高中數(shù)學(xué) 32第1課時 空間向量與平行關(guān)系課件 新人教A版選修21

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1、 理解直線的方向向量與平面的法向量，并能運(yùn)用它們證明平行問題 能用向量語言表述線線、線面、面面的平行關(guān)系第第1課時課時 空間向量與平行關(guān)系空間向量與平行關(guān)系3.2立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法【課標(biāo)要求課標(biāo)要求】【核心掃描核心掃描】求直線的方向向量、平面的法向量求直線的方向向量、平面的法向量(重點(diǎn)重點(diǎn)) )用方向向量、法向量處理線線、線面、面面間的平行關(guān)用方向向量、法向量處理線線、線面、面面間的平行關(guān)系系(重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)、難點(diǎn)) )1212 直線的方向向量 直線的方向向量是指和這條直線_的向量 想一想：直線的方向向量唯一嗎？若不唯一，它們之間有怎樣的關(guān)系？ 提示不唯一直線的方向向量有

2、無數(shù)條，它們都是平行向量自學(xué)導(dǎo)引自學(xué)導(dǎo)引1平行或共線平行或共線 平面的法向量 直線l，取直線l的_，則a叫做平面的法向量 想一想：平面的法向量唯一嗎？若不唯一，它們之間的關(guān)系怎樣？ 提示不唯一，平面的法向量有無數(shù)條，它們都是平行向量 空間平行關(guān)系的向量表示 (1)線線平行 設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，則lmab_a1a2，b1b2，c1c2(R) (2)線面平行23方向向量方向向量aab 設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面的法向量為u (a2，b2，c2)，則lau_ _ _ (3)面面平行 設(shè)平面，的法向量分別為u(a1，b1，c

3、1)，v(a2，b2，c2)， 則uv_ _ (R) 試一試：證明過程中，如何確定直線的方向向量和平面的法向量？ 提示實(shí)際應(yīng)用中，直線的方向向量即把線段看作有向線段時表示的向量，平面的法向量一般可建系后用待定系數(shù)法求出au0a1a2b1b2uva1a2，b1b2，c1c2c1c20 平面法向量的求法 (1)當(dāng)已知平面的垂線時，在垂線上取一非零向量即可作為平面的法向量 (2)當(dāng)已知平面內(nèi)兩不共線向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)時，常用待定系數(shù)法求法向量：名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛1在上述方程組中，對在上述方程組中，對x，y，z中的任一個賦值，求出另兩中的任一個賦值，求出另兩個，所得個，所

4、得n即為平面的法向量即為平面的法向量 用向量方法證明空間中的平行關(guān)系線線線線平行平行設(shè)直線設(shè)直線l1，l2的方向向量分別是的方向向量分別是a，b，則要證明，則要證明l1l2，只需證明，只需證明ab，即，即akb(kR).線面線面平行平行設(shè)直線設(shè)直線l的方向向量是的方向向量是a，平面，平面的法向量是的法向量是u，則要，則要證明證明l，只需證明，只需證明au，即，即au0.根據(jù)線面平行判定定理在平面內(nèi)找一個向量與已知根據(jù)線面平行判定定理在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可直線的方向向量是共線向量即可.證明一條直線證明一條直線l與一個平面與一個平面平行，只需證明平行，只需證明l的方向

5、的方向向量能用平面向量能用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示內(nèi)兩個不共線向量線性表示.面面面面平行平行轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行.求出平面求出平面，的法向量的法向量u，v, 證明證明uv即可說明即可說明.2 向量法解決幾何問題的步驟 (1)建立空間圖形與空間向量的關(guān)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題 (2)進(jìn)行向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算，得出向量運(yùn)算的結(jié)果 (3)把向量運(yùn)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的幾何問題的結(jié)果3題型一題型一利用方向向量和法向量判定線面位置關(guān)系利用方向向量和法向量判定線面位置關(guān)系 (1)設(shè)a，b分別是不重合的直線l1，l2的方向向量，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1，l2

6、的位置關(guān)系： a(4，6，2)，b(2，3，1)； a(5，0，2)，b(0，1，0)； (2)設(shè)u，v分別是不同的平面，的法向量，根據(jù)下列條件判斷，的位置關(guān)系；【例例1】 u(3，0，0)，v(2，0，0)； (3)設(shè)u是平面的法向量，a是直線l的方向向量，根據(jù)下列條件判斷平面與l的位置關(guān)系； u(2，2，1)，a(6，8，4)； u(2，3，0)，a(8，12，0) 思路探索 可先判斷直線的方向向量與平面的法向量之間的位置關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為直線與平面間的位置關(guān)系 解(1)a(4，6，2)，b(2，3，1)， a2b，ab，l1l2. a(5，0，2)，b(0，1，0)， ab0，ab，l1l2

7、. 規(guī)律方法 利用直線的方向向量與平面的法向量判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系是直線的方向向量與平面的法向量的基本應(yīng)用，解決此類問題時需注意以下幾點(diǎn)： (1)能熟練的判斷兩向量的共線與垂直； (2)搞清直線的方向向量，平面的法向量和直線、平面位置關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系； (3)將向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題時的等價性根據(jù)下列各條件，判斷相應(yīng)的直線與直線、平面與平面、直線與平面的位置關(guān)系 (1)直線l1、l2的方向向量分別是 a(1，3，1)，b(8，2，2)； (2)平面、的法向量分別是 u(1，3，0)，v(3，9，0)； (3)直線l的方向向量、平面的法向量分別是 a(1，4，3)，

8、(2，0，3)； (4)直線l的方向向量、平面的法向量分別是 a(3，2，1)，u(1，2，1)【變式變式1】 解(1)a(1，3，1)，b(8，2，2)， ab8620，ab，l1l2. (2)u(1，3，0)，v(3，9，0)， v3u，uv，. (3)a(1，4，3)，u(2，0，3)， a與u即不共線，也不垂直， l與平面斜交 (4)a(3，2，1)，u(1，2，1)， au3410，au， l或l. 思路探索 可先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出每個平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出平面的法向量題型題型二二求平面的法向量求平面的法向量【例例2】 規(guī)律方法 平面的法向量有無數(shù)條，

9、一般用待定系數(shù)法求解，解一個三元一次方程組，求得其中一條即可，構(gòu)造方程組時，注意所選平面內(nèi)的兩向量是不共線的，賦值時保證所求法向量非零，本題中法向量的設(shè)法值得借鑒 已知點(diǎn)A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)，求平面ABC的一個法向量【變式變式2】 (12分)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點(diǎn)，求證： (1)FC1平面ADE； (2)平面ADE平面B1C1F.題型題型三三利用空間向量證明平行問題利用空間向量證明平行問題【例例3】證明證明如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有則有D(0，0，0)、A(2，0，0

10、)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)， 規(guī)律方法 利用向量法解此類題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出平面的法向量，通過分析直線的方向向量、平面的法向量之間的關(guān)系進(jìn)行證明 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn) 求證：平面AMN平面EFDB.【變式變式3】證明證明如圖，分別以如圖，分別以DA、DC、DD1所在直線為所在直線為x軸，軸，y軸，軸，z軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)正方體棱長為設(shè)正方體棱長為a，則則A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D

11、1(0，0，a)，B1(a，a，a)， 探索性、存在性問題是條件不完備和結(jié)論不確定的問題，這類問題對學(xué)生解決問題、處理問題的能力要求較高立體幾何中的探索性、存在性問題，是比較有思維層次的，對能力要求非常高利用向量的方法，可以將這類問題由立體幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)的方程式或不等式的解的問題，降低了問題的難度 方法技巧探索性、存在性問題的解題技巧方法技巧探索性、存在性問題的解題技巧 思路分析可先建系，寫出直線的方向向量與平面的法向量，再用待定系數(shù)法確定點(diǎn)E. 解分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，【示示例例】 方法點(diǎn)評 探索性、存在性問題的處理思路，一般是先假設(shè)存在，根據(jù)題目條件去求解，空間向量的應(yīng)用對已知平行的條件提供了更廣闊的適用空間