)，B(x2，y

4、2)，則x1＋x2＝．由拋物線的定義可得弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，結合圖象可得O到直線AB的距離d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面積S＝|AB|·d＝． 6．直線y＝x－1被拋物線y2＝4x截得的線段的中點坐標是________． 解析：將y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0．由根與系數(shù)的關系，得x1＋x2＝6，＝3， ∴＝＝＝2． ∴所求點的坐標為(3,2)． 答案：(3,2) 7．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，則AB的中點M到拋物線準線的距離為________． 解析：拋物線的

5、焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1．由拋物線的定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中點M的橫坐標為． 因此，點M到拋物線準線的距離為＋1＝． 答案： 8．過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點(點A在y軸左側)，則＝________． 解析：由題意可得焦點F，故直線AB的方程為y＝x＋，與x2＝2py聯(lián)立得A，B兩點的橫坐標為xA＝－p，xB＝p，故A－p，p，Bp，p，所以|AF|＝p，|BF|＝2p，所以＝． 答案： 9．已知拋物線y2＝6

6、x，過點P(4,1)引一弦，使它恰在點P被平分，求這條弦所在的直線方程． 解：設弦的兩個端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． ∵P1，P2在拋物線上，∴y＝6x1，y＝6x2． 兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．① ∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3． ∴直線的方程為y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0． 10．已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點． (1)若|AF|＝4，求點A的坐標； (2)求線段AB的長的最小值． 解：由y2＝4x，得p＝2，其準線方程為x＝－1，焦點F(1,0)．設A(x1，y1)，

7、B(x2，y2)． (1)由拋物線的定義可知，|AF|＝x1＋，從而x1＝4－1＝3．代入y2＝4x，解得y1＝±2． ∴點A的坐標為(3,2)或(3，－2)． (2)當直線l的斜率存在時， 設直線l的方程為y＝k(x－1)． 與拋物線方程聯(lián)立， 得消去y，整理得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0． ∵直線與拋物線相交于A，B兩點， 則k≠0，并設其兩根為x1，x2， ∴x1＋x2＝2＋． 由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4． 當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1，與拋物線相交于A(1,2)，B(1，－2)，此時|AB|＝4， ∴|AB

8、|≥4，即線段AB的長的最小值為4． 層級二　應試能力達標 1．邊長為1的等邊三角形AOB，O為坐標原點，AB⊥x軸，以O為頂點且過A，B的拋物線方程是(　　) A．y2＝x　　　　　　 　B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 解析：選C　設拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．又A(取點A在x軸上方)，則有＝±a，解得a＝±，所以拋物線方程為y2＝±x．故選C． 2．過拋物線y2＝4x的焦點，作一條直線與拋物線交于A，B兩點，若它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線(　　) A．有且僅有一條 B．有兩條 C．有無窮多條 D．不存在 解析：選B　設A(x1，y

9、1)，B(x2，y2)，由拋物線的定義，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7．又直線AB過焦點且垂直于x軸的直線被拋物線截得的弦長最短，且|AB|min＝2p＝4，所以這樣的直線有兩條．故選B． 3．直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點，若AB中點的橫坐標為2，則k＝(　　) A．2或－2 B．1或－1 C．2 D．3 解析：選C　由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0．又由Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，得k>－1．則由＝4，得k＝2．故選C． 4．已知拋物線C：y2＝8x與點M(－2,2)，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若·＝0，則k＝(　　

10、) A． B． C． D．2 解析：選D　由題意可知拋物線C的焦點坐標為(2,0)，則直線AB的方程為y＝k(x－2)，將其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則① 由 ? ∵·＝0， ∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0． ∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0， 即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0．④ 由①②③④解得k＝2．故選D項． 5．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分

11、別為P，Q，則梯形APQB的面積為________． 解析：由消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即或所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，|PQ|＝8，所以梯形APQB的面積S＝×8＝48． 答案：48 6．頂點為坐標原點，焦點在x軸上的拋物線，截直線2x－y＋1＝0所得的弦長為，則拋物線方程為________． 解析：設所求拋物線方程為y2＝ax(a≠0)， 聯(lián)立得4x2＋(4－a)x＋1＝0， 則Δ＝(4－a)2－16>0，得a>8或a<0． 設直線與拋物線的交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝．

12、所以|AB|＝ ＝＝， 解得a＝12或a＝－4． 所以拋物線方程為y2＝12x或y2＝－4x． 答案：y2＝12x或y2＝－4x 7．已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點，O為坐標原點． (1)求證：OA⊥OB； (2)當△OAB的面積等于 時，求實數(shù)k的值． 解：(1)證明：由消去x，得ky2＋y－k＝0． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意，知k≠0，則y1＋y2＝－，y1y2＝－1． 由A，B在拋物線y2＝－x上，可知y＝－x1，y＝－x2，則yy＝x1x2． 因為kOA·kOB＝·＝＝＝－1， 所以OA⊥OB． (2)設直線與x

13、軸交于點N． 令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)． 因為S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON|·|y2|＝|ON||y1－y2|， 所以S△OAB＝×1× ＝ ＝． 解得k＝±． 8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線y＝4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|＝|PQ|． (1)求C的方程； (2)過F的直線l與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求l的方程． 解：(1)設Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝． 所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋．

14、由題設得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2． 所以C的方程為y2＝4x． (2)依題意知l與坐標軸不垂直， 故可設l的方程為x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x得y2－4my－4＝0． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4． 故AB的中點為D(2m2＋1,2m)， |AB|＝|y1－y2| ＝· ＝4(m2＋1)． 又l′的斜率為－m， 所以l′的方程為x＝－y＋2m2＋3． 將上式代入y2＝4x， 并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0． 設M(x3，y3)，N(x4，y4)， 則y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)． 故MN的中點為E， |MN|＝|y3－y4| ＝· ＝． 由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點在同一圓上等價于|AE|＝|BE|＝|MN|， 從而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋2＋2＝． 化簡得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1． 所求直線l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0．