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1、第六十一講 條件概率與獨立事件走進高考第一關 考點關回 歸 教 材1.條件概率一般地,設A、B為兩個事件,且P(A)0,稱P(B/A)= 為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.2.事件的獨立性(1)設A、B為兩個事件,如果P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與B相互獨立.如果A、B相互獨立,則A與 , 與B, 與 也是相互獨立的.( )P ABP ABAAB(2)相互獨立事件同時發(fā)生的概率的計算公式是P(AB)=P(A)P(B).(3)推廣:如果事件A1、A2,AN相互獨立,那么這N個事件同時發(fā)生的概率,等于每于事件發(fā)生的概率的積,即P(A1A2AN)=P(A1)P(A2)P(AN).
2、考 點 訓 練1.(2008湖北卷)明天上午李明要參加奧運志愿者活動,為了準時起床,他用甲、乙兩個鬧、詠行炎約、假設甲鬧鐘準時的概率是0.80,乙鬧鐘準時響的概率是0.90,則兩個鬧鐘至少有一個準時的概率是_.解析解析:甲、乙兩鬧鐘均不準時的概率為甲、乙兩鬧鐘均不準時的概率為(1-0.80)(1-0.90)=0.02.兩鬧鐘準時響的概率為兩鬧鐘準時響的概率為1-0.02=0.98.答案答案:0.982.(2008浙江卷改編)一袋中共有10個大小相同的黑球和白球,若從袋中任意摸出2個球,至少有一個白球的概率為 ,則白球的個數(shù)為_.現(xiàn)從中不放回地取球,每次取一球,取兩次,已知第二次取得白球,則第一
3、次取得黑球的概率為_.79559答案：.(),()1696A.B.6256253 20084425192256CD625625福建卷 某一批花生種子 如果每一粒發(fā)芽的概率為那么播下 粒種子恰有 粒發(fā)芽的概率是解析解析:4粒種子恰有粒種子恰有2粒發(fā)芽粒發(fā)芽,相當于相當于4次獨立重復試驗次獨立重復試驗,有有2次發(fā)次發(fā)生的概率生的概率.因此所求概率為因此所求概率為( )().22244496PC155625答案答案:B解讀高考第二關 熱點關題型一 條件概率例1一個家庭中有兩個小孩.假定生男、生女是等可能的,已知這個家庭中有一個是女孩,問這時另一個小孩是男孩的概率是多少、分析分析:一個家庭的兩個小孩只
4、有一個家庭的兩個小孩只有4種可能種可能;兩個男孩兩個男孩;第一個第一個是男孩是男孩,第二個是女孩第二個是女孩;第一個是女孩第一個是女孩,第二個是男孩第二個是男孩;兩個兩個女孩女孩.而且這四個基本事件的發(fā)生是等可能的而且這四個基本事件的發(fā)生是等可能的.解:根據(jù)題意,設基本事件為,A表示“其中一個是女孩”,B表示“其中一個是男孩”.則=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),A=(男,女),(女,男),(女,女),B=(男,男),(男,女),(女,男),P(AB)= ,P(A)= ,問題是求在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,即P(B/A)= .因此所求的概率為 .2434PA B2P
5、A323點評:(1)求條件概率的步驟:用字母表示有關事件;求出P(AB),P(A);代入公式P(B/A)= .(2)注意公式的變形應用.P(AB)=P(B/A)P(A),P(A/B)= P ABP A .P ABP B變式1:一只口袋內裝有2個白球和2個黑球,求:(1)先摸出1個白球不放回,再摸出一個白球的概率;(2)先摸出1個白、蚍嘔睪、再摸出一個白球的概率 .解解:(1)設設“先摸出先摸出1個白球不放回個白球不放回”為事件為事件A,“再摸出一個白再摸出一個白球球”為事件為事件B,則則“先后兩次摸到白球先后兩次摸到白球”為為AB,先摸一球不先摸一球不放回放回,再摸一球共有再摸一球共有43種結
6、果種結果. 11,P AB(),32361P AB16P B/ A.1P A322 32 1P AP AB44(2)設“先摸出1個白球放回”為事件A1,“再摸出一個白球”為事件B1,“兩次都摸到白球”為事件A1B1,則(), ()().114(/)() ().1221111111111111P A1P A BP AB2224P BAP A B P A點評:先摸出一個白球后放回或不放回,影響到后面取球的概率,應注意到兩個事件同時發(fā)生的概率是不同的.題型二 相互獨立事件同時發(fā)生的概率例2某企業(yè)生產的產品有一等品與二等品兩種,按每箱10件進行包裝,每箱產品均需質檢合格后方可出廠,質檢辦法規(guī)定:從每箱
7、產品中任意抽取4件進行檢驗,若二等品不超過1件,就認為該箱產品合格;否則認為是不合格,已知某箱產品中有2件二等品.(1)求該箱產品被某質檢員檢驗合格的概率;(2)若甲、乙兩質檢員分別對該箱產品進行檢驗,求甲、乙兩人得出結論不一致的概率.解:(1)設“該箱產品被某質檢員檢驗合格”為事件A,則 (2)設“甲的質檢結論為合格”這一事件為B,“乙為質檢結論為合格”這一事件為C.甲、乙結論不一致,包含甲、乙兩人中的一人認為合格,另一人認為不合格共兩種情況.1315.431882410CC CP AC ()(C)( )( ) P C1352().15225BPP B CPP B P CP B1313131
8、1151515點評:公式P(AB)=P(A)P(B)成立的前提條件是A、B為相互獨立事件.對于較復雜的問題,要分清事件的構成,注意概率的轉化.變式2:(2009全國)甲、乙二人進行一次圍棋比賽,約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利,比賽結束.假設在一局中,甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,各局比賽結果相互獨立.已知前2局中,甲、乙各勝1局.(1)求甲獲得這次比賽勝利的概率;(2)設表示從第3局開始到比賽結束所進行的局數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.解:記AI表示事件:第I局甲獲勝,I=3,4,5,BJ表示事件:第J局乙獲勝,J=3,4.(1)記B表示事件:甲獲得這次比賽的勝利.因前兩局中,甲、
9、乙各勝一局,故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在后面的比賽中,甲先勝2局,從而B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5,由于各局比賽結果相互獨立,故P(B)=P(A3A4)+P(B3、4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.6=0.648.(2)的可能取值為2,3.由于各局比賽結果相互獨立,所以P(=2)=P(A3A4+B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.60.6+0.40.4=0.52,P(=3)=1-P(=2)=1-0.52=0.48.的分布列為
10、23P0.520.48E=2P(=2)+3P(=3)=20.52+30.48=2.48.笑對高考第三關 技巧關概率的綜合問題求較復雜的事件的概率一般可分步進行:(1)列出題中涉及的各事件,并用適當?shù)姆柋硎?(2)弄清各事件之間的關系,列出關系式;(3)根據(jù)各事件之間的關系,準確選擇概率公式進行計算.典例甲、乙、丙三位大學生,同時應聘一個用人單位,其能被選中的概率分別為 ,且三人能否被選中;相互之間是無關的.(1)求3人都被選中的概率;(2)求只有2人被選中的概率;(3)3人中有幾個人被選中的事件最容易發(fā)生、231543、考 向 精 測1.(2009全國)某車間甲組有10名工人,其中有4名女工
11、人;乙組有10名工人,其中有6名女工人.現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內采用不放回簡單隨機抽樣)從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術考核.(1)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù);(2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.解:(1)由于甲、乙兩組各有10名工人,根據(jù)分層抽樣原理.要從甲、乙兩組中共抽取4名工人進行技術考核,則從每組各抽取2名工人.(2)記A表示事件:從甲組抽取的工人中恰有1名女工人,則 .1146210C C8P AC15(3)AI表示事件:從甲組抽取的2名工人中恰有I名男工人,I=0,1,2.BJ表示事件:從乙組抽取的2名工人中恰有J名男工
12、人,J=0,1,2.B表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人AI與BJ獨立,I,J=0,1,2,且B=A0B2+A1B1+A2B0.故P(B)=P(A0B2+A1B1+A2B0)=P(A0)P(B2)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B0)31.751111222246646644222222101010101010C CC CCCCCCCCCCC2.(2009陜西卷)據(jù)統(tǒng)計,某食品企業(yè)在一個月內被消費者投訴次數(shù)為0,1,2的概率為0.4,0.5,0.1.(1)求該企業(yè)在一個月內被消費者投訴不超過1次的概率;(2)假設一月份與二月份被消費者設訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個月內共被消費
13、者投訴2次的概率.解解:解法一解法一:(1)設事件設事件A表示表示“一個月內被投訴的次數(shù)為一個月內被投訴的次數(shù)為0”,事件事件B表示表示“一個月內被訴投的次數(shù)為一個月內被訴投的次數(shù)為1”,P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9.(2)設事件AI表示“第I個月被投訴的次數(shù)為0”,事件BI表示“第I個月被投訴的次數(shù)為1”,事件CI表示“第I個月被投訴的次數(shù)為2”,事件D表示“兩個月內共被投訴2次”.P(AI)=0.4,P(BI)=0.5,P(CI)=0.1(I=1,2),兩個月中,一個月被投訴2次,另一個月被投訴0次的概率為P(A1C2+A2C1),一、二月份均被投訴1次的概率為
14、P(B1B2),P(D)= P(A1C2+A2C1)+ P(B1B2)=P(A1C2) P(A2C1) +P(B1B2),由事件的獨立性得P(D)=0.40.1+0.10.4+0.50.5=0.33.解法二:(1)設事件A表示“一個月內被投訴2次”,事件B表示“一個月內被投訴的次數(shù)不超過1次”.P(A)=0.1,P(B)=1-P(A)=1-0.1=0.9.(2)同解法一.課時作業(yè)(六十一) 條件概率與獨立事件一、選擇題1.(2007浙江卷浙江卷)甲、乙兩人進行乒乓球比賽甲、乙兩人進行乒乓球比賽,比賽規(guī)則為比賽規(guī)則為“3局局2勝勝”,即以先贏即以先贏2局者為勝局者為勝,根據(jù)經驗根據(jù)經驗,每局比賽
15、中甲獲每局比賽中甲獲勝的概率為勝的概率為0.6,則本次比賽甲獲勝的概率是則本次比賽甲獲勝的概率是( )A.0.216B.0.36C.0.432D.0.648解析:方法一:(估值法)由于每局比賽中甲勝的概率為0.6,所以采用“3局2勝”制,甲獲勝的概率也大.由選擇支超過12的概率只有D.故選D.方法二,甲獲勝有兩種情況:2:0,2:1.甲獲勝的概率為:P= 0.62+ 0.60.40.6=0.648.22C12C答案答案:D2.(2010保定摸底)甲、乙兩同學下棋,贏一局得2分,和一局得1分,輸一局得-1分,連下三局,得分多者為勝,則甲獲勝的概率為( )111013A.B.C.D.322727解
16、析:下三局,每局都有贏、和、輸三種可能,共有基本事件為33=27種,甲獲勝分三類:勝一局,和二局,有3種;勝二局,另一局和、輸均可,有6種;勝三局,有1種.故甲獲勝的概率為 .答案答案:C10273.拋擲甲、乙兩枚骰子,若事件A:甲骰子的點數(shù)小于3,事件B:甲、乙兩枚骰子的點數(shù)和等于6.則P(B/A)的值等于( )1111A.B.C.D.31869解析解析:事件事件A包含的基本事件有包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),共共12個個,而而AB包含包含(1,5),(2,4)共
17、共2個個. 2P AB136P B/ A.12P A636答案答案:C4.某地一農業(yè)科技實驗站,對一批新水稻種子進行試驗,已知這批水稻種子的發(fā)芽率為0.8,出芽后的幼苗成活率為0.9,在這批水稻種子中,隨機的抽取一粒,則這粒水稻種子能成長為幼苗的概率為( )A.0.02B.0.08C.0.18D.0.72解析:方法一:估值知選D.方法二:設這粒種子發(fā)芽為事件A,發(fā)芽又成長為幼苗為事件B,則P(A)=0.8,P(B/A)=0.9,這粒種子發(fā)芽又成長為幼苗為事件AB,由條件概率公式得P(AB)=P(B/A)P(A)=0.90.8=0.72.答案答案:D5.設有兩個獨立事件A和B同時不發(fā)生的概率為P
18、,A發(fā)生B不發(fā)生與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事件A發(fā)生的概率為( )pA.2p B. C.1p.2D12p :,P A1 a,P B1 b,1 a1 bp, 1a 1 bb 1 a . 2( ),( )a1p. P Aa P Bb2ab1解析 設則依題意得由得代入解得答案答案:C二、填空題6.4張獎券中只有1張能中獎,現(xiàn)分別由4名同學無放回地抽取.若已知第一名同學沒有抽到中獎券,則最后一名同學抽到中獎券的概率為_.解析解析:第一名同學沒有抽到中獎券第一名同學沒有抽到中獎券,還剩還剩3張張,其中有其中有1張能中獎張能中獎,因此最后一名同學抽到中獎券的概率為因此最后一名同學抽到中獎券的概率為 .
19、答案答案:13137.6位同學參加百米短跑比賽,賽場共有6條跑道,已知甲同學被排在第一跑道,則乙同學被排在第三跑道的概率為_.解析解析:已知甲同、已知甲同、旁詰諞慌艿、其他同學有排法旁詰諞慌艿、其他同學有排法 種種,乙同乙同學排在第三跑道學排在第三跑道,其他其他4位同學有位同學有 種排法種排法,故所求的概率為故所求的概率為 .答案答案:55A4455A1PA544A158.在10個球中,有6個紅球和4個白球(各不相同),不放回地依次摸出兩個球,在第一次摸出紅球的條件下,第二次也摸出紅球的概率是_.解析解析:第一次摸出一個紅球后不放回還剩下第一次摸出一個紅球后不放回還剩下9個球個球,其中有其中有
20、5個個紅球紅球,因此第二次摸出紅球的概率為因此第二次摸出紅球的概率為 .答案答案:59599.一個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球,從中摸出一個球,放回后再摸出一個球,則兩次摸出的球恰顏色不同的概率為_.解析解析:分兩類分兩類:第一次是白球第一次是白球,第二次是黑球第二次是黑球.其概率為其概率為P1= .或者第一次是黑球或者第一次是黑球,第二次是白第二次是白球球,其概率為其概率為P2= .所求的概率為所求的概率為P=P1+P2= .答案答案:2365525326552512251225三、解答題10.1號箱中有號箱中有2個白球和個白球和4個紅球個紅球,2號箱中有號箱中有5個白球和個白球和
21、3個紅個紅球球,現(xiàn)隨機地從現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入號箱中取出一球放入2號箱中號箱中,然后從然后從2號箱隨號箱隨機取出一球機取出一球,問從問從2號箱取出紅球的概率是多少、號箱取出紅球的概率是多少、11.(2009重慶卷)某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲、乙兩種大樹各2株,設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為 和 ,且各株大樹是否成活互不影響,求移栽的4株大樹中:(1)至少有1株成活的概率;(2)兩種大樹各成活1株的概率.564512.(2008湖南卷)甲、乙、丙參加了一家公司的招聘面試,面試合格者可正式簽約,甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定:兩人面試都合格就一同簽約,否則兩人都不簽約.設每人面試合格的概率都是 ,且面試是否合格互不影響.求:(1)至少有一人面試合格的概率.(2)沒有簽約的概率.12
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