2013年高考數(shù)學(xué)（理科）真題分類匯編N單元選修4系列

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1、 N單元 選修4系列 N1選修4-1 幾何證明選講　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 圖1－6 22．N1[2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ] 選修4－1：幾何證明選講如圖1－6所示，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D. (1)證明：DB＝DC； (2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝，延長CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑． 22．解：(1)證明：聯(lián)結(jié)DE，交BC于點(diǎn)G. 由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE. 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE. 又因為DB⊥BE，所以DE為直徑

2、，∠DCE＝90°， 由勾股定理可得DB＝DC. (2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故DG是BC的中垂線，所以BG＝. 設(shè)DE的中點(diǎn)為O，聯(lián)結(jié)BO，則∠BOG＝60°.從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°， 所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑等于. 15．N1[2013·廣東卷] (幾何證明選講選做題)如圖1－3所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝________． 圖1－3 15．2 　[解析] 由題知∠ACB＝90°，又BC＝CD， ∴AD＝AB＝6，∠

3、BAC＝∠CAE，∴AE＝AD－ED＝4. ∵CE為切線，∴∠ACE＝∠ABC. ∴∠ACE＋∠CAE＝∠ABC＋∠BAC＝90°. 在△ACD中，∠ACD＝90°，CE⊥AD， ∴CD2＝ED·DA＝12，解得CD＝2 ，故BC＝2 . 圖1－5 15．N1[2013·湖北卷] (選修4－1：幾何證明選講) 如圖1－5所示，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，點(diǎn)D在半徑OC上的射影為E.若AB＝3AD，則的值為________． 15．8　[解析] 設(shè)AB＝6k，則AD＝2k，DO＝k，CO＝3k，設(shè)EO＝x，由射影定理：DO2＝EO·CO，k2＝x·3k，x＝，故＝＝8

4、. 圖1－3 11．N1[2013·湖南卷] 如圖1－2所示，在半徑為的⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P.PA＝PB＝2，PD＝1，則圓心O到弦CD的距離為________． 11.　[解析] 由相交弦定理可知PA·PB＝PC·PD，得PC＝4，故弦CD＝5，又半徑r＝，記圓心O到直線CD的距離為d，則d2＋＝7，即d2＝，故d＝. 21．N1[2013·江蘇卷] A．[選修4－1：幾何證明選講] 如圖1－1所示，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC＝2OC. 求證：AC＝2AD. 圖1－1 證明：聯(lián)結(jié)OD，因為AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，

5、 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因為∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB， 所以＝. 又BC＝2OC＝2OD. 故AC＝2AD. 11．N1[2013·北京卷] 如圖1－2，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，則PD＝________，AB＝________． 圖1－2 11.　4　[解析] 由于PD∶DB＝9∶16，設(shè)PD＝9a，則DB＝16a，PB＝25a，根據(jù)切割線定理有PA2＝PD·PB，∴a＝，∴PD＝，PB＝5.又∵△PBA為直角三角形，∴AB2＋AP2＝PB2，∴AB＝4. 22．N1[20

6、13·遼寧卷] 選修4－1：幾何證明選講 如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，聯(lián)結(jié)AE，BE.證明： (1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC. 圖1－8 22．證明：(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB. 由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝. 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝， 從而∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB. (2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 類似可

7、證，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF， 所以EF2＝AD·BC. N1[2013·陜西卷] B．(幾何證明選做題)如圖1－4，弦AB與CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)E，過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點(diǎn)P，已知PD＝2DA＝2，則PE＝________. 圖1－4 　[解析] 利用已知可得，∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得＝，而PD＝2DA＝2，則PA＝3，則PE2＝PA·PD＝6，PE＝. 15．C8，E8，N1[2013·四川卷] 設(shè)P1，P2，…，Pn為平面α內(nèi)的n個點(diǎn)，在平面α內(nèi)的

8、所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到P1，P2，…，Pn點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為P1，P2，…，Pn點(diǎn)的一個“中位點(diǎn)”．例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A，B的中位點(diǎn)．則有下列命題： ①若A，B，C三個點(diǎn)共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點(diǎn)； ②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個頂點(diǎn)的中位點(diǎn)； ③若四個點(diǎn)A，B，C，D共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一； ④梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)． 其中的真命題是________．(寫出所有真命題的序號) 15．①④　[解析] 對于①，如果中位點(diǎn)不在直線AB上，由三角形兩邊之和大于第三邊可知與題意矛盾．而當(dāng)中位點(diǎn)在直線AB上時，如

9、果不與C重合，則|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合題意，故C為唯一的中位點(diǎn)，①正確； 對于②，我們?nèi)⌒边呴L為4的等腰直角三角形，此時，斜邊中點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離均為2，和為6；而我們?nèi)⌒边吷现芯€的中點(diǎn)，該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離為1，到兩底角頂點(diǎn)的距離均為，顯然2 ＋1＜6，故該直角三角形的斜邊中點(diǎn)不是中位點(diǎn)，②錯誤； 對于③，當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共線時，不妨設(shè)他們的順序就是A，B，C，D，則當(dāng)點(diǎn)P在B，C之間運(yùn)動時，點(diǎn)P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和相等且最小，即這個時候的中位點(diǎn)有無窮多個，③錯誤； 對于④，同樣根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，如果中位點(diǎn)不在對角線的交

10、點(diǎn)上，則距離之和肯定不是最小的，④正確． 13．N1[2013·天津卷] 如圖1－2所示，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC.過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F，若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線段CF的長為________． 圖1－2 13.　[解析] 由切割線定理可得EA2＝EB·ED，有EB＝4，ED＝9. 因為AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝∠ADB， 由弦切角定理可得∠EAB＝∠ADB，所以∠EAB＝∠ABC，故AE∥BC.又BD∥AC， 所以四邊形AEBC是平行四邊形，可得BC＝AE＝6，又由平行線分線段成比例定理可得＝

11、，因為AE＝6，所以BF＝，故CF＝BC－BF＝. 22．N1[2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ] 選修4－1：幾何證明選講： 如圖1－5，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓． (1)證明：CA是△ABC外接圓的直徑； (2)若DB＝BE＝EA，求過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值． 圖1－5 22．解：(1)證明：因為CD為△ABC外接圓的切線，所以∠DCB＝∠A，由題設(shè)知＝， 故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因為B，E，F(xiàn)，C四

12、點(diǎn)共圓，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圓的直徑． (2)聯(lián)結(jié)CE，因為∠CBE＝90°，所以過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2. 而DC2＝DB·DA＝3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為. 1－6 14．N1[2013·重慶卷] 如圖1－6所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，過C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點(diǎn)E，則DE的長為_

13、_______． 14．5　[解析] 聯(lián)結(jié)CE.由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以在Rt△BCD中，∠CBD＝30°.又在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝AB＝10，所以CE＝AC＝10.在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，故DE＝CE＝5. N2　選修4-2 矩陣　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 21．[2013·福建卷] N2(Ⅰ)選修4－2：矩陣與變換 已知直線l：ax＋y＝1在矩陣A＝)對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x＋by＝1. (1)求實(shí)數(shù)a，b的值； (2)若點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，且A)＝)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． (Ⅰ)解：(1)設(shè)直線

14、l：ax＋y＝1上任意點(diǎn)M(x，y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的像是M′(x′，y′)． 由)＝)))＝)，得 又點(diǎn)M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1， 即x＋(b＋2)y＝1. 依題意得解得 (2)由A)＝)，得解得y0＝0. 又點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，所以x0＝1. 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)． N2[2013·江蘇卷] B．[選修4－2：矩陣與變換] 已知矩陣A＝－1,0)　0,2)，B＝1,0)　2,6)，求矩陣A－1B. 解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為a,c)　b,d)， 則－1,0)　0,2)a,c)　b,d)＝1,0)　0,1)． 即－a,2c

15、)?。璪,2d)＝1,0)　0,1)， 故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝， 從而A的逆矩陣為A－1＝　0,)))． 所以A－1B＝　0,)))1,0)　2,6)＝－1,0)?。?,3)． 2．N2，N3[2013·浙江卷] 已知a∈R“矩陣與變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程”模塊 (1)以極坐標(biāo)系Ox的極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．把極坐標(biāo)方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐標(biāo)方程． (2)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(θ為參數(shù))，過點(diǎn)P(2，1)的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．若|PA|·|PB|＝，求|AB|的值．

16、 2．解：(1)極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ. 又在直角坐標(biāo)系下，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2， 故化成直角坐標(biāo)方程為x＋y(x2＋y2)＝. 又(0，0)滿足原極坐標(biāo)方程． 故所求的直角坐標(biāo)方程為x＋y(x2＋y2)＝. (2)由題意，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋2y2＝2. 設(shè)過點(diǎn)P(2，1)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))． 及點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2. 將直線的參數(shù)方程代入x2＋2y2＝2得 (2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2－2＝0. 即(1＋sin2α)t2＋4(sin α

17、＋cos α)t＋4＝0. 則Δ＝16(2sin αcos α－sin2 α)>0，且t1＋t2＝－，t1t2＝， 由|PA|·|PB|＝得|t1t2|＝＝. 故sin2 α＝.又由Δ>0得0

18、極坐標(biāo)方程； (2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0，0≤θ＜2π)． 23．解：(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25， 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0， 由解得或 所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，. 7．N3[2013·安徽卷] 在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為(　　) A．θ＝0(ρ∈

19、R)和ρcos θ＝2 B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 7．B　[解析] 圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，故垂直于極軸的兩條切線的直角坐標(biāo)方程為x＝0，x＝2，其極坐標(biāo)方程分別為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 9．N3[2013·北京卷] 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線ρsin θ＝2的距離等于________． 9．1　[解析] 極坐標(biāo)系中點(diǎn)的對應(yīng)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)為(，1)，極坐標(biāo)系中直線ρsin θ＝2對應(yīng)直角坐標(biāo)系中直線方程為y＝2，所以距離為1. N3(Ⅱ)選修4－4：坐

20、標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝a，且點(diǎn)A在直線l上． (1)求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系． (Ⅱ)解：(1)由點(diǎn)A，在直線ρcosθ－＝a上，可得a＝. 所以直線l的方程可化為ρcos θ＋ρsin θ＝2， 從而直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. (2)由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1. 所以圓C的圓心為(1，0)，半徑r＝1， 因為圓心C到直線l的距離d＝＝<1， 所以直線

21、l與圓C相交． 14．N3[2013·廣東卷] (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，C在點(diǎn)(1，1)處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，則l的極坐標(biāo)方程為________． 14．ρsin＝　[解析] 曲線C的參數(shù)方程化為普通方程是x2＋y2＝2，點(diǎn)(1，1)在曲線上，易求得過(1，1)作圓C切線的方程是：x＋y＝2，其極坐標(biāo)方程是ρ(cos θ＋sin θ)＝2，即ρsin＝. 16．N3[2013·湖北卷] (選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程) 在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)，a>b>0)．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系

22、xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為ρsinθ＋＝m(m為非零常數(shù))與ρ＝b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為________． 16.　[解析] 直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－m＝0，圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝b2，由直線與圓相切得：m2＝2b2.又橢圓C的一般方程為＋＝1，直線過橢圓焦點(diǎn)，故m＝c，所以c2＝2b2e＝＝. 9．N3[2013·湖南卷] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為________． 9．3　[解析] 將參數(shù)方

23、程化為普通方程可得，直線l：即y＝x－a，橢圓C：即＋＝1，可知其右頂點(diǎn)為(3，0)，代入直線方程可得a＝3. N3[2013·江蘇卷] C．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直線l的普通方程為2x－y－2＝0. 同理得到曲線C的普通方程為y2＝2x. 聯(lián)立方程組解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2)，，－1. 15．[2013·江西卷] N3(1)(坐標(biāo)系與

24、參數(shù)方程選做題)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為________． N4[2013·江西卷] (2)(不等式選做題)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式||x－2|－1|≤1的解集為__________________． 15．(1)ρcos2θ－sin θ＝0　(2) [解析] (1)曲線方程為y＝x2，將y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入得ρcos2θ－sin θ＝0. (2)－1≤|x－2|－1≤10≤|x－2|≤2－2≤x－2≤2，得0≤x≤4. 23．N3[2013·遼寧卷] 選修4－4：坐標(biāo)系與參

25、數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4sin θ，ρcos＝2 . (1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)； (2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)．已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù))，求a，b的值． 23．解：(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－2)2＝4， 直線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0. 解得 所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，. 注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一． (2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0，2)，(1，3)， 故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0.

26、 由參數(shù)方程可得y＝x－＋1， 所以解得a＝－1，b＝2. C．N3[2013·陜西卷] (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)如圖1－5，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角θ為參數(shù)，則圓x2＋y2－x＝0的參數(shù)方程為________． 圖1－5 (θ為參數(shù))　[解析] 設(shè)P(x，y)，則隨著θ取值變化，P可以表示圓上任意一點(diǎn)，由所給的曲線方程x2＋y2－x＝0x－2＋y2＝，表示以，0為圓心，半徑為的圓，可得弦OP＝1×cosθ，所以可得故已知圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 11．N3[2013·天津卷] 已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為4，，則|CP|＝_____

27、___. 11．2 　[解析] ∵圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，∴圓心C的直角坐標(biāo)為(2，0)．∵P點(diǎn)極坐標(biāo)，∴化為直角坐標(biāo)為(2，2)，∴|CP|＝＝2 . 23．N3[2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ] 選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知動點(diǎn)P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應(yīng)參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0<α<2π)，M為PQ的中點(diǎn)． (1)求M的軌跡的參數(shù)方程； (2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)． 23．解：(1)依題意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α

28、＋sin 2α)． M的軌跡的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)，0<α<2π)． (2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d＝＝(0<α<2π)． 當(dāng)α＝π時，d＝0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)． 2．N2，N3[2013·浙江卷] 已知a∈R“矩陣與變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程”模塊 (1)以極坐標(biāo)系Ox的極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．把極坐標(biāo)方程cos θ＋ρ2sin θ＝1化成直角坐標(biāo)方程． (2)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(θ為參數(shù))，過點(diǎn)P(2，1)的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．若|PA|·|PB|＝，求|AB|的值． 2．解：(1

29、)極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ得ρcos θ＋ρ3sin θ＝ρ. 又在直角坐標(biāo)系下，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2， 故化成直角坐標(biāo)方程為x＋y(x2＋y2)＝. 又(0，0)滿足原極坐標(biāo)方程． 故所求的直角坐標(biāo)方程為x＋y(x2＋y2)＝. (2)由題意，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋2y2＝2. 設(shè)過點(diǎn)P(2，1)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))． 及點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2. 將直線的參數(shù)方程代入x2＋2y2＝2得 (2＋tcos α)2＋2(1＋tsin α)2－2＝0. 即(1＋sin2α)t2＋4(sin α＋cos α)

30、t＋4＝0. 則Δ＝16(2sin αcos α－sin2 α)>0，且t1＋t2＝－，t1t2＝， 由|PA|·|PB|＝得|t1t2|＝＝. 故sin2 α＝.又由Δ>0得0

31、x＝4，y＝－8，即有A(4，8)，B(4，－8)，于是|AB|＝8－(－8)＝16. N4(Ⅲ)選修4－5：不等式選講 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 24．N4[2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ] 選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)當(dāng)a＝－2時，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)設(shè)a＞－1，且當(dāng)x∈時，f(x)≤g(x)，求a的取值范圍． 24．解：(1)當(dāng)a＝－2時，不等式f(x)

32、y＝ 其圖像如圖所示，從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈(0，2)時，y<0，所以原不等式的解集是{x|0

33、(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2時取到等號，所以f(x)的最小值為3. 13．N4[2013·湖北卷] 設(shè)x，y，z∈R，且滿足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，則x＋y＋z＝________. 13.　[解析] 由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)＝14≥(x＋2y＋3z)2＝14，當(dāng)＝＝時取“＝”，故x＝，y＝，z＝，則x＋y＋z＝. 10．N4[2013·湖南卷] 已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2的最小值為________． 10．12　[解析] 因a＋2b＋3c＝6，由柯西不等式可知(a2＋4b2＋9c2)(12＋1

34、2＋12)≥(a＋2b＋3c)2，可知a2＋4b2＋9c2≥＝12，即最小值為12. N4[2013·江蘇卷] D．[選修4－5：不等式選講] 已知a≥b>0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b. 證明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因為a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0. 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.24.N4[2013·遼寧卷] 選修4－5：不等式選講 已知函數(shù)f(x)＝|x－a|，其中a>1. (

35、1)當(dāng)a＝2時，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集； (2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集為，求a的值． 24．解：(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＋|x－4|＝ 當(dāng)x≤2時，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1； 當(dāng)2＜x＜4時，f(x)≥4－|x－4|無解； 當(dāng)x≥4時，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5； 所以f(x)≥4－|x－4|的解集為{x|x≤1或x≥5}． (2)記h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，則 h(x)＝ 由|h(x)|≤2，解得≤x≤. 又已知|h(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2

36、}， 所以于是a＝3. 15．N4[2013·陜西卷] (考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分) A．(不等式選做題)已知a，b，m，n均為正數(shù)，且a＋b＝1，mn＝2，則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為________． 2　[解析] 利用柯西不等式式可得：(am＋bn)(bm＋an)≥(＋)2＝mn(a＋b)2＝2. 14．N4[2013·天津卷] 設(shè)a＋b＝2，b>0，則當(dāng)a＝________時，＋取得最小值． 14．－2　[解析] ＋＝＋＝＋＋≥＋2 ≥－＋1＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝時，等號成立．聯(lián)立a＋b＝2，b>0，a<0.可解得a＝－2.

37、 24．N4[2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ] 選修4－5：不等式選講 設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明： (1)ab＋bc＋ca≤； (2)＋＋≥1. 24．證明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. (2)因為 ＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，又a＋b＋c＝1， 所以＋＋≥1. 1．N4[20

38、13·浙江卷] (1)解不等式|x－1|＋|x－4|≥5. (2)求函數(shù)y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值． 1．解：(1)當(dāng)x<1時，1－x＋4－x≥5，得x≤0，此時x≤0； 當(dāng)1≤x≤4時，x－1＋4－x≥5，得3≥5，此時x∈； 當(dāng)x>4時，x－1＋x－4≥5，得x≥5，此時x≥5. 綜上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪[5，＋∞)． (2)因為|x－1|＋|x－4|≥|(x－1)－(x－4)|＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤4時取等號； x2－4x＝(x－2)2－4≥－4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時取等號． 故|x－1|＋|x－4|＋x2－4x≥3－4＝－1，當(dāng)x＝2時取等號． 所以y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值為－1. 16．N4[2013·重慶卷] 若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a無解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 16．(－∞，8]　[解析] 要使不等式無解，則a必須小于或等于|x－5|＋|x＋3|的最小值，而|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，則a≤8，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，8]． N5 選修4-7 優(yōu)選法與試驗設(shè)計