高中數(shù)學(xué)精講精練新人教A版第03章 三角函數(shù)B

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1、2013高中數(shù)學(xué)精講精練 第三章 三角函數(shù)B 第5課 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（一） 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.能畫出正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，正切函數(shù)的圖像，借助圖像理解正弦函數(shù)，余弦函數(shù)在，正切函數(shù)在上的性質(zhì)； 2.了解函數(shù)的實際意義，能畫出的圖像； 3.了解函數(shù)的周期性，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. 已知簡諧運(yùn)動的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，則該簡諧運(yùn)動的最小正周期_____6____；初相__________． 2. 三角方程2sin(－x)=1的解集為_______________________． 3. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則

2、函數(shù)表達(dá)式為 ______________________． 第3題 4. 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移__________個單位． 【范例解析】 例1.已知函數(shù)． （Ⅰ）用五點(diǎn)法畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，長度為一個周期； （Ⅱ）說明的圖像可由的圖像經(jīng)過怎樣變換而得到． 分析：化為形式． 解：（I）由 ． 列表，取點(diǎn)，描圖： 1 1 1 故函數(shù)在區(qū)間上的圖象是： （Ⅱ）解法一：把圖像上所有點(diǎn)向右平移個單位，得到的圖像，再把的圖像上所有

3、點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像，然后把的圖像上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖像，再將的圖像上所有點(diǎn)向上平移1個單位，即得到的圖像． 解法二：把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像，再把圖像上所有點(diǎn)向右平移個單位，得到的圖像，然后把的圖像上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到的圖像，再將的圖像上所有點(diǎn)向上平移1個單位，即得到的圖像． 例2.已知正弦函數(shù)的圖像如右圖所示． （1）求此函數(shù)的解析式； （2）求與圖像關(guān)于直線對稱的曲線的解析式； （3）作出函數(shù)的圖像的簡圖． －2 2 x=8 x y O

4、 分析：識別圖像，抓住關(guān)鍵點(diǎn)． 解：（1）由圖知，，，，即． 將，代入，得，解得，即． （2）設(shè)函數(shù)圖像上任一點(diǎn)為，與它關(guān)于直線對稱的對稱點(diǎn)為， 得解得代入中，得． 2 4 x y O －4 12 （3），簡圖如圖所示． 點(diǎn)評：由圖像求解析式，比較容易求解，困難的是待定系數(shù)求和，通常利用周期確定，代入最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求． 【反饋演練】 1．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)，的圖像上所有的點(diǎn) ①向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）； ②向右平移個單位長度，再

5、把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）； ③向左平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）； ④向右平移個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）． 其中，正確的序號有_____③______． 2．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移____個單位長度． 3．若函數(shù)，（其中，）的最小正周期是，且，則__2____；__________． 4．在內(nèi)，使成立的取值范圍為____________________． 5．下列函數(shù)： 第5題 ①； ②； ③； ④． 其中

6、函數(shù)圖象的一部分如右圖所示的序號有_____④_____． 6．如圖，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù) （1）求這段時間的最大溫差； （2）寫出這段時間的函數(shù)解析式． 解：（1）由圖示，這段時間的最大溫差是℃ 第6題 （2）圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)的半個周期 ∴，解得 由圖示，　　 這時， 將代入上式，可取 綜上，所求的解析式為（） 7．如圖，函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，且該函數(shù)的最小正周期為． （1）求和的值； A 第7題 （2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)， 當(dāng)，時，求的值． 解：（1）將，代入函

7、數(shù)得， 因為，所以． 又因為該函數(shù)的最小正周期為，所以， 因此． （2）因為點(diǎn)，是的中點(diǎn)，， 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為． 又因為點(diǎn)在的圖象上，所以． 因為，所以， 從而得或． 即或． 第6課 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（二） 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.理解三角函數(shù)，，的性質(zhì)，進(jìn)一步學(xué)會研究形如函數(shù)的性質(zhì)； 2.在解題中體現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想方法，利用三角恒等變形轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)來研究． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.寫出下列函數(shù)的定義域： （1）的定義域是___________________________

8、___； （2）的定義域是____________________． 2．函數(shù)f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________． （，0） 3．函數(shù) 的最小正周期是_______． 4. 函數(shù)y=sin(2x+)的圖象關(guān)于點(diǎn)_______________對稱． 5. 已知函數(shù) 在（－，）內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍是______________． 【范例解析】 例1.求下列函數(shù)的定義域： （1）；（2）． 解：（1）即， 故函數(shù)的定義域為且 （2）即 故函數(shù)的定義域為． 點(diǎn)評：由幾個函數(shù)的和構(gòu)成的函數(shù)，其定義域是每一個

9、函數(shù)定義域的交集；第（2）問可用數(shù)軸取交集． 例2．求下列函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間： （1）； （2）； 解：（1）因為，故原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為． （2）由，得， 又， 所以該函數(shù)遞減區(qū)間為，即． 點(diǎn)評：利用復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間應(yīng)注意定義域的限制． 例3．求下列函數(shù)的最小正周期： （1）；（2） ． 解：（1）由函數(shù)的最小正周期為，得的周期． （2） ． 點(diǎn)評：求三角函數(shù)的周期一般有兩種：（1）化為的形式特征，利用公式求解；（2）利用函數(shù)圖像特征求解． 【反饋演練】 1．函數(shù)的最小正周期為 __

10、___________． ， 2．設(shè)函數(shù)，則在上的單調(diào)遞減區(qū)間為___________________． 3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________________． 4．設(shè)函數(shù)，則的最小正周期為_______________． 5．函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是_______________． 6．已知函數(shù)． （Ⅰ）求的定義域； （Ⅱ）若角在第一象限且，求． 解：（Ⅰ） 由得，即． 故的定義域為． （Ⅱ）由已知條件得． 從而 ． 7． 設(shè)函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （Ⅲ）畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像 解：（Ⅰ

11、）的圖像的對稱軸， （Ⅱ）由（Ⅰ）知 由題意得 所以函數(shù) （Ⅲ）由 x 0 y －1 0 1 0 故函數(shù) 第7課 三角函數(shù)的值域與最值 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.掌握三角函數(shù)的值域與最值的求法，能運(yùn)用三角函數(shù)最值解決實際問題； 2.求三角函數(shù)值域與最值的常用方法：（1）化為一個角的同名三角函數(shù)形式，利用函數(shù)的有界性或單調(diào)性求解；（2）化為一個角的同名三角函數(shù)形式的一元二次式，利用配方法或圖像法求解；（3）借助直線的斜率的關(guān)系用數(shù)形結(jié)合求解；（4）換元法． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.函數(shù)在區(qū)間上的最小值

12、為 1 ． 2.函數(shù)的最大值等于 ． 3.函數(shù)且的值域是___________________． 4.當(dāng)時，函數(shù)的最小值為 4 ． 【范例解析】 例1.（1）已知，求的最大值與最小值． （2）求函數(shù)的最大值． 分析：可化為二次函數(shù)求最值問題． 解：（1）由已知得：，，則． ，當(dāng)時，有最小值；當(dāng)時，有最小值． （2）設(shè)，則，則，當(dāng)時，有最大值為． 點(diǎn)評：第（1）小題利用消元法，第（2）小題利用換元法最終都轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題；但要注意變量的取值范圍． 例2.求函數(shù)的最小值． 分析：利用函數(shù)的有界性求解． 解法一

13、：原式可化為，得，即， 故，解得或（舍），所以的最小值為． 解法二：表示的是點(diǎn)與連線的斜率，其中點(diǎn)B在左半圓上，由圖像知，當(dāng)AB與半圓相切時，最小，此時，所以的最小值為． 點(diǎn)評：解法一利用三角函數(shù)的有界性求解；解法二從結(jié)構(gòu)出發(fā)利用斜率公式，結(jié)合圖像求解． 例3.已知函數(shù)，． （I）求的最大值和最小值； （II）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 分析：觀察角，單角二次型，降次整理為形式． 解：（Ⅰ） ． 又，，即， ． （Ⅱ），， 且， ，即的取值范圍是． 點(diǎn)評：第（Ⅱ）問屬于恒成立問題，可以先去絕對值，利用參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為求最值問題．本小題主要考查三角函

14、數(shù)和不等式的基本知識，以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力． 【反饋演練】 1．函數(shù)的最小值等于____－1_______． 2．當(dāng)時，函數(shù)的最小值是______4 _______． 3．函數(shù)的最大值為_______，最小值為________. 4．函數(shù)的值域為 . 5．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最小值等于_________． 6．已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值． 解：（Ⅰ）． 因此，函數(shù)的最小正周期為． （Ⅱ）因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，，， 故

15、函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為． 第８課 解三角形 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.掌握正弦定理，余弦定理，并能運(yùn)用正弦定理，余弦定理解斜三角形； 2.解三角形的基本途徑：根據(jù)所給條件靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理，然后通過化邊為角或化角為邊，實施邊和角互化． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝　　　　. 2．在中，若，則的大小是______________. 3．在中，若，，，則 ． 【范例解析】 例1. 在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，已知，，． （

16、1）求的值；（2）求的值． 分析：利用轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系． 解：（1）由． （2）由得．由余弦定理 得： ，解得：或， 若，則，得，即矛盾，故． 點(diǎn)評：在解三角形時，應(yīng)注意多解的情況，往往要分類討論． 例2.在三角形ABC中，已知，試判斷該三角形的形狀． 解法一：(邊化角)由已知得：， 化簡得， 由正弦定理得：，即， 又，，． 又，或，即該三角形為等腰三角形或直角三角形． 解法二：(角化邊)同解法一得：， 由正余弦定理得：， 整理得：，即或， 即該三角形為等腰三角形或直角三角形． 點(diǎn)評：判斷三角形形狀主要利用正弦或余弦定理進(jìn)行邊角互化，從而利用角或邊判定三角形形狀

17、． B D C α β A 例4 例3.如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點(diǎn)，AB=AD，記∠CAD=，∠ABC=. （1）證明：； （2）若AC=DC，求． 分析：識別圖中角之間的關(guān)系，從而建立等量關(guān)系. （1）證明：，，， （2）解：AC=DC，. ，，. 點(diǎn)評：本題重點(diǎn)是從圖中尋找到角之間的等量關(guān)系，從而建立三角函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求出的值. 【反饋演練】 1．在中，則BC =_____________． 2．的內(nèi)角∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且，則_____． 3．在中，若，，則的形狀是____等邊

18、___三角形． 4．若的內(nèi)角滿足，則= ． 5．在中，已知，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理， ．所以． （Ⅱ）因為，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是 ， ， ． ． 6．在中，已知內(nèi)角，邊．設(shè)內(nèi)角，周長為． （1）求函數(shù)的解析式和定義域；（2）求的最大值． 解：（1）的內(nèi)角和，由得． 應(yīng)用正弦定理，知， ． 因為， 所以， （2）因為 ， 所以，當(dāng)，即時，取得最大值． 7．在中，，． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大邊的邊長為，求最小邊的邊長． 解：（Ⅰ），． 又，．

19、 （Ⅱ），邊最大，即． 又，角最小，邊為最小邊． 由且， 得．由得：． 所以，最小邊． 第9課 解三角形的應(yīng)用 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1.運(yùn)用正余弦定理等知識與方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題． 2.綜合運(yùn)用三角函數(shù)各種知識和方法解決有關(guān)問題，深化對三角公式和基礎(chǔ)知識的理解，進(jìn)一步提高三角變換的能力． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．在200高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為_________． 2或 2．某人朝正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150°，然后

20、朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好km，那么x的值為_______________ km． 3．一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個燈塔在北偏東，這時船與燈塔的距離為 km． A B C D 第4題 4．如圖，我炮兵陣地位于A處，兩觀察所分別設(shè)于B，D，已知為邊長等于的正三角形，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)于C時，測得，，求炮擊目標(biāo)的距離 解：在中，由正弦定理得： ∴ 在中，由余弦定理得： ∴ 答：線段的長為． 【范例解析】 北 乙 甲 例1（1） 例 .如圖，甲船以每

21、小時海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？ 分析：讀懂題意，正確構(gòu)造三角形，結(jié)合正弦定理或余弦定理求解． 解法一：如圖(2)，連結(jié)，由已知， 北 甲 乙 例1（2） ，， 又，是等邊三角形， ， 由已知，，， 在中，由余弦定理， ． 北 乙 甲 例1（3） ．因此，乙船的速度的大小為（海里/小時）． 答：乙船每小時航行海

22、里． 解法二：如圖（3），連結(jié)， 由已知，，， ， ． 在中，由余弦定理， ． ． 由正弦定理， ，即，． 在中，由已知，由余弦定理， ． ，乙船的速度的大小為（海里/小時）． 答：乙船每小時航行海里． 點(diǎn)評：解法二也是構(gòu)造三角形的一種方法，但計算量大，通過比較二種方法，學(xué)生要善于利用條件簡化解題過程． 【反饋演練】 1．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為和，而且兩條船與炮臺底部連線成角，則兩條船相距____________m． 2．有一長為1km的斜坡，它的傾斜角為，現(xiàn)要將傾斜角改為，則坡底要伸長____1___k

23、m． 3．某船上的人開始看見燈塔在南偏東方向，后來船沿南偏東方向航行45海里后，看見燈塔在正西方向，則此時船與燈塔的距離是__________海里． 4．把一根長為30cm的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形的兩邊和，且，則第三條邊的最小值是____________cm． 5．設(shè)是某港口水的深度y（米）關(guān)于時間t（時）的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天 從0時至24時記錄的時間t與水深y的關(guān)系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.下面的函數(shù)中, 最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是 （ A ） A． B． C． D．