高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 附加題部分 第1章 第57課 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

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1、 第一章　計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其概率分布 第57課 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 加法原理與乘法原理 √ 1．分類計(jì)數(shù)原理 如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，……在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法． 2．分步計(jì)數(shù)原理 如果完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．

2、 3．分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)．它們的區(qū)別在于：分類計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成． 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)在分類計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分類計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(　　) (3)在分步計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．(　　) (4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何

3、一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改編)從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有________． 6　[從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類：①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類計(jì)數(shù)原理得共有N＝3＋3＝6種．] 3．用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為________個(gè)． 252　[選放百位共有9種不同放法；再放十位共有10種不同的放法；同樣，個(gè)位也有10種不同的放法，由乘法

4、原理可知共有9×10×10＝900個(gè)三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648個(gè)，故符合題意的共有900－648＝252個(gè)．] 4．(教材改編)5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法有________種． 32　[由于每位同學(xué)報(bào)哪個(gè)小組是等可能的，故對每名同學(xué)而言都有2種不同的報(bào)名方式，故共有2×2×2×2×2＝32種不同的報(bào)名方法．] 5.現(xiàn)有4種不同的顏色要對如圖57-1所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有________種． 圖57-1 48　[按A→B→C→D順序分四步涂色，共4×

5、3×2×2＝48種不同的著色方法．] 分類計(jì)數(shù)原理 　(1)三個(gè)人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有________種． (2)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個(gè)數(shù)為________． (1)6　(2)13　[(1)分兩類：甲第一次踢給乙時(shí)，滿足條件有3種方法(如圖)， 同理，甲先傳給丙時(shí)，滿足條件有3種方法． 由分類計(jì)數(shù)原理，共有3＋3＝6種傳遞方法． (2)①當(dāng)a＝0時(shí)，有x＝－，b＝－1,0,1,2，有4種可能； ②當(dāng)a≠0時(shí)，則

6、Δ＝4－4ab≥0，ab≤1， (ⅰ)當(dāng)a＝－1時(shí)，b＝－1,0,1,2，有4種可能； (ⅱ)當(dāng)a＝1時(shí)，b＝－1,0,1，有3種可能； (ⅲ)當(dāng)a＝2時(shí)，b＝－1,0，有2種可能． ∴有序數(shù)對(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13個(gè)．] [規(guī)律方法]　1.第(2)題常見的錯(cuò)誤： (1)想當(dāng)然認(rèn)為a≠0； (2)誤認(rèn)為a≠b. 2．分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置． (1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)． (2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)． [變式訓(xùn)

7、練1]　從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為________個(gè). 【導(dǎo)學(xué)號：62172314】 8　[以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9.以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2,4,8. 以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4,6,9. 把這4個(gè)數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個(gè)數(shù)列， ∴所求的數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8個(gè)．] 分步計(jì)數(shù)原理 　(1)某學(xué)校開設(shè)“藍(lán)天工程博覽課程”，組織6個(gè)年級的學(xué)生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個(gè)博物館，每個(gè)年級任選一個(gè)博物館參觀，則有且只有兩個(gè)年級選擇甲博物館的情況有________種． (2)有六

8、名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有________種不同的報(bào)名方法． (1)C·54　(2)120　[(1)有兩個(gè)年級選擇甲博物館共有C種情況，其余四個(gè)年級每個(gè)年級各有5種選擇情況， 故有且只有兩個(gè)年級選擇甲博物館的情況有C×54種． (2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目只有4種選法，由分步計(jì)數(shù)原理，得共有報(bào)名方法6×5×4＝120種．] [規(guī)律方法]　1.利用分步計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有

9、各步驟都完成才算完成這件事． 2．在第(1)題中，除僅有兩個(gè)年級選擇甲博物館外，其余4個(gè)年級易錯(cuò)誤認(rèn)為有45種選擇方法． [變式訓(xùn)練2]　(1)設(shè)集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定義A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，則A*B中元素的個(gè)數(shù)為________． (2)將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到兩個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同的分法的種數(shù)為________．(用數(shù)字作答) (1)10　(2)8　[(1)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}， ∴x有2種取法，y有5種取法， 由分步計(jì)數(shù)原理，

10、A*B的元素有2×5＝10個(gè)． (2)第1步把甲、乙分到不同班級有A＝2種分法． 第2步分丙、?。孩俦?、丁分到同一班級有2種分法，②丙、丁分到兩個(gè)不同的班級有A＝2種分法． 由計(jì)數(shù)原理，不同的分法為2×(2＋2)＝8種．] 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 　(1)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B為集合M的非空子集，若對?x∈A，y∈B，x

11、求共邊的兩部分顏色互異，則共有________種不同的涂色方法． 圖57-2 (1)17　(2)260　[(1)當(dāng)A＝{1}時(shí)，B有23－1種情況；當(dāng)A＝{2}時(shí)，B有22－1種情況；當(dāng)A＝{3}時(shí)，B有1種情況；當(dāng)A＝{1,2}時(shí)，B有22－1種情況；當(dāng)A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}時(shí)，B均有1種情況， 所以滿足題意的“子集對”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(個(gè))． (2)區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時(shí)區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法， 所以共有5×4×4＋

12、5×4×3×3＝260種涂色方法．] [規(guī)律方法]　1.(1)注意在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問題時(shí)，一般是先分類再分步．在分步時(shí)可能又用到分類計(jì)數(shù)原理． (2)注意對于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化． 2．解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成，第(2)題中，由于共邊的區(qū)域不同色，從而是按區(qū)域A與區(qū)域C是否同色分類處理的． [變式訓(xùn)練3]　回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22,121,3 443,94 249等．顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33，…，99；3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,12

13、1，…，191,202，…999.則 (1)4位回文數(shù)有________個(gè)； (2)2n＋1(n∈N*)位回文數(shù)有________個(gè)． (1)90　(2)9×10n　[(1)4位回文數(shù)相當(dāng)于填4個(gè)方格，首尾相同，且不為0，共9種填法；中間兩位一樣，有10種填法，共計(jì)9×10＝90種填法，即4位回文數(shù)有90個(gè)． (2)根據(jù)回文數(shù)的定義，此問題也可以轉(zhuǎn)化成填方格，由分步計(jì)數(shù)原理，共有9×10n種填法．] [思想與方法] 1．分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)．區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘

14、法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成． 2．涉及加法與乘法原理的混合問題一般是先分類再分步． 3．要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律． [易錯(cuò)與防范] 1．切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行． 2．分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步． 3．確定題目中是否有特殊條件限制． 課時(shí)分層訓(xùn)練(一) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．標(biāo)號分別為A，B，C的三個(gè)口袋，A袋中有1個(gè)紅色小球，B袋中有2個(gè)白色小球，C袋中有3個(gè)黃色

15、小球，現(xiàn)從中取出兩個(gè)小球． (1)若取出的兩個(gè)球顏色不同，有多少種取法？ (2)若取出的兩個(gè)球顏色相同，有多少種取法？ [解]　(1)若兩個(gè)球顏色不同，則應(yīng)在A，B袋中各取一個(gè)或A，C袋中各取一個(gè)或B，C袋中各取一個(gè)，所以應(yīng)有1×2＋1×3＋2×3＝11種取法． (2)若兩個(gè)球顏色相同，則應(yīng)在B或C袋中取出2個(gè)，所以應(yīng)有1＋3＝4種取法． 2．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，b∈M)，問： (1)P可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？ (2)P可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？ (3)P可表示多少個(gè)不在直線y＝x上的點(diǎn)？ 【導(dǎo)學(xué)號：62172

16、316】 [解]　(1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成： 第一步確定a的值，共有6種確定方法； 第二步確定b的值，也有6種確定方法． 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×6＝36. (2)確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成： 第一步確定a，由于a<0，所以有3種確定方法； 第二步確定b，由于b>0，所以有2種確定方法． 由分步計(jì)數(shù)原理，得到第二象限點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2＝6. (3)點(diǎn)P(a，b)在直線y＝x上的充要條件是a＝b.因此a和b必須在集合M中取同一元素，共有6種取法，即在直線y＝x上的點(diǎn)有6個(gè)． 由(1)得不在直線y＝x上的點(diǎn)共有36－6＝30(個(gè))．

17、3．在校運(yùn)動(dòng)會上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽．其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有多少種？ [解]　分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員． 第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(種)． 第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(種)． 所以安排這8人的方式有24×120＝2 880(種)． 4．如圖57-3所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)在要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇．

18、 圖57-3 要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)共有多少種？ [解]　將四種顏色編號為①②③④，A有4種涂法，設(shè)涂①，B有3種涂法，設(shè)涂②，下面分3類： 若C涂①，則D可涂②③④，共3種方法； 若C涂③，則D可涂②④，共2種方法； 若C涂④，則D可涂②③，共2種方法； 于是， 不同的涂法為4×3×(3＋2＋2)＝84(種)． 5．(2016·全國卷Ⅱ改編)如圖57-4，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑共有多少條？ 圖57-4 [解]　分兩步，第一步，從

19、E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路程． 6．某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？ [解]　由題意得有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語． 第一類：從只會英語的6人中選1人說英語，共有6種方法，則說日語的有2＋1＝3種，此時(shí)共有6×3＝18種； 第二類：不從只會英語的6人中選1人說英語，則只有1種方法，則選會日語的有2種，此時(shí)共有1×2＝2種；所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有18＋2＝20(種)選

20、法． B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．有一項(xiàng)活動(dòng)需在3名老師，6名男同學(xué)和8名女同學(xué)中選人參加． (1)若只需一人參加，有多少種不同選法？ (2)若需一名老師，一名學(xué)生參加，有多少種不同選法？ (3)若需老師，男同學(xué)、女同學(xué)各一人參加，有多少種不同選法？ 【導(dǎo)學(xué)號：62172317】 [解]　(1)只需一人參加，可按老師、男同學(xué)、女同學(xué)分三類各自有3,6,8種方法，總方法數(shù)為3＋6＋8＝17(種)． (2)分兩步，先選教師共3種選法，再選學(xué)生共6＋8＝14種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知，總方法數(shù)為3×14＝42(種)． (3)教師、男、女同學(xué)各一人可分三步，每步方法

21、依次為3,6,8種．由分步計(jì)數(shù)原理知方法數(shù)為3×6×8＝144(種)． 2．為了做好閱兵人員的運(yùn)輸，從某運(yùn)輸公司抽調(diào)車輛支援，該運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛．現(xiàn)從這個(gè)公司中抽調(diào)10輛車，并且每個(gè)車隊(duì)至少抽調(diào)1輛，那么共有多少種不同的抽調(diào)方法？ [解]　在每個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛車的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)3輛車．可分成三類：一類是從某1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)3輛，有C種抽調(diào)方法；一類是從2個(gè)車隊(duì)中抽調(diào)，其中1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)1輛，另1個(gè)車隊(duì)抽調(diào)2輛，有A種抽調(diào)方法；一類是從3個(gè)車隊(duì)中各抽調(diào)1輛，有C種抽調(diào)方法．故共有C＋A＋C＝84種抽調(diào)方法． 3．將一個(gè)四棱錐S-ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一

22、條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？ [解]　設(shè)想染色按S—A—B—C—D的順序進(jìn)行，對S，A，B染色，有5×4×3＝60(種)染色方法． 由于C點(diǎn)的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)，故分類討論： C與A同色時(shí)(此時(shí)C對顏色的選取方法唯一)，D應(yīng)與A(C)，S不同色，有3種選擇；C與A不同色時(shí)，C有2種可選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇．從而對C，D染色有1×3＋2×2＝7(種)染色方法． 由分步計(jì)數(shù)原理，總的染色方法有60×7＝420(種)． 4．(2016·揚(yáng)州期末)對于給定的大于1的正整數(shù)n，設(shè)x＝a0＋a1n＋

23、a2n2＋…＋annn，其中ai∈{0,1,2，…，n－1}，i＝0,1,2，…，n－1，n，且an≠0，記滿足條件的所有x的和為An. (1)求A2； (2)設(shè)An＝f(n)，求f(n)． [解]　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，x＝a0＋2a1＋4a2，a0∈{0,1}，a1∈{0,1}，a2＝1，故滿足條件的x共有4個(gè)，分別為x＝0＋0＋4，x＝0＋2＋4，x＝1＋0＋4，x＝1＋2＋4，它們的和是22. (2)由題意得，a0，a1，a2，…，an－1各有n種取法；an有n－1種取法，由分步計(jì)數(shù)原理可得a0，a1，a2，…，an－1，an的不同取法共有n·n…n·(n－1)＝nn(n－1)，即

24、滿足條件的x共有nn(n－1)個(gè)．當(dāng)a0分別取i＝0,1,2，…，n－1時(shí)，a1，a2，…，an－1各有n種取法，an有n－1種取法，故An中所有含a0項(xiàng)的和為[0＋1＋2＋…＋(n－1)]nn－1(n－1)＝； 同理，An中所有含a1項(xiàng)的和為[0＋1＋2＋…＋(n－1)]nn－1(n－1)·n＝·n；An中所有含a2項(xiàng)的和為[0＋1＋2＋…＋(n－1)]nn－1(n－1)·n2＝·n2；An中所有含an－1項(xiàng)的和為[0＋1＋2＋…＋(n－1)]nn－1(n－1)·nn－1＝·nn－1；當(dāng)an分別取i＝1,2，…，n－1時(shí)，a0，a1，a2，…，an－1各有n種取法， 故An中所有含an項(xiàng)的和為[1＋2＋…＋(n－1)]nn·nn＝·nn； 所以An＝(1＋n＋n2＋…＋nn－1)＋·nn＝·＋·nn ＝(nn＋1＋nn－1)． 故f(n)＝nn＋1＋nn－1.